第一章 三角形的证明及其应用 暑假复习巩固 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册第一章“三角形的证明及其应用”暑假复习单元卷，以基础巩固为核心，融合文化传承与实际应用情境，全面覆盖三角形证明与性质，适配暑假复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|内角和、垂直平分线、直角三角形判定|结合“抢凳子”游戏考公平性（垂直平分线），基础概念与几何直观结合| |填空题|5/15|角平分线、折叠性质、最短路径|含折叠问题（角度计算）、网格等腰三角形找点，渗透空间观念| |解答题|8/85|尺规作图、综合证明、实际应用|《天工开物》碓结构（三角形角度计算）、桑梯安全锁链（解三角形），体现文化传承与模型意识；“将军饮马”拓展题，培养创新应用能力|

第一章 三角形的证明及其应用 暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．八边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 2．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 3．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 5．已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 6．如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 7．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，，，以A为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点M和N，两弧交于点P，连接并延长交于点D；下列说法正确的个数是（　　） ①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④ A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在中，是它的角平分线，，，则________． （11题图） （12题图） （13题图 （14题图） 12．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，若，则的度数为______． 13．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，的面积为24，则________． 14．如图，四边形 是平行四边形，，，点 E 为的中点，连接，点F为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为________． 15．如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，在中，，平分．若，，求的度数； 17．如图，在中，，，求证：． 18．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接． (1)若的周长是，，点是的中点，求的长； (2)若，，，求的面积． 20．如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 21．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．在中，，点M是线段上的一点，连接． (1)如图1，，是的角平分线，于点E． ①当时，求的长； ②若的中线交于点F，判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，若，点N是上的一点，且，连接交于点P，求的度数． 23．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B D A C D B 11． 12． 13．4 14． 15．①③④ 16． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，，求出，结合平分，则，又因为，所以，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴ 则 ∴． 17．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角；根据得出，进而根据平行线的性质，得出，等量代换，即可得证． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：因为点是的中点，， 所以． 因为的周长是，，所以． 因为是等腰三角形，，点是的中点，所以． 在中，，，所以． （2）因为，，， 所以，即，所以． 因为，所以， 所以 所以． 20．(1)． (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解． （2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∴的周长． 21．(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 22．(1)①； ②，，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与的关系为，； (2) 【分析】（1）①设，则，根据勾股定理可得，再由角平分线的性质可得，可证明，从而得到，，在中，利用勾股定理，即可求解；②根据是等腰直角三角形，可得， 再由等腰直角三角形的性质，可得，，从而得到，再由，可求出，即可； （2）过点B作，并使，连接，则，证明，可得，，再证得是等腰直角三角形，可得，然后根据四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①设，则， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴； ②略 （2）解：如图，过点B作，并使，连接，则， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．活动一：A；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：A； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第6页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $