第5单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 A卷 基础达标-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第五单元直线与圆的位置关系、 圆与圆的位置关系 A卷基础达标 测试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 密 1.设集合A={(x,y)x2+y2=8,x,y∈R},B={(x,y)|x-y=0, x,y∈R},则A∩B的元素个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 封 2.若a2十b2=2c2(c≠0)，则直线ax十by十c=0被圆x2十y2=1所 典 截得的弦长为 () 线 A日 B.1 C 2 D.2 3.已知直线1：x一y十1=0，圆C:x2+y2=1,则圆C关于直线1对 称的圆的方程为 ( ) 内 A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 不 4.由直线y=x十1上的点向圆(x一3)2+y2=1作切线，则切线长 的最小值为 ( 如 准 A.1 B.7 C.2√2 D.3 5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的 著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一 答 个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点 的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0), 题 A(3,0),动点P(x,y)满足PA=2,则动点P的轨迹与圆(x PO 1)2+y2=1的位置关系是 () A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 6.当直线l:(m+1)x+(2m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C:(x 2)2+(y一1)2=25截得的弦最短时，实数m的值为 () 丝 A.- B.- c 邻 7.设点A(一2,3)，B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆 (x+3)2+(y十2)2=1有公共点，则a的取值范围是 () B[号别 c(g》 n哈别 8.已知直线l:ax-y+2=0(a∈R)与圆M:x2+y2-4y+3=0的 交点为A,B,点C是圆M上一动点，设点P(0,一1)，则|PA十 PB+PC的最大值为 A.9 B.10 C.11 D.12 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 9.平行于直线2x十y十1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程 可以是 () A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0 10.直线y=ax十b与圆(x一a)2+(y一b)2=1的大致图形可能是 平卡 11.已知圆(x-1)2+(y-1)2=4与直线x+my-m-2=0,下列 选项正确的是 A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交且所截最短弦长为2√3 D.直线与圆可以相切 12.已知点P在圆(x-5)+(y-5)=16上，点A(4,0),B(0,2), 则 () A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB=3√2 D.当∠PBA最大时，|PB=3√2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知圆C:x2+y2-2x+6y=6,则直线3x一4y+1=0和圆C 的位置关系为 14.圆x2+y2+2x十4y-3=0上到直线l:x十y+1=0的距离为√2 的点有 个 15.已知圆C:x2十y2=4与圆D:x2十y2-4x+2y+4=0交于A,B 两点，则两圆心所在直线CD的方程为 ,两圆公共弦 AB的长为 .(本题第一空2分，第二空3分) 16.已知圆C:x2+y2-2ax-4y十a2-12=0与过点P(一3,0)的直 线交于A,B两点，若△ABC面积的最大值为8，则实数a的取 值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 17.(10分)已知圆O:x2十y2=4,直线1过点A(0,4). (1)若直线1与圆O相切，求直线1的方程； (2)若直线l与圆O交于E,F两点，且∠EOF=60°，求直线1的 方程. 第一部分单元检测卷11 18.(12分)已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线 y=x一4相切. (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1,3)的直线1交圆C于A,B两点，且|AB|= 2,求直线1的方程. 19.(12分)已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,C2:(x-3)2+ (y-5)2=3,点P,A,B分别在x轴和圆C1,C2上. (1)判断两圆的位置关系； (2)求PA十PB的最小值. 12第一部分单元检测卷 20.(12分)（情境创新）树林的边界是直线1（如图CD所在的直 线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于 I的垂线AC上的A点和B点处，AB=BC =a(a为正常数).若兔子沿AD方向以速 二河 度2(4为正常数)向树林逃跑，同时狼沿 线段BM(M∈AD)方向以速度4进行追 击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达树林7” 树林C M处的时间，狼就会吃掉兔子. (1)求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积 S(a); (2)若兔子要想不被狼吃掉，求(0=∠DAC)的取值范围. 21.(12分)已知直线1经过直线2x-y一3=0和4x-3y-5=0的 交点，且与直线x十y-2=0垂直. (1)求直线1的方程： (2)若圆C的圆心为点(3,0)，直线（被该圆所截得的弦长为 2√2，求圆C的标准方程， 22.(12分)已知线段AB的端点B的坐标是(2,0)，端点A在圆 N:(x十2)2十y2=8上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T. (1)求曲线T的方程； (2)试判断x轴上是否存在定点G,满足过点G任作一直线（不 与x轴重合)与曲线T相交于M,S两点，连接BM,BS,恒有 ∠MBG=∠SBG.若存在，求出G点坐标；若不存在，请说明 理由.第五单元直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 A卷基础达标 1.C易知圆x2+y2=8与直线x-y=0相交，故A∩B有2个元素，故选C. 2.Da2十b2=2c2,圆心到直线的距离d= c 设弦长为1，则1=2 √a2+62√2 √2-d=√2.故选D. 3.C设圆心C(0,0)关于直线l对称的圆心为C‘(a,b),由直线1为线段CC‘的垂直平 (a+0_b+0+1=0 分线可得b=一1 2 2 ,解得a=一1，b=1,则对称的圆的圆心为C(一1， a 1),半径为1，所以圆C关于直线1对称的圆的方程为(x十1)2十(y一1)2=1.故选C. 4.B当直线y=x十1上的，点与圆心距离最小时切线长取得最小值，圆心(3,0)到直线 y=十1的距离为d=3一0十1=22，圆的半径为，=1，故切线长的最小值为 √2 √d2-r2=√8-1=√7，故选B. 5.C设P(x,y),由PA=2PO|,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x十1)2+y2 =4,表示圆心为（一1,0），半径为R=2的圆，圆(x一1)2十y2=1的圆心为(1,0)，r 1为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足R一r<2<R十r,所以两个圆相交，故选C 6.A依题意直线l:(m十1)x十(2m十1)y一7m一4=0(m∈R),整理得(x十2y一7)m ++y一4=0，令儿什7.0，解得3故直线1边定点A13.国C: 2)2十(y一1)2=25的圆心为C(2,1),半径为5，因为(1一2)2十(3一1)2=5<25，所 以点A在圆C内，所以当L⊥AC时，直线l被圆C截得的弦最短，直线AC的斜率为 质c--2,所以直线1的针率为一由-名解得m=一圣故选A 7.D由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3),所以kAB 3,a,所以直线A'B的方程为y=3,x十a,即(3-a)x-2y十2a=0.由题意知直线 2 A'B与圆(x十3)2十(y十2)2=1有公共点，易知圆心为（一3,2），半径为1，所以 8-aX-3》-2X二2)+2a<1,警理得6a2-1la+3≤0，解得}≤a≤号，所 √(3-a)2+(-2)2 以实复a的取值范国足}，号引成选D 8.B将圆M:x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1,所以M(0,2),又点P(0, 1),C(cos0,2+sin0),所以|PM=3,lPC1=√cos20+(3+sin0)2=√/10+6sin0≤ 4.因为直线1过定点(0,2)，即过点M,所以M为AB中点，所以|PA十PB+PC 2|PM+PC≤|2PM+|PC1≤2×3+4=10，故|PA+PB+PC|的最大值为10. 故选B. 9.CD依题意可设所求切线方程为2x十y十c=0(c≠1)，则圆心(0,0)到直线2x十y十 c=0的距离为，c =5,解得c=士5.故所求切线方程为2x+y十5=0或2x十y /22+12 -5=0.故选CD. 10.AC对于A,直线y=ax十b中的斜率a>0,裁距b>0,圆(x-a)2+(y-b)2=1 的圆心(a,b)在第一象限，A正确；对于B,C,直线y=ax十b中的斜率a<0,截距b <0,圆(x-a)2+(y-b)2=1的圆心(a,b)在第三象限，B不正确，C正确；对于D, 直线y=ax十b中的斜率a>0,截距b<0,圆(x-a)2+(y-b)2=1的圆心(a,b)在 第四象限，此时直线y=ax十b在y轴上的截距b与圆心的纵坐标b相同，由图知D 不正确.故选AC. 11.AC由题意，圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1,1),半 径r=2. 3 直线x十my一m一2=0，化为x一2十m(y一1)=0，则直线 过定点A(2,1). 2 .1CA1=√(2-1)2+(1-1)2=1<2， ,直线与圆必相交，故A正确，B,D错误 01 由平面几何知识可知，当直线与直线AC垂直时，弦长 1 最小， 此时弦长为22-CA2=2√3，故C正确.故选AC. 12.ACD设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),由题易 知直线AB的方程为平十之=1，即x十2y一4=0，则圆心M 到直线AB的距离d=5+2X5-4=1>4,所以直线AB与 √5 /5 圆M相离，所以，点P到直线AB的距离的最大值为4十d=4十 0 90参考答案 山.4+15510，故A正确，易知点P到直线AB的距离的最小值为d 4=1儿4，↓-4雪4=1，故B不正确.过点B作圆M的两条切线切点分别 为N,Q,如图所示，连接MB,MN,MQ,则当∠PBA最小时点P与N重合，PB =√TMB2-MNz=√52+(5-2)2-42-3√2；当∠PBA最大时，点P与Q重 合，PB=3√2，故C,D都正确.故选ACD. 13.答案相交 解析将圆C:x2+y2-2x十6y=6化为(x-1)2+(y十3)2=16，.圆心C(1,-3), 半径r=4,∴.圆心C(1,-3)到直线3x-4y十1=0的距离d= 3X1-4X-3)十1=6人4，心直线3z4y+1=0和圆C的位置关系为相交 W32+(-4)2 14.答案3 解析圆的一般方程化为标准方程为(x十1)2十(y十2)2=8.圆心坐标为（一1，一2）， 圆的半径为22，圆心到直线L的距高为2十1一号2.因此和直钱L平有 W/12+12 的圆的直径的两端点及与直线1在圆心同侧且与直线（平行的圆的切线的切点到 直线1的距离都为√2，共3个，点. 15,答案x+2y=045 5 解析由题意知，圆C的圆心坐标为(0,0)，圆D的圆心坐标为(2，一1)，可得两圆 心所在直线CD的方程为x十2y=0.联立两圆方程，得 |x2+y2=4① 2+y2-4x十2y十4=0②①-②可得两圈公共弦AB所在直线的方程为2x 了0国心C到直线之=的是秀4一后所以1A= -16_45 √4-5 51 16.答案(-∞，5]U[-1,+o∞) 解析由C:x2+y2-2a.x-4y十a2-12=0→(x-a)2+（y-2)2=16,所以该圆的 半径为4，圆心Ca,2).SA=号·CA·CB·sn∠ACB=号×4X4·sm ∠ACB=8sin∠ACB,所以当∠ACB=乏时，S△ABC有最大值8，此时△ABC是等腰 直角三角形，因此点C到直线AB的距高为号|AB=号X√+=2E,所以有 |PC|≥2√2，即√/(a+3)2+22≥2√2，解得a≥-1或a≤-5. 17.解(1)当直线1的斜率不存在时，直线方程是x=0,经过圆O的圆心，所以直线与 圆不相切，不符合题意；法一当直线1的斜率存在时，设直线1：y=kx十4，因为直 线【与圆O相切，所以圆心到直线的距离为 4=2,解得k=士3， √/k2+1 所以直线l的方程是y=士3x十4. 法二当直线1的斜率存在时，设直线1：y=kx十4，联立直线1和圆O的方程，得 消去y得1+r+8+12=0 因为直线1与圆O相切，所以△=64k2一48(1+k2)=0,解得k=士√3，所以直线1 的方程是y=士√3.x十4. (2)由(1)知当直线1的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，不满足条件，所以设直线 l:y=k'x+4. 由条件可知△0F是等边三角形，圆心到直线1的拒离d-号-，即4与一厅，解 √R2+1 得=士，所以童线1的方程是y=士+ 18.解(1)由题意，设圆心坐标为C(a,0)(a>0), 由题意，得√a-1)2+(0-1)=a-,解得a=-6(舍)或a=2, √2 所以圈的半径为，=2一4=2，则图C的标准方程为（红一2）2+y2=2. √2 (2)若斜率不存在，则直线方程为x=1,弦心距d=1,半径为√2，则AB= 2√2-d2=2,符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y-3=k(x一1)，即kx-y一k十3=0. 弦心距d=k+3得AB=2/2-E十3)2 V1+k2 1+62=2, 解得及=一专直线方程为y=-专+号即4红+3y-13=0, 综上所述，直线l的方程为x=1或4x十3y一13=0. 19.解(1)由题意得，C1(1,2),C2(3,5),r1=1,r2=3, ∴.1CC2=√(3-1)2+(5-2)2=√/13，m1+r2=1+3. CC2>r十r2..两圆的位置关系为外离. (2)如图，作圆C2关于x轴的对称圆C'2,则C2(3,一5)， 个y 6 5 'C, 4 3 2 3-2-马012p的4567 -2 -3 B -4 -6 'C2 令B关于x轴的对称，点为B', 则PA|+PB的最小值为PA十PB的最小值， 即为1C1C'21-r1-r2=√(3-1)2+(-5-2)2-1-√3=√53-1-√3. 20.解(1)如图，建立平面直角坐标系xOy, y 设A(0,2a),B(0,a),M(xy). 由BM<4M,得2+(y-号)<g· 2a）24a2 2 “点M在以(0，)为圆心，丰径为号的圆及其内 3 B 年Se)-g 0(© (2)设直线lAD:y=kx十2a(k≠0)， 树林 若兔子要想不被狼吃掉，则 2三>号降释6 2a /1+k2 (-√3,0)U(0,√3)， .0°<∠ADC<60°..0∈(30°，90)，即0的取值范围是(30°，90). 21.解1已如得径，”6年得：两直线文点方2》. 设直线1的斜率为k1, ,直线l与x十y一2=0垂直，.k1=1, ,直线1过点(2,1)，.直线1的方程为y-1=x一2，即x一y-1=0. (2)设圆的半径为r,依题意，得 国心(3.0)到直线x-y-1=0的距离为31=2， √2 则由垂径定理得r2=(√2)2十（√2）2=4， r=2,.圆的标准方程为(x-3)2十y2=4. 22.解(1)设点P的坐标为(x,y),A(m,), x=m十2 P是线段AB的中点，且B(2,0),由中点坐标公式得 y=2 又点A在圆N:(x十2)2十y2=8上运动， 所以(2x-2十2)2十(2y)2=8,化简得x2十y2=2, 所以曲线T的方程为x2十y2=2. (2)如图所示，若点G在圆外，过点G的直线与曲线T相 ↑y 交于M,S两点，则M,S在点G的同侧，有∠MBG≠ 、M ∠SBG,所以点G必在圆内. 设点G(a,0)(-√2<a<√2)， G ①当过，点G的直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必 有∠MBG=∠SBG; B主 ②当过点G的直线的斜率存在时，设直线的方程为1： y=(x-a)(k≠0)，联立x2士y2=2 y=k(x-a)' 化简整理得(k2+1)x2-2ak2x十k2a2-2=0. 2ak2 设M(x11),S(x2y2),则十2=A2+12 k2a2-2 k2+1 由题意知，∠MBG=∠SBG,则直线MB,SB的倾斜角互补，即kMB十ksB=0, 则 y2 1-2Tx2-2=0. 将1=k(1-a2=k(x一a)代入上式可得二a+C二）=0， x1-2x2-2 又k≠0，所以2十：0，化同签理得2z1x2(2十a)(十2)+4如=0， 即2×a22-(2+a)2ak k2+1 2+1十4a=0,解得a=1,所以G点坐标为(1,0). B卷能力提升 1.B.两圆的半径相等，.两圆必是外切，.√/(a一b)2十(b-a)2-=2c,即(a一b)2 =2c2.故选B. 2.B当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以 过点P(1,2)的直径所在直线的针率-二82，故所求直线的斜车为-？，所以所 求直线方程为y-2=-(x-1),即x十2)-5=0.故选B. 3.C由圆(x-2)2+(y-1)2=1,可得圆心为(2,1)，半径r=1.:直线x-ky-1=0 与圆（一2）2+(y一1)2=1相切：.12-+1=1，k=0,反之亦成立“k=0”是 /1+k2 “直线x-ky-1=0与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切”的充要条件，故选C. 4.C由圆C1:x2+y2-mx-3=0平分圆C2:(x-1)2+(y-2)2=4的周长可知，圆 C经过圆C2的一条直径的两个端点，所以圆C2的圆心在圆C1与圆C2的公共弦 上，由两圆方程相减整理得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为(2一m)x十4y 一4=0，又圆心C2(1,2),所以2-m十8-4=0，所以m=6,故选C. 5.A由己知圆C:x2十y2+6.x-6y-36=0,得(x十3)2十(y-3)2=54,所以圆心为 C(一3,3)，半径r=3√6，且7<r<8.设定点为M(2,一2)，易知M(2,一2)在圆C内， MC=√/50，当MC与AB垂直时，|AB最小，为254-50=4；当AB经过，点C (一3,3)时，|AB最大，为2r=6√6，故|AB∈[4,6√6]，即AB|∈[4，√216].又因 为14/21615，AB的长为整数，所以当AB=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14时， 直线！各有两条，当AB=4时，直线1有一条，所有满足条件的直线共有10×2十1 =21(条).故选A. 6.B由题意知，直线2a.x十by十6=0过圆心C(一1， x-y-3=0 2),即一2a+2b+6=0,化简得a一b一3=0，所以P (a,b)在直线x一y一3=0上.如图，为使|PA最小， 只需圆心(C(一1,2)与直线x一y一3=0上的，点的距离 3-2-1 最小，所以PA的最小值为/-12-3)-2=4， 2 故选B. 7.B曲线x=/1一y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整 个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）的部 分.在同一平面直角坐标系中，画出y=x十b与曲线x= /1一y2(就是x2十y2=1,x≥0)的图象，如图所示.相切时，b= 一√2，其他位置符合条件时需一1<b1.故选B. 8B国为直线1与两坐标轴分别交于(0，）（号0），所以直 线1的方程为5+兰=1，即3x十4y-5=0.园C:2十y=9 、B 34 的圆心为原点O(0,0),半径r1=3,依题意，圆C2的圆心C2在 圆C1内，设半径为r2,如图，连接OC2.因为圆C2与圆C内 0 切，所以OC2=r1一2，即r2=n-|OC2,而点C2在线段AB -5 上，过O作OP⊥AB于点P,则|OP= =1,显然O0C2 √32+42 |≥OP|,当且仅当点C2与点P重合时取“=”，所以(r2)max=r1-OP=3-1= 2,所以圆C2半径的最大值是2.故选B. 9.CD圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为7二-=1，得b=2或12.故选CD 5 10.ACD由直线l:mx+y+3m-√3=0→m(x+3) y 十y一√3=0知其过定点（一3，√3），A正确；圆心O 到直线1的距离为1=13m-5,由AB1=25. /m2+1 A 得(3m-3)2 十(3)2=12，解得m=一，B不 0 D √m2+1 延确；直线1的斜率为k=一m=。,C正确；如因 所示，过，点C作CE⊥BD,垂足为E,因为AB BD,所以AB∥CE,因为AC⊥AB,所以四边形ABEC为矩形，又直线I的倾斜角a =否，则∠DCE=a=否，在R△CDE中，可得CD1=CE-AB-2gX2 cos a cos a /3 4,D正确故选ACD. 11.ABD圆C1的圆心是(0,0)，半径r1=1,圆C2:(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)，r2= 2,∴|C1C2=2,故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得4x=1→x =,放B正确：AC=1,AC2=2,CC2=2,AC2+AC,2≠CC3, 所以ACLAC不正确，故C不正确：圆心(0,0)到直线x=}的距离d=子AB -2VP-子-20-.故DE疏故选AD 12.BCD如图，对于A,当四边形PAMB为菱形时，|MA =AP|=√2，连接PM,则|PM=√AM2+AP= √2+2=2，又M(-1,0)到直线x-y-3=0的距离为 -1-0一3=22>2，所以不存在点P,使得四边形 √2 PAMB为菱形，故A错误；对于B,由A可知PM≥2√2， |PB=√/TPM2-IMB2=√/TPM2-2≥√8-2=√6. 故B正确；对于C,设P(t,t-3),由图象可知M,A,P,B 四意在以P以为直径的圆上，圆的方程为(x一号)十 (y-23)）-+24=3》,即2++x+3y-(x+y+1D1=0.令 2 4 T十x十3y=0,解得T=一1或x二2所以△PAB的外接圆恒过两个 x+y+1=0 点，故C正确；对于D,过M,A,P,B的圆的方程为x2十y2十x十3y-(x十y十1)t= 0.由2士十x十3y2（+)+11=0①.0-②得直线AB的方程为1+1Dz 1(x+1)2+y2=2② 十(t一3)y十t一1=0，则原点到直线AB的距离为d= t-1 /(t+1)2+(t-3)2 t-1 t-1 1 24+02D+8/2+8— 合号故D正项故运CD (t-1)2 13.答案x一y+2十√2=0（答案不唯一） 解析将圆C:x2+y2+4x=0化为(x十2)2+y2=4,其圆心C(一2,0)，半径为2. 于是国心C到直线x-y十m=0的距离为d=-2-0+m,当-2-0+m≤1 √2 √2 时满足题意，解得2一√2m2十√2，所以满足题意的m的取值范围为[2一√2,2十√2]， 可取m=2十√2，此时直线l的方程为：x一y十2十√2=0. 14.答案5√2-5 解析原点(0,0)到直线x一y十10=0的距离d=10-0十10=52，当满足，十5 2 =d时，即r=5√2一5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切. 15.答案号 解析由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a,0)(a>0),则|SQ=√a2+32=2 十3，解得a=4,即S(4,0),所以L(一4,0).当直线1的斜率不存在时，不符合题意， 设直线1的方程为y=kx(k≠0)，则点L,S,Q到该直线的距离分别为d1= -4k /1+k2 0则（号）-听=4酸9-即 1十21 16.答案2+12v2π 3 解析(1)连接PC(图略)，因为点P是弦AB的中点，所以PC⊥AB,设A(1,y),B （2由X2)2+2)2=2得2+024k+IDx+6=0,由4>0得2 一3<k<2十3，又P是直线x=1与直线l:y=kx的交点，所以P(1,k),又C(2, 2②，所以kC·k=冬二号k=1,即2-2k=1,解得及=2十1或k=1一2（含 去) (2)如图，连接OC,易知当k=1时，点P与点C重合， y外 又由当k≠1时PC⊥OP,可知点P的轨迹是以OC为 直径的圆在圆C内部的一段孤（不包括孤的两个端 M 点)，记为MN.连接CM,CN,OM,ON,因为|OC|= 2√2，|CM=CN=√2，所以在直角三角形OCM和 直角三角形0CN中，∠COM=∠C0N=否，所以 M0N=景，的长度为×反=2s 3 17.解(1)选①. 设圆心为C(a,2a)(a>0),则r=|CA=/(a一1)2+(2a+1)2=/5a2+2a+2=3, 解得a=1,即C(1,2),所以圆C的方程是(x-1)2+(y一2)2=9. 选②. 设圆C的方程为(za)2+yb2=9,由题意得二a260299, 解得a=1,b=2,即C(1,2),所以圆C的方程是(x-1)2+(y-2)2=9. (2)易知点P(4,3)在圆外， ①当切线斜率不存在时，切线方程为x=4,圆心C到切线的距离d=4一1=3=r, 满足条件。 ②当切线斜率存在时，设切线I:y一3=k(x-4),即kx一y-4k十3=0， 41 则圆心C到切线的距高dk二2二4k十33，解得一了子 /k2+1 则切线的方程为4x+3y一25=0. 所以过点P(4,3)的圆C的切线方程为x一4=0或4x十3y-25=0. 18.解(1)证明l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0(m∈R), 由2+”解得g:年1楼过定点A8 （y=1, 因为圆心为C(1,2),AC|=√5<5（半径），所以点A在圆C内， 从而直线！与圆C恒交于两，点， (2)由题鸯可知孩米最小时山AC因为k=一合所以1的斜幸为2. 又1过点A(3,1),所以1的方程为2x-y-5=0. 1解①设Py,由题意可知A3.0,B120,P路=2PA=PB, .2√(x-3)2十y2=/(x-12)2十y2,即x2十y2=36,∴.曲线E的方程为x2十y2= 36. (2),C在该海上平台正南211海里处，.C(0,一2√11)， 设轮船航行的直线为CD, ·轮船向北偏东30°方向航行，.轮船航行直线CD的倾斜角为60°，即直线CD的 斜率为√3， .轮船航行直线CD的方程为y十2√I=3(x-0),即√3x-y-2√T=0. :曲线E的方程为x2十y2=36,圆心O(0,0),半径为R=6, .圆心O到直线CD的距离d= 21=√I<R=6, /(-1)2+(√/3)2 ∴如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区. 直线CD被曲线E截得的弦长为2/36一11=10. ,轮船的速度为每小时10海里， :它在安金预警区中的能行时间为81（时）。 故如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时 间为1个小时. 参考答案91