2.2.2 双曲线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖标准方程、图形、范围、对称性等核心知识点。通过冷却水塔情境导入，结合与椭圆范围、对称性的对比问题，搭建从椭圆到双曲线的知识支架，梳理性质与方程的对应关系。 其亮点在于融合直观想象与数学思维，用表格对比椭圆与双曲线参数关系、离心率等，典型例题如求渐近线方程、离心率，提炼通性通法步骤。自我诊断和跟踪训练强化理解，帮助学生用数学语言表达性质，提升解题能力，教师可直接使用系统资源优化教学。

2.2　双曲线的简单几何性质 新课程标准解读 核心素养 1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象 2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的 思想，了解双曲线的简单应用 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线 的性质，研究建造冷却水塔呢？ 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　（1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那 么是否与椭圆一样有范围限制？ （2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对 称图形？对称中心是哪个点？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 性 质 图形 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 标准方程 性 质 焦点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 焦距 ⁠ 范围 或 ⁠， y ∈ ⁠ 或 ⁠， x ∈ ⁠ F1（－ c ，0）， F2（ c ， 0）　 F1（0，－ c ）， F2 （0， c ）　 ｜ F1 F2｜＝2 c 　 x ≤－ a 　 x ≥ a 　 R　 y ≤－ a 　 y ≥ a 　 R　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 标准方程 性 质 对称性 对称轴： ；对称中心： ⁠ 顶点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 轴 实轴：线段 ，长： ⁠； 虚轴：线段 ，长： ⁠； 实半轴长： ，虚半轴长： ⁠ 离心率 e ＝ ∈ ⁠ 渐近线 ⁠ ⁠ 坐标轴　 原点　 A1（－ a ，0）， A2（ a ， 0）　 A1（0，－ a ）， A2 （0， a ）　 A1 A2　 2 a 　 B1 B2　 2 b 　 a 　 b 　 　 （1，＋∞）　 y ＝± x 　 y ＝± x 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　（1）椭圆与双曲线的离心率都是 e ，但其范围不一样，椭圆的 离心率0＜ e ＜1，而双曲线的离心率 e ＞1； （2）当双曲线 C 的方程确定后，该双曲线就存在两条直线 l 及l'，使 得双曲线 C 趋向无穷远处时，与直线 l 、l'愈来愈近，但始终不 相交，则直线 l 与l'为双曲线 C 的渐近线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）共渐近线的双曲线的离心率相同. （　×　） （2）双曲线 － ＝1与 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线相 同. （　×　） （3）双曲线 － ＝1的渐近线方程是3 x ±2 y ＝0. （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （2022·北京高考12题）已知双曲线 y2＋ ＝1的渐近线方程为 y ＝ ± x ，则 m ＝ ⁠. －3　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：法一（通解）　依题意得 m ＜0，双曲线的方程可表示为 y2－ ＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为± ＝± ，解 得 m ＝－3. 法二（优解）　依题意得 m ＜0，令 y2－ ＝0，得 y ＝± x ＝± x ，解得 m ＝－3. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则该 双曲线的离心率是 ⁠. 解析：由题意知渐近线与 x 轴的夹角θ＝ ，∴ ＝tan ＝1，∴ e ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 双曲线的几何性质 【例1】　求双曲线9 y2－4 x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、 虚轴长、离心率和渐近线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：双曲线的方程化为标准形式是 － ＝1， ∴ a2＝9， b2＝4，∴ a ＝3， b ＝2， c ＝ . 又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为（－3，0），（3，0）， 焦点坐标为（－ ，0），（ ，0）， 实轴长2 a ＝6，虚轴长2 b ＝4， 离心率 e ＝ ＝ ，渐近线方程为 y ＝± x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键； （2）由标准方程确定焦点位置，确定 a ， b 的值； （3）由 c2＝ a2＋ b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒　求性质时一定要注意焦点的位置. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知双曲线 － ＝1与 － ＝1，下列说法正确的是（　　） A. 两个双曲线有公共顶点 B. 两个双曲线有公共焦点 C. 两个双曲线有公共渐近线 D. 两个双曲线的离心率相等 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 　双曲线 － ＝1的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线 － ＝1的焦点和顶点都在 y 轴上，因此可排除选项A、B；双曲线 － ＝1的离心率 e1＝ ＝ ，而双曲线 － ＝1的离心率 e2＝ ＝ ，因此可排除选项D；易得C正确. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 设双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的虚轴长为2，焦距为2 ， 则双曲线的渐近线方程为（　　） C. y ＝±2 x 解析： 　由已知可得2 b ＝2，2 c ＝2 ，∴ b ＝1， c ＝ ，∴ a ＝ ＝ ＝ ，∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ＝ ± x ＝± x .故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 求双曲线的渐近线 【例2】　如图，已知 F1， F2为双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的 焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P ，且∠ PF1 F2＝30°， 则双曲线的渐近线方程为 ⁠. y ＝± x 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：设 F2（ c ，0）（ c ＞0）， P （ c ， y0），则 － ＝1，解得 y0＝± .∴｜ PF2｜＝ .在Rt△ PF2 F1中，∠ PF1 F2＝30°，则｜ PF1｜＝2｜ PF2｜，①.由双曲线的定义，得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2 a ，②.由①②得｜ PF2｜＝2 a .∵｜ PF2｜＝ ，∴2 a ＝ ，即 b2＝2 a2.∴ ＝ .∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法 （1）当焦点在 x 轴上时，即 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则该双 曲线的渐近线方程为 y ＝± x ； （2）当焦点在 y 轴上时，即 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则该双 曲线的渐近线方程为 y ＝± x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 共渐近线的双曲线方程的设法 已知双曲线方程 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），渐近线方程为 － ＝0，与其共渐近线的双曲线方程为 － ＝λ. （1）当λ＞0时，双曲线的焦点在 x 轴上； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）当λ＜0时，双曲线的焦点在 y 轴上. 特别地，当λ＝－1时，双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）互为共轭双曲线； 当 x2－ y2＝λ（λ≠0）时，该双曲线称为等轴双曲线，它的渐近 线为 y ＝± x . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　（2021·新高考Ⅱ卷13题）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞ 0， b ＞0），离心率 e ＝2，则双曲线 C 的渐近线方程为 ⁠ ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝ ，故双曲线 C 的渐近线方 程为： y ＝± x . y ＝ ± x 　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 双曲线的离心率 【例3】　（1）双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左焦点为 F ，右顶点为 A ，虚轴的一个端点为 B ，若△ ABF 为等腰三角形，则双 曲线 C 的离心率是（　D　） D 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 由题意易知 F （－ c ，0）， A （ a ，0），设 B （0， b ），则｜ AF ｜2＝（ a ＋ c ）2＝ a2＋ c2＋2 ac ，｜ AB ｜2＝ a2＋ b2，｜ BF ｜2＝ b2＋ c2.由△ ABF 为等腰三角 形，分析可得｜ AF ｜＝｜ BF ｜，即 a2＋ c2＋ 2 ac ＝ b2＋ c2，变形可得 c2－2 a2－2 ac ＝0，又 e ＝ ，则有 e2－2 e －2＝0，解得 e ＝1± ， 又双曲线中 e ＞1，所以 e ＝1＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）如图所示， F1和 F2分别是双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的 两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，｜ OF1｜为半径的圆与该双曲 线左支的两个交点，且△ F2 AB 是等边三角形，则双曲线的离心 率为 ⁠. 1＋ 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析： 连接 AF1（图略），由△ F2 AB 是等边三角形，知∠ AF2 F1＝30°.易知△ AF1 F2为直角三角形，则｜ AF1｜＝ ｜ F1 F2｜＝ c ，｜ AF2｜＝ c ，所以2 a ＝（ －1） c ，从而双曲线的离心率 e ＝ ＝1＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求双曲线离心率的两种方法 （1）直接法：若已知 a ， c ，可直接利用 e ＝ 求解，若已知 a ， b ， 可利用 e ＝ 求解； （2）方程法：若无法求出 a ， b ， c 的具体值，但根据条件可确定 a ， b ， c 之间的关系，可通过 b2＝ c2－ a2，将关系式转化为关于 a ， c 的齐次方程，借助于 e ＝ ，转化为关于 e 的方程求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 过双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点作一条与其渐近 线平行的直线，交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为2 a ，则 C 的离心率 为 ⁠. 2＋ 　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的 斜率为 ，又直线 l 过右焦点 F （ c ，0），则直线 l 的方程为 y ＝ （ x － c ）.因为点 P 的横坐标为2 a ，代入双曲线方程得 － ＝1，化简得 y ＝－ b 或 y ＝ b （点 P 在 x 轴下方，故舍去），故点 P 的坐标为（2 a ，－ b ），代入直线方程得－ b ＝ （2 a － c ），化简可得离心率 e ＝ ＝2 ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 双曲线 － ＝1（ a ＞1， b ＞0）的焦距为2 c ，直线 l 过点（ a ， 0）和（0， b ），且点（1，0）到直线 l 的距离与点（－1，0）到直 线 l 的距离之和 s ≥ c ，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 　 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由题意知，直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 bx ＋ ay － ab ＝0.由 点到直线的距离公式，且 a ＞1，得点（1，0），（－1，0）到直线 l 的距离分别为 d1＝ ， d2＝ ， s ＝ d1＋ d2＝ ＝ .由 s ≥ c ，得 ≥ c ，即5 a ≥2 c2.于是，得5 ≥2 e2，即4 e4－25 e2＋25≤0.解不等式，得 ≤ e2≤5.由于 e ＞ 1，故 e 的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 双曲线 mx2＋ y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则 m 的值为（　　） A. 4 B. －4 解析：　由双曲线方程 mx2＋ y2＝1，知 m ＜0，则双曲线方程可化 为 y2－ ＝1，则 a2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴ b ＝ 2，∴－ ＝ b2＝4，∴ m ＝－ ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在平面直角坐标系中，经过点 P （2 ，－ ）且渐近线方程为 y ＝± x 的双曲线的标准方程为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　∵双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，∴设所求双曲线的 方程为2 x2－ y2＝ k .又点 P （2 ，－ ）在双曲线上，∴ k ＝16－ 2＝14，即双曲线的方程为2 x2－ y2＝14，∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）已知双曲线方程为 x2－8 y2＝32，则（　　） B. 虚轴长为4 C. 焦距为6 解析：　双曲线方程 x2－8 y2＝32化为标准方程为 － ＝1， 可得 a ＝4 ， b ＝2， c ＝6，所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长 为4，焦距为12，离心率为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 中心在坐标原点，离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近 线方程为 ⁠. 解析：∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ .又∵双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，∴所求双曲线的渐近 线方程为 y ＝± x . y ＝± x 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 已知点（2，3）在双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）上， C 的 焦距为4，则它的离心率为 ⁠. 解析：由题意知 － ＝1， c2＝ a2＋ b2＝4，解得 a ＝1，所以 e ＝ ＝2. 2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　椭圆、双曲线有关概念及性质的比较 椭圆 双曲线 常用几 何量的 区别 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 椭圆、双曲线几何性质的比较 椭圆 双曲线 常用几 何量的 区别 a2＝ b2＋ c2，0＜ e ＜1 c2＝ a2＋ b2， e ＞1 － a ≤ x ≤ a ， － b ≤ y ≤ b x ≤－ a 或 x ≥ a 长轴＝2 a ，短轴＝2 b 实轴＝2 a ，虚轴＝2 b 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 椭圆 双曲线 焦点三 角形中 性质的 区别与 联系 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 椭圆 双曲线 焦点三 角形中 性质的 区别与 联系 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【例1】　设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂 直， l 与 C 交于 A ， B 两点，｜ AB ｜为 C 的实轴长的2倍，则 C 的离 心率 e 为（　　） C. 2 D. 3 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　不妨设双曲线 C 的方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， 焦点 F （－ c ，0）.直线 l 垂直于 y 轴时，显然不满足题意，∴直线 l 垂直于 x 轴.则 AB 为双曲线 C 的通径，∴｜ AB ｜＝2· ＝2·2 a .∴ b2 ＝2 a2，∴ c2＝ a2＋ b2＝3 a2，∴ e ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　由通径知｜ AB ｜＝ 可直接求得 ＝2 a ，构建 a 与 c 的齐次方 程求 e . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 两类动点轨迹的类比 已知点 A （ a ，0）， B （－ a ，0），过 A 点的直线 l1与过 B 点的直 线 l2相交于一点 M ，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2. （1）当 k1· k2＝－ 时，点 M 的轨迹方程为椭圆 ＋ ＝1（ x ≠± a ， a ＞ b ＞0）； （2）当 k1· k2＝ 时，点 M 的轨迹方程为双曲线 － ＝1（ x ≠± a ， a ＞0， b ＞0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【例2】　已知点 A （－2，0）， B （2，0），动点 M （ x ， y ）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为－ ，记 M 的轨迹为曲线 C ，求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线. 解：由上述探究的结论可知 k1· k2＝－ ＝－ .又 a2＝4，∴ b2 ＝2，∴ C 的方程为 ＋ ＝1（ x ≠±2）. 即曲线 C 为焦点在 x 轴上且不包含长轴端点的椭圆. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 　　对于满足{ M ｜ kMA · kMB ＝ e2－1}的动点 M 的轨迹：当0＜ e ＜1时 点 M 的轨迹是椭圆；当 e ＞1时点 M 的轨迹是双曲线. 　　注意此时不包含左、右两个顶点，且焦点在 x 轴上. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $