2.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线标准方程、准线与焦点坐标|选择题（1-5）直接考查概念，强化抽象能力| |能力提升|抛物线与直线距离、标准方程分类讨论|填空题（7-9）及解答题（10）深化运算能力| |综合应用|抛物线与圆综合、最值问题、几何证明|多选题（13）及解答题（15-16）培养逻辑推理与模型意识|

3.1　抛物线及其标准方程 1.抛物线y＝－x2的准线方程为（　　） A.x＝　　　　　　　 B.x＝1 C.y＝1 D.y＝2 2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　） A.（－1，0） B.（1，0） C.（0，－1） D.（0，1） 3.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 4.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（　　） A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 5.（多选）对抛物线x2＝4y，下列描述不正确的是（　　） A.开口向上，焦点为（0，1） B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为（1，0） D.开口向右，焦点为 6.（多选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于点M，过Q作QN⊥PE交线段EP的延长线于点N，则（　　） A.｜PE｜＝｜PF｜ B.｜PF｜＝｜QF｜ C.｜PN｜＝｜MF｜ D.｜PN｜＝｜KF｜ 7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝　　　　. 8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　. 9.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为　　　　，准线方程为　　　　. 10.根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点到准线的距离是5； （2）焦点F在y轴上，点A（m，－2）在抛物线上，且｜AF｜＝3. 11.若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使｜MF｜＋｜MA｜取得最小值的M的坐标为（　　） A.（0，0） B. C.（1，） D.（2，2） 12.已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则｜NF｜＝（　　） A.4 B. C.3 D.5 13.（多选）设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A.抛物线的准线方程是x＝－1 B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值 C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 D.以线段PF为直径的圆与y轴相切 14.对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 其中满足抛物线方程为y2＝10x的是　　　　（要求填写适合条件的序号）. 15.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求抛物线的方程. 16.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点. （1）求｜AM｜＋｜AN｜的值； （2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 3.1　抛物线及其标准方程 1.C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. 2.B　抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B. 3.B　抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，解得p＝2或p＝－6（舍去），故选B. 4.B　连接PF，由题意及抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 5.BCD　因为抛物线的标准方程为x2＝4y，所以2p＝4，p＝2，开口向上，因此抛物线的焦点为（0，1），准线为y＝－1.故A正确，B、C、D都错，故选B、C、D. 6.ABD　由抛物线的定义知A正确；∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，∴｜PF｜＝｜QF｜，∴B正确；由题意知四边形QKEN为矩形，∴｜PN｜＝｜NE｜－｜PE｜＝｜QK｜－｜FQ｜＝｜KF｜，∴D正确；显然当PF⊥x轴时，F，M重合，｜PN｜≠｜MF｜，∴C错误. 7.3　解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3. 8.（－6，6）或（－6，－6） 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）. 9.（1，0）　x＝－1　解析：圆M的圆心为（1，2），代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝－1. 10.解：（1）由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y. （2）由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0）.由｜AF｜＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y. 11.D　点A的坐标为（3，2），所以点A在抛物线内.过点M作准线的垂线，垂足为N（图略），则｜MF｜＋｜MA｜＝｜MN｜＋｜MA｜，当A，M，N三点共线时，｜MF｜＋｜MA｜取得最小值，此时M（2，2）. 12.A　因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4，故选A. 13.ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确； 对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 14.②④　解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M（1，y0）是y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2，1）时，则k＝－2，此时存在，所以④满足. 15.解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， 则其准线为x＝－. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为｜AF｜＋｜BF｜＝8， 所以x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. 因为Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，所以｜QA｜＝｜QB｜， 即 ＝， 又＝2px1，＝2px2， 所以（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0， 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线的方程为y2＝8x. 16.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. （2）不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $