2.1.2 第二课时 椭圆的简单几何性质（二）课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的离心率及实际应用，通过典型例题导入，从定义法、构造齐次方程到离心率取值范围，搭建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合嫦娥四号轨道等实际问题培养数学眼光，通过多解法（如例2法一法二）训练数学思维，通性通法总结强化数学语言。学生能提升解题与应用能力，教师可高效实施分层教学。

第二课时　 椭圆的简单几何性质（二） 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 椭圆的离心率问题 角度1　定义法求离心率 【例1】　椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个焦点为 F ，该椭圆上有 一点 A ，满足△ OAF 是等边三角形（ O 为坐标原点），则椭圆的离心 率是 ⁠. －1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：如图，设 F （ c ，0），由△ OAF 是等边三角 形，得 A ，∵点 A 在椭圆上，∴有 ＋ ＝1　①，在椭圆中有 a2＝ b2＋ c2　②，联立① ②，得 c2＝（4－2 ） a2（ c2＝（4＋2 ） a2舍 去），即 c ＝（ －1） a ，则其离心率 e ＝ ＝ －1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　构造齐次方程求离心率 【例2】　设椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点， PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2＝30°，则 C 的离心率 为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　法一　由 PF2⊥ F1 F2可知 P 点的横坐标为 c ，将 x ＝ c 代入 椭圆方程可解得 y ＝± ，所以｜ PF2｜＝ .又由∠ PF1 F2＝30°， 可得｜ F1 F2｜＝ ｜ PF2｜，故2 c ＝ · ，变形可得 （ a2－ c2）＝2 ac ，等式两边同除以 a2，得 （1－ e2）＝2 e ，解得 e ＝ 或 e ＝－ （舍去）. 法二　由题意可设｜ PF2｜＝ m ，结合条件可知｜ PF1｜＝2 m ，｜ F1 F2｜＝ m ，故离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度3　求离心率的取值范围 【例3】　若椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上存在一点 M ，使得∠ F1 MF2＝90°（ F1， F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率 e 的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　设 M （ x0， y0），则｜ x0｜＜ a .∵ F1（－ c ，0）， F2 （ c ，0）， ∴ ＝（－ c － x0，－ y0）， ＝（ c － x0，－ y0）. ∵∠ F1 MF2＝90°，∴ · ＝0，∴ ＋ ＝ c2. 又∵点 M （ x0， y0）在椭圆上，∴ ＝ b2－ ， ∴ ＋ ＝ b2＋ ∈[ b2， a2），即 c2∈[ b2， a2），∴ c2≥ b2＝ a2 － c2，∴ ≥ ，∴ e ≥ . 又0＜ e ＜1，故椭圆的离心率 e 的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　设点 M 的坐标是（ x0， y0），则｜ x0｜＜ a ，由题意得 消去 y0，得 ＝ . ∵0≤ ＜ a2，∴ 由①得 c2≥ b2，即 c2≥ a2－ c2，∴ a2≤2 c2，∴ e2＝ ≥ . 又0＜ e ＜1，∴ e ∈ ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由②得 c2－ b2＜ c2，此式恒成立. 综上所述，所求椭圆的离心率 e 的取值范围是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e ＝ 求解.若已知 a ， b 或 b ， c 可借助于 a2＝ b2＋ c2求出 c 或 a ，再代入公式 e ＝ 求解； （2）方程法：若 a ， c 的值不可求，则可根据条件建立 a ， b ， c 的关 系式，借助于 a2＝ b2＋ c2，转化为关于 a ， c 的齐次方程或不等 式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的 方程或不等式，即可求得 e 的值或范围. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 焦点在 x 轴上的椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），短轴的一个 端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 ，则椭圆的离心率为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，由 三角形的面积公式得 ×2 c × b ＝ ×（2 a ＋2 c ）× 得， a ＝2 c ， 即 e ＝ ＝ ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，若直 线 x ＝ 上存在点 P ，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率 的取值范围是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由垂直平分线的性质知｜ F1 F2｜＝｜ PF2｜，设直线 x ＝ 与 x 轴的交点为 M ，则｜ PF2｜≥｜ F2 M ｜，即｜ F1 F2｜≥｜ F2 M ｜，则2 c ≥ － c ，即3 c2≥ a2，所以 e2＝ ≥ ，又0＜ e ＜1，所以 ≤ e ＜1.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 椭圆的实际应用问题 【例4】　（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首 个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研 人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦 娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表. 如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近 一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后 卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月 飞行.若用2 c1和2 c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2 a1和2 a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　） A. a1＋ c1＝ a2＋ c2 B. a1－ c1＝ a2－ c2 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题图可知， a1＞ a2， c1＞ c2所以 a1＋ c1＞ a2＋ c2，所以 A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得， a1－ c1＝｜ PF ｜，在椭圆轨道Ⅱ中可 得，｜ PF ｜＝ a2－ c2，所以 a1－ c1＝ a2－ c2，所以B正确； a1＋ c2＝ a2＋ c1，两边同时平方得， ＋ ＋2 a1 c2＝ ＋ ＋2 a2 c1，所以 － ＋2 a1 c2＝ － ＋2 a2 c1，即 ＋2 a1 c2＝ ＋2 a2 c1，由题 图可得， ＞ ，所以2 a1 c2＜2 a2 c1， ＜ ，所以C错误，D正确. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球 的中心） F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点 A （离地面最近 的点）距地面439 km，远地点 B （离地面最远的点）距地面2 384 km，并且 F2， A ， B 在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图，建立直角坐标系，使点 A ， B ， F2在 x 轴上， F2为椭圆右焦点（记 F1为左焦点）， 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）， 则 a － c ＝｜ OA ｜－｜ OF2｜＝｜ F2 A ｜＝6 371＋439＝6 810， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） a ＋ c ＝｜ OB ｜＋｜ OF2｜＝｜ F2 B ｜＝6 371 ＋2 384＝8 755， ∴ a ＝7 782.5≈7 783. ∴ b ＝ ＝ ＝ ≈7 721， ∴卫星运行的轨道方程是 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 椭圆 ＋ ＝1的离心率是（　　） 解析：　由椭圆 ＋ ＝1可得 a ＝3， b ＝2，∴ c ＝ ＝ ，∴椭圆的离心率 e ＝ ＝ .故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据 可得该椭圆的离心率为（　　） 解析：　由题意可知2 a ＝25.5，2 b ＝20.4，则 c ＝ ＝ ＝ ，所以椭圆的离心率 e ＝ ＝ ＝ ，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1 A2为直径的圆与直线 bx － ay ＋2 ab ＝0相切，则 C 的离心率为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　以线段 A1 A2为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝ a2，由原点到 直线 bx － ay ＋2 ab ＝0的距离 d ＝ ＝ a ，得 a2＝3 b2，所以 C 的离心率 e ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：法一　设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），则 kAB ＝－ .∵ OP ∥ AB ，∴直线 OP 的方程为 y ＝－ x .又 PF ⊥ x 轴，∴点 P 的坐标为（－ c ， ）.而点 P 也在椭圆上，∴ ＋ ＝1，即2 e2 ＝1，∴ e ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），点 F （－ c ，0）.∵ P 是椭圆上一点，且 PF ⊥ x 轴，∴易得点 P 的坐标为（－ c ， ）.又 OP ∥ AB ，∴Rt△ OPF ∽Rt△ ABO ，∴ ＝ ，即 ＝ ， 则 ＝ ，∴ b ＝ c ，∴ a ＝ c ，∴ e ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为6 m（如图所 示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车 辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是 ⁠m. 解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1，当点（4 ，4.5）在椭圆上时， ＋ ＝1，解得 a ＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴ a ≥16， d ＝2 a ≥32，故拱宽至少为32 m. 32　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $