精品解析：广东揭阳市揭东区立德学校2025-2026学年度第二学期第一次练习七年级数学学科试卷

2025－2026学年度第二学期 第一次练习 七年级数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A. 78 B. 91 C. 105 D. 120 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数满足___________ 12. _________． 13. 关于的代数式中，当____时，代数式为完全平方式． 14. 如图，将三角板的直角顶点放在直线上，平分，绕点转动三角板，若，则_____°． 15. 小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片________张． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，直线AB、CD相交于点O，，且，求的度数． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知，求： （1）的值； （2）的值． 20. 已知，求的值． 21. 某同学化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学解答过程从 步开始出错，错误原因是 ； （2）写出此题正确的解答过程． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 观察下列各式： ； ； ； … （1）根据以上规律可知，__________； （2）你能否由此归纳出一般性规律：__________； （3）计算：． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期 第一次练习 七年级数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握相关知识点是解题的关键． 用科学记数法表示较小数的一般形式为（，为整数），将题目中的数值化简成对应形式，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除、幂的乘方、完全平方公式计算各选项，判断正误． 【详解】解：A选项，，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误． 3. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该条件即可用平方差公式计算，据此判断各选项． 【详解】解：平方差公式的结构为， A选项：中，含的项为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； B选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：，其中是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算． 4. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：A． 5. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接运用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 6. 已知，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用互余两角的和为，计算出的余角即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的余角． 7. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及多项式恒等式．通过展开左边多项式并与右边比较系数，可求出的值． 【详解】解：，， ， 比较系数得， 故选：． 9. 如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A. 78 B. 91 C. 105 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】找规律发现的展开式中的第三项系数为； 的展开式中的第三项系数为； 的展开式中的第三项系数为； 的展开式中的第三项系数为； 的展开式中的第三项系数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了数字变化的规律，通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【解析】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 【详解】解：， 解不等式得． 12. _________． 【答案】 【解析】 【详解】解：        ． 13. 关于的代数式中，当____时，代数式为完全平方式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的应用，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方式的结构，据此确定的值即可． 【详解】解：，是完全平方式， 故答案为：． 14. 如图，将三角板的直角顶点放在直线上，平分，绕点转动三角板，若，则_____°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查补角，角平分线的定义，由题意可得，由补角的定义可求解，再由角平分线的定义即可求的度数． 【详解】解：由题意得：， ， ， 平分， ． 故答案为：35． 15. 小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片________张． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由长乘以宽表示出矩形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可做出判断． 【详解】解：根据题意得：， 则需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故答案为：5． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则，分别先计算出各项，再算加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据完全平方公式及平方差公式进行化简，然后计算除法，最后将已知值代入求解即可． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式和平方差公式是解题关键． 18. 如图，直线AB、CD相交于点O，，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，根据对顶角、垂直关系、互余等找到各个角之间的关系求解即可． 【详解】解：直线AB、CD相交于点O， ， ， ， ， ， 故的度数是． 【点睛】本题考查求角度问题，涉及到对顶角相等、垂直定义和互余求角度，熟练掌握相关概念是解决问题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）6 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查考查完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）把变形为，再整体代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， ． 20. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的逆用和平方的非负性，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据完全平方公式的逆用和平方的非负性解答即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ，． 21. 某同学化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学解答过程从 步开始出错，错误原因是 ； （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）二；去括号时没有变号 （2）解答过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据整式的运算顺序和去括号法则进行检查即可； （2）根据整式的运算顺序和法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号， 故答案为：二；去括号时没有变号． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了完全平方差公式、整式的混合运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 观察下列各式： ； ； ； … （1）根据以上规律可知，__________； （2）你能否由此归纳出一般性规律：__________； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）把代入所得的规律中即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据规律可得：； 【小问2详解】 解：根据规律可得：； 【小问3详解】 解：由（2）知：， 当时， ． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【解析】 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $