2.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以双曲线几何性质为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到高考适配的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|实轴长、离心率等定义公式|直接考查标准方程与基本量计算，如第1-3题| |综合应用|渐近线、焦点、距离等性质综合|结合图形与多选（第4-6题），提升辨析能力| |拓展提升|实际情境与高考真题|融入建筑物弧线（第11题）、黄金双曲线（第13题）及新高考题（第14题），培养数学建模与创新意识|

2.2　双曲线的简单几何性质 1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（　　） A.2　 　　B.2　 　C.4　 　　D.4 2.已知双曲线－＝1（a＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 3.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为（　　） A. B. C.1 D. 4.从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 5.（多选）双曲线C1：－y2＝1与C2：－y2＝λ（λ＞0且λ≠1）的（　　） A.顶点相同 B.焦点相同 C.离心率相同 D.渐近线相同 6.（多选）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（　　） A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF1F2的面积为 7.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜的值是　　　　. 8.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　　　　. 9.若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　　　　. 10.设双曲线－＝1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 11.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　） A.－x2＝1 B.y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 12.图中的多边形均为正多边形，图①，②中M，N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　） A.e1＞e2＞e3 B.e1＜e2＜e3 C.e1＝e3＜e2 D.e1＝e3＞e2 13.（多选）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A.曲线－＝1是黄金双曲线 B.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么b2＝ac（c为半焦距） C.如果双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线 14.（2023·新高考Ⅰ卷16题）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　. 15.已知双曲线E：－＝1. （1）若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； （2）若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围. 16.若点O和点F（－2，0）分别为双曲线－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围. 2.2　双曲线的简单几何性质 1.C　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C. 2.C　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 3.B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为（1，0），（－1，0），故顶点到渐近线的距离为. 4.C　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C. 5.CD　由C2：－y2＝λ⇒－＝1，因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：－y2＝1，＝4，＝1，＝5，e1＝，渐近线为y＝±x，对C2：－＝1，＝4λ，＝λ，＝5λ，e2＝，渐近线为y＝±x，由此判断B错，C、D正确.故选C、D. 6.ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确.由双曲线的方程可知｜F1F2｜＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误.点P在圆x2＋y2＝2上且在直线y＝±x上，不妨设点P（x0，y0）在直线y＝x上，所以解得｜x0｜＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确.故选A、C、D. 7.6　解析：设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝2×3＝6. 8.2　解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 9.　解析：双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋（y－2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝. 10.解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2（c2－a2）＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11.D　双曲线的下焦点坐标为（0，－c），渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，则下焦点到渐近线的距离为＝＝b＝3，又离心率e＝＝＝2，所以a2＝3，所以该双曲线的标准方程为－＝1.故选D. 12.D　在图①中，连接MF2，设｜F1F2｜＝2｜MF1｜＝2c.∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜＝c，∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝（－1）c，∴e1＝＝＝＋1. 在图②中，连接MF2，F1F2，设｜F1F2｜＝2c.∴（2｜MF1｜）2＋（2｜MF1｜）2＝｜F1F2｜2＝4c2，解得｜MF1｜＝c.又∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜2＝｜MF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜MF1｜·｜F1F2｜cos∠MF1F2，解得｜MF2｜＝c.∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝c，∴e2＝＝＝. 在图③中，连接MF2，F1F2，设｜F1F2｜＝2｜MF1｜＝2c.∵∠MF1F2＝，∴｜MF2｜＝c，∴｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝c－c＝（－1）c，∴e3＝＝＝＋1.∴e1＝e3＞e2.故选D. 13.BD　对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠（）2＝，故A错误；对于B，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）是黄金双曲线，则e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝（a）2－a2＝a2＝ac，故B正确；对于C，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则F（c，0）到该渐近线的距离d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；对于D，当x＝c时，y2＝（－1）b2＝，令M（c，），N（c，－），则＝（c，），＝（c，－），所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.故选B、D. 14.　解析：法一　设A（x1，y1），B（0，y0）.由题意知F1（－c，0），F2（c，0）.由＝－，得（x1－c，y1）＝－（－c，y0）.整理，得x1＝c，y1＝－ y0，所以A（c，－y0）.因为⊥，所以·＝0，即（c＋c，－y0）·（c，y0）＝0，所以c2－＝0，解得y0＝±2c，所以A（c，±c）.因为点A在双曲线C上，所以－＝1，即－＝1，所以－＝1.整理，得25e4－50e2＋9＝0，解得e2＝或e2＝（舍去），所以e＝. 法二　由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得｜F2A｜＝｜F2B｜.设｜F2B｜＝3m（m＞0），则｜F2A｜＝2m，所以｜F1B｜＝｜F2B｜＝3m，｜AB｜＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以｜AF1｜＝＝4m，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则｜AB｜·｜F1D｜＝｜F1A｜·｜F1B｜，即×5m×｜F1D｜＝×4m×3m，所以｜F1D｜＝m，所以｜BD｜＝＝m，所以｜F2D｜＝m，则｜F1F2｜＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝. 15.解：（1）m＝4时，双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝，c＝3， 所以焦点坐标为（－3，0），（3，0），顶点坐标为（－2，0），（2，0），渐近线方程为y＝±x. （2）因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以＜1＋＜2，解得5＜m＜10， 所以实数m的取值范围是（5，10）. 16.解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0），所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $