课时分层作业14 双曲线的简单几何性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(十四) 1．A　[由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为．故选A．] 2．C　[设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，∵e＝，c＝，∴，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C．] 3． D　[设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H， 则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a， 所以M(2a，a)． 将点M的坐标代入双曲线方程＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．] 4．A　[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2．由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．] 5．B　[设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．] 6．5　[依题意3＝，∴a＝1，由点P在双曲线右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5．] 7．　[设点P的坐标为，则＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋，根据双曲线的范围知：≥2， ∴当x＝时，，即．] 8．　[由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为，所以 所以A＝(c，y0)， 因为，所以·＝0，即c2－＝0，解得＝4c2． 因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得，所以e2＝1＋，所以e＝．] 9．解：椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)， 因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5． 设双曲线G的方程为＝1(a>0，b>0)， ∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25． 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r＝3， ∴＝3，得a＝3，b＝4． ∴双曲线G的方程为＝1． 10．解：(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)， 且双曲线方程为＝1， ∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1， ∴双曲线的方程为－y2＝1． (2)∵a＝，b＝1， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x， 令x＝－2，则y＝±， 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|AB|＝， 记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝． 11．D　[焦点F1(－，0)，F2(，0)， 在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，① |AF1|2＋|AF2|2＝12，② 联立①②，解得|AF2|－|AF1|＝2， 即2a＝2， 又2c＝2，故双曲线的离心率e＝，故选D．] 12．C　[设点A是双曲线的右焦点，由)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且|PA|＝2|OE|＝a，再根据双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，可得|PF|＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a)2＋a2＝(2c)2，对该式化简可得e＝．] 13．AC 14．　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1， 得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5， 又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．] 15．D　[根据双曲线的离心率e＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝，所以|AB|＝2，故选D．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十四)　双曲线的简单几何性质 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分 一、选择题 1．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　) A．　　　　 B．　　 C．　　　　 D． 2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x 　 B．y＝±x C．y＝±x 　 D．y＝±x 3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A． 　 B．2 C． 　 D． 4．设F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． 　 B． C．2 　 D． 5．如图，F1为双曲线C：＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　) A．3 　 B．6 C．4 　 D．8 二、填空题 6．已知P是双曲线＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________． 7．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________． 8．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________． 三、解答题 9．已知椭圆D：＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 10．已知双曲线＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 12．过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝)，则双曲线的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 13．(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 　 B．－y2＝1 C．－x2＝1 　 D．y2－＝1 14．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 15．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $