2.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）及标准方程求解，课堂导入通过对比椭圆性质提问，引导学生从已知探究未知，搭建知识支架，帮助构建前后知识点脉络。 其亮点是以问题驱动探究，如通过具体双曲线方程分析渐近线趋近关系，结合数学思维推理离心率与开口联系，用规范解题步骤和作图展示数学语言。典例中分类讨论焦点位置求方程，培养学生逻辑推理与应用能力，助学生深化理解，为教师提供系统教学资源提升效率。

第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 2 双曲线 2.2 双曲线的简单 几何性质 学 习 目 标 2 3 掌握双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线）. 会求双曲线的离心率，解决与渐近线有关的问题. 会利用双曲线的几何性质解决一些简单问题. 1 读教材 阅读课本P64-P65，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“双曲线的简单几何性质”吧！ 1.双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？ 2.什么是渐近线？ 新课引入 一、双曲线的几何性质 1、双曲线的范围 双曲线位于两条直线与外侧的区域 双曲线既是关于轴和轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形,这个中心称为双曲线的中心. 2、双曲线的对称性 新课引入 3、双曲线的顶点 双曲线有两个顶点， 注：对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴,其长度为．线段为双曲线的虚轴,其长度为． 对比椭圆的几何性质，双曲线是否也有椭圆的其它性质？ 一、双曲线的几何性质、 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 3 题型训练 2 求解双曲线的标准方程 新知探究 知识点一、双曲线的简单几何性质 探究一：双曲线的离心率 我们把叫作双曲线的离心率，用表示． 椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢？ 7 新知探究 因为，所以离心率还可以记为e＝ ． 因此也有，双曲线的开口就越开阔． 因为，所以双曲线的离心率． 知识点一、双曲线的简单几何性质 探究一：双曲线的离心率 我们把叫作双曲线的离心率，用表示． 8 新知探究 探究二：双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题1：双曲线和直线的有什么位置关系？ 取双曲线上的一点， 当点P在第一象限时，， 当时，且无限逼近于1，无限逼近于． 新知探究 我们形象地称直线为双曲线的渐近线. 根据双曲线的对称性可知，直线也是双曲线的渐近线． 探究二：双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题1：双曲线和直线的有什么位置关系？ 新知探究 探究二：双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题2：你能将类比上面的方法，找到双曲线的渐近线吗？ 即当时，点P无限逼近于直线． 当双曲线上的点P在第一象限时，有， 当时，且无限逼近于1， 所以点在直线的下方，且无限逼近于， 新知探究 探究二：双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题2：你能将类比上面的方法，找到双曲线的渐近线吗？ 根据双曲线的对称性可知： 双曲线的两支向外无限延伸时与直线和无限逼近． 一般地，直线和称为双曲线 的渐近线． 双曲线渐近线的定义 12 典例分析 解： 例1：求双曲线9x2 16y2＝ 144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线． 将9x2 16y2＝ 144化为标准方程＝1， 由此可得实半轴长a=3，虚半轴长b=，半焦距． 所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦点坐标为(0，)，(0，)， 顶点坐标为(0，)，(0，)，渐近线方程为y＝x． 典例分析 解： 例1：求双曲线9x2 16y2＝ 144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线． 作图： ①画出，作出矩形； ②做出矩形的对角线，得到渐近线y＝x； ③以渐近线为参照画出双曲线． 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 3 题型训练 2 求解双曲线的标准方程 新知探究 典例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解： 知识点二、求双曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，虚轴长为4; （2）渐近线方程为，经过 （1）若双曲线的方程为，则，， 解得，，所以双曲线的标准方程是； 若双曲线的方程为，则，， 解得，，所以双曲线的标准方程是． 综上，双曲线的标准方程为或． 新知探究 典例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解： 知识点二、求双曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，虚轴长为4; （2）渐近线方程为，经过 （2）由渐近线方程得双曲线方程：. 因为过点，所以将点的坐标代入得， 故所求双曲线方程. 提分笔记 利用双曲线的简单几何性质求标准方程的思路 (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数. (2)设出相应双曲线的标准方程. (1)确定焦点的位置. (焦点位置不确定的双曲线可能有两个标准方程); 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 3 题型训练 2 求解双曲线的标准方程 题型探究 例1： 双曲线的简单几何性质范围 题型1 解： 由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 已知曲线，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 B 题型探究 例2： 双曲线的简单几何性质范围 题型1 解： 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. D 题型探究 例3： 双曲线的简单几何性质范围 题型1 解： 与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 由题意有的渐近线为，因为的渐近线为，故A错误； 由的渐近线为，故B错误，由的渐近线为，故C正确；由的渐近线为，故D错误， 故选：C. C 解： 题型探究 求解双曲线的标准方程 题型2 例1： 双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即， 所以，故双曲线的标准方程为.故选：A A 解： 题型探究 求解双曲线的标准方程 题型2 例2： 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 实轴长， 若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为， 若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为. 故选：C． C 一、双曲线的几何性质 课堂小结 1、双曲线的离心率 因为，所以离心率还可以记为e＝ ． 因此也有，双曲线的开口就越开阔． 我们把叫作双曲线的离心率，用表示． 2、双曲线的渐近线 一般地，直线和称为双曲线的渐近线． 感谢聆听! $