2.1.1 椭圆及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学椭圆及其标准方程同步练，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆定义、标准方程、焦点焦距|单选/多选考查a,b,c关系（如第1题焦距计算）| |提升层|条件判断、面积计算、参数求解|填空结合几何性质（如第9题中位线应用）| |拓展层|综合几何、探究性问题|解答题融合光学性质与推理（如第14题光线路程）|

1.1　椭圆及其标准方程 1.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为（　　） A.5　　　　　　　　　 B.3 C.5或3 D.8 2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.椭圆＋＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 5.（多选）下列叙述正确的是（　　） A.椭圆x2＋＝1的焦点坐标为（0，1），（0，－1） B.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同 C.椭圆＋＝1上点P到两焦点的距离之和为6 D.方程2 024x2＋2 025y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆 6.（多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆与直角坐标系中坐标轴的交点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 7.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，－3）在椭圆上，则椭圆的方程为　　　　. 8.已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为　　　　. 9.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　　　　. 10.已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与过椭圆焦点的坐标轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程. 11.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1和圆B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为（　　） A.9，12　 B.8，11 C.8，12　 D.10，12 12.（多选）若点F1，F2为椭圆C的左、右焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 13.（多选）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于椭圆C与x轴两个交点的动点，则下列结论正确的是（　　） A.△PF1F2的周长为10 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为 D.存在点P使得·＝0 14.椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为　　　　. 15.如图，点A是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与y轴负半轴的交点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为（0，1），且满足BP∥x轴，·＝9，求椭圆C的方程. 16.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ. （1）求△F1PF2的面积S； （2）研究∠F1PF2的变化规律. 1.1　椭圆及其标准方程 1.C　由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m＞4时，m＝4＋1＝5；当m＜4时，4＝m＋1，∴m＝3.∴m的值为5或3. 2.B　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1. 3.B　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1＜m＜3且m≠2；当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆.故选B. 4.D　由椭圆＋＝1可得a＝5，b＝4，所以c＝＝＝3，令x＝0可得y＝±4，所以P（0，±4），所以△PF1F2的面积为×｜yP｜×｜F1F2｜＝×4×6＝12，故选D. 5.ABC　因为椭圆方程x2＋＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，椭圆的焦点在y轴上，得焦点坐标为（0，1），（0，－1），选项A正确.椭圆＋＝1与＋＝1的焦点相同，都是（1，0），（－1，0），选项B正确.由椭圆方程＋＝1，得a2＝9，b2＝3，所以椭圆上的点P到两焦点的距离之和为2a＝6，选项C正确.方程2 024x2＋2 025y2＝1，即＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆，选项D错误. 6.AC　由题意，得当b＝c时，该椭圆为“对偶椭圆”.由c＝得，选项A中，b＝c＝2；选项B中，b＝，c＝，b≠c；选项C中，b＝c＝；选项D中，b＝，c＝，b≠c.故选A、C. 7.＋＝1　解析：由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1. 8.4或　解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或. 9.4　解析：设椭圆的另一个焦点为E，则｜MF｜＋｜ME｜＝10，又∵｜MF｜＝2，∴｜ME｜＝8，又ON为△MEF的中位线，∴｜ON｜＝｜ME｜＝4. 10.解：法一　设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）， 由已知条件得 解得 所以b2＝a2－c2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 法二　设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1，F2. 由题意知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝3＋5＝8，所以a＝4. 在方程＋＝1中，令x＝±c，得｜y｜＝； 在方程＋＝1中，令y＝±c，得｜x｜＝. 依题意有＝3，得b2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 11.C　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与圆相交于M，N两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12.即最小值和最大值分别为8，12. 12.ACD　设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），设椭圆C与y轴正半轴的交点为B.若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴｜BF1｜2＋｜BF2｜2≤｜F1F2｜2，即a2＋a2≤4c2.∵c2＝a2－b2，∴a2≥2b2.故选项A、C、D满足题意. 13.AB　由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而可得＝－，＝，不成立，故D错误，故选A、B. 14.12　解析：依题意可知光线经两次椭圆内壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12. 15.解：由题意得A（0，－b），直线AB的方程为y＝x－b， 由P（0，1）且BP∥x轴，得B（1＋b，1）， 所以＝（1＋b，1＋b），＝（0，1＋b）， 因为·＝9，故0＋（1＋b）2＝9， 因为b＞0，于是b＝2，所以B（3，1）， 将B（3，1）代入椭圆＋＝1， 得＋＝1，解得a2＝12， 故椭圆C的方程为＋＝1. 16.解：（1）如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a. 由余弦定理，可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·（1＋cos 2θ）＝4c2， ∴｜PF1｜·｜PF2｜＝. ∴S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ. （2）∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）. 令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $