课时分层评价10 圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价10　圆的一般方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 答案：A 解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).故选A. 2.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0表示圆 D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则＋＋Dx0＋Ey0＋F＜0 答案：ABD 解析：A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，表示点(2，－3).故选ABD. 3.若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.(－2，0) D.(0，2) 答案：B 解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为＋(y＋)2＝－m，由题意得解得0＜m＜.故选B. 4.圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋y2＝16 B.x2＋(y－3)2＝9 C.x2＋(y－3)2＝16 D.(x－3)2＋y2＝9 答案：D 解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为3，设点(1，－2)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(m，n)，则则圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的圆心坐标为(3，0)，所以该圆的方程为(x－3)2＋y2＝9.故选D. 5.“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，则k2＋(k－2)2－4×5＞0，解得k＜－2或k＞4.k＞4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，满足充分性；x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k＞4，不满足必要性，所以“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A. 6.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：因为圆心(－1，－2)，r＝＝2，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝.所以共有3个点符合题意.故选C. 7.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为　　　　　　. 答案：(x－1)2＋y2＝1 解析：以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1. 8.(双空题)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为　　　　　　　，最大面积为　　　　. 答案：x2＋(y＋1)2＝1　π 解析：将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0.故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π. 9.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)， 所以又点P在圆A上，所以＋－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 10.(13分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B(－1，0)，C(1，0)，且｜AB｜＝｜AC｜. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求△ABC的面积的最大值. 解：(1)设A(x，y)，又B(－1，0)，C(1，0)，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点， 所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0(x≠3±2). (2)x2＋y2－6x＋1＝0可化为(x－3)2＋y2＝8，即圆的半径为2， 所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l：ax＋by＋1＝0，圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，若圆C上存在两点关于直线l对称，则(a－2)2＋(b－7)2的最小值是(　　) A. B.5 C.2 D.20 答案：D 解析：圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为C(－2，－1)，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即－2a－b＋1＝0，有b＝－2a＋1，(a－2)2＋(b－7)2＝(a－2)2＋(－2a－6)2＝5a2＋20a＋40＝5，当a＝－2时，(a－2)2＋(b－7)2有最小值20.故选D. 12.(多选题)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点(2，3)在圆M内 答案：ABD 解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，故A，B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内，故D正确.故选ABD. 13.已知A(－3，0)，B(3，0)，P为圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上的动点，则·的最大值为　　　　. 答案：72 解析：由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，则圆心C(5，0)，半径r＝4，所以x∈，设P(x，y)，由P在圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上，可得x2＋y2＝10x－9，x∈，又因为＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，则·＝(－3－x)(3－x)＋(－y)2＝x2＋y2－9＝(10x－9)－9＝10x－18，因为x∈，所以当x＝9时，·取到最大值10×9－18＝72. 14.(15分)已知圆C过点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1). (1)求圆C的方程； (2)已知点P是直线2x＋y－1＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程. 解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0). 把点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)代入得， 所以圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0. (2)联立所以P(1，－1). 设弦AB的中点M的坐标为(x，y)， 可知CM⊥AB，即CM⊥PM，则kCM·kPM＝－1. 由(1)知，圆心为C(1，－2)， 所以·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋3y＋3＝0. 故中点M的轨迹方程为x2＋y2－2x＋3y＋3＝0. 15.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，如图所示，取点E(0，)，设M'(x，y)，当｜M'D｜＝2｜M'E｜时，＝2，化简整理得x2＋y2＝1，即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，因此｜MD｜＝2｜ME｜，显然点B在圆C：x2＋y2＝1外，则2｜MB｜＋｜MD｜＝2｜MB｜＋2｜ME｜＝2(｜MB｜＋｜ME｜)≥2｜BE｜，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，而｜BE｜＝＝，所以2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为2｜BE｜＝.故选D. 16.(17分)(新定义)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆. ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点. (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程. 解：(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆. 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为｜OA｜＝｜OC｜＝2＜4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内. 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. (3)由题意知曲线W为中心对称图形. 设曲线W上一点P(x0，y0)，则＋＝16. 所以｜OP｜2＝＋(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2. 故｜OP｜2＝＋＝16－＋＝－＋， 所以当＝时，｜OP｜max＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 学生用书⬇第36页 学科网（北京）股份有限公司 $