1.2.2圆的一般方程（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

2.2 圆的一般方程 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 1.圆的标准方程: 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 前情回顾 2.点与圆的位置关系: 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 章节导读 2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 2.3直线与圆的位置关系 2.4圆与圆的位置关系 圆的标准方程 点与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的弦长问题 圆的一般方程 点与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公共弦与公切线问题 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的一般方程各个字母的含义并能与标准方程的互化. 能结合圆的一般方程准确判断点与圆的位置关系. 能灵活应用公式解决有关圆的轨迹问题. 读教材 阅读课本P30-P32，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“圆的一般方程”吧！ 1.圆的一般方程是什么？怎么利用一般方程求圆心和半径？ 2.怎么判断能否构成圆的一般方程以及点与圆的位置关系？ 新课引入 那么，一起探究圆的方程和二元二次方程有什么关系？ 思考：在直线方程中，所有的二元一次方程都可表示直线，那么， 类比学习，以C(1，－2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？ . 变形 关于 x, y 的二元二次方程 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究1 探究1 圆的标准方程和二元二次方程的关系？ 变形 等价 结论： 任何一个圆的标准方程都可以写成二元二次方程的形式。 问题：方程一定能通过 恒等变形变为圆的标准方程吗？ 新知探究1 探究1 方程一定表示圆吗？ 下列方程能化为圆的标准方程吗？ (1) (2) (3) 圆 点 不存在 结论：方程？ 新知探究1 探究1 方程中的满足什么 条件时，这个方程表示圆？ 方程配方, 得 (2)当时，方程只表示一个点； (1)当时， 方程表示以为圆心，为半径的圆； (3)当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 新知1 圆的一般方程 1.圆的一般方程: 当，方程表示： 以为圆心，以为半径的圆. 我们把方程叫做圆的一般方程. 注：圆的一般方程的特征： 1.且不为0; 2. 当才表示圆. 典例分析 例1 求过三点A(1，3)，B(4，2), C(5，－5) 的圆的方程？ 解：设圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F＝0.因为A、B、C三点都在圆上， 所以有： 故所求圆的方程是：x2+y2-8x+6y＝0(如图). 课本第31页 典例分析 例1 讨论方程λ(x2+y2)=(x－3)2+y2表示的是怎样的图形？ 解：将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.①，则： 当λ=1时，方程①是一元一次方程6x-9=0，表示与x轴垂直的直线. 当λ≠1时，方程①可进一步整理为： 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ=0时，方程②只有一组解 ,故原方程表示一个点(3，0)； 当λ＞0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点 ，半径为 的圆. 课本第32页 ② 典例分析 例3 已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，求D，E？ 又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)， ∴D＝4，E＝－6. 典例分析 例4 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径? 解：(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为: (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 典例分析 例5 点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线 x－y＋1＝0对称，求该圆的面积？ 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴该圆的面积为9π. 典例分析 例6 设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B， 求弦AB的垂直平分线的方程？ 解：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)， 即3x－2y－3＝0. 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 已知点在圆的方程 如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 新知2 点与圆的位置关系 2.点与圆的位置关系: 位置关系 图形 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ > < 典例分析 例1 判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . 解：(1)点在圆内； (2)，点在圆外； (3)，点在圆上。 典例分析 C 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 圆的一般方程及应用 题型1 题型探究 例1　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)： (1)求∆ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在外接圆上,求a的值？ 解:(1)设∆ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即∆ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)∵点M(a，2)在∆ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 方法总结 圆的一般方程的两种求法： (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径， 得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程， 根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程. 圆的一般方程及应用 题型1 题型探究 例2 求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的一般方程? 解：设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 圆的一般方程及应用 题型1 题型探究 例3 圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，求圆C与两坐标轴的四个截距之和？ 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 圆的一般方程及应用 题型1 题型探究 例4 求圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程? 解:把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1). 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5. 圆的一般方程及应用 题型1 题型探究 例5 若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆. (1)求t 的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程？ 解:(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 题型探究 例6 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为 圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程？ 与圆有关的轨迹问题 题型2 解：设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式， 得点P的坐标为(2x－2,2y)；∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. 方法总结 轨迹与轨迹方程的区别： 轨迹：是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等. 轨迹方程：是点的坐标满足的关系式. (1)设坐标：求谁的轨迹（方程），设谁的坐标为(x,y)； (2)列关系式：根据题设条件列关系式化简即可。 求轨迹方程的一般步骤： 题型探究 例7 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，求圆C的圆心的轨迹？ 与圆有关的轨迹问题 题型2 解：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆. 题型探究 例8 如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程？ 与圆有关的轨迹问题 题型2 解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是 线段AB的中点， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y，因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 课堂小结 标准方程 一般方程 方程 代数特征 参数要求 圆心 半径 明确圆心和半径 ; 圆的两种方程： 课堂小结 位置关系 标准方程判断 一般方程判断 点在圆上 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆外 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆内 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 ＝ > < ＝ > < 点与圆的位置关系： 感谢聆听！ 解：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为， ∴－＝－2，－＝3， 解得m<，即实数m的取值范围为. 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 解：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， 由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为， 且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝(x－1)， 例2若点 在圆 的外部，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由已知圆 ，则 ， 又点 在圆 的外部，则 ， 即 ，解得 ，故选：C. 由题意，得 解得 则解得 得解得 则 解得故C’(－2,3)， 由7t2－6t－1<0，得－<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故圆的标准方程为＋＝. 所以4＝，3＝， 即(x0＋1)2＋y02＝4， $$