1.1　第二课时　椭圆的标准方程的综合应用 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从椭圆定义与方程应用到综合问题解决再到实践探究的进阶，培养数学推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆位置关系、焦点性质、标准方程求解|以选择填空为主，如点与椭圆位置判断，夯实概念理解| |综合运用|焦点三角形、最值问题、轨迹综合|含多选与解答题，如焦点三角形面积计算，提升推理能力| |拓展提高|折叠实验与椭圆定义探究|通过动手操作建模，培养创新意识与模型观念|

第二课时　椭圆的标准方程的综合应用 一、基础巩固 1.若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D. 2.点P(4cos α，2sin α)(α∈R)与椭圆C：＝1的位置关系是(　　) A.点P在椭圆C上 B.不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 3.已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　) A.6 B.15 C.20 D.12 4.已知圆B：(x＋2)2＋y2＝64，点A(2，0)，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 5.(多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　) A.|PF1|＝5，|PF2|＝3 B.△PF1F2为直角三角形 C.△PF1F2的面积为6 D.＝12 6.(多选)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 7.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P，则椭圆的方程为　　　　　　　　.  8.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　.  9.已知椭圆C：＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝　　　　.  10.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，). 二、综合运用 11.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A.|AF|＋|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 12.已知F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P为C上一点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　，的最小值为　　　　.  13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. 三、拓展提高 14.用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1(如图)，若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，试判断点M1，M2，M3，…形成的轨迹的形状是什么. 第二课时　椭圆的标准方程的综合应用 一、基础巩固 1.若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D. 答案　B 解析　由题意知>1，即a2>，解得a>或a<－. 2.点P(4cos α，2sin α)(α∈R)与椭圆C：＝1的位置关系是(　　) A.点P在椭圆C上 B.不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 答案　D 解析　把(4cos α，2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边，得＝4(cos 2α＋sin 2α)＝4>1，因此点P在椭圆C外.故选D. 3.已知F是椭圆＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　) A.6 B.15 C.20 D.12 答案　D 解析　由题意可知a＝5，b＝3，c＝＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2|≤c·2b＝12. 4.已知圆B：(x＋2)2＋y2＝64，点A(2，0)，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　C 解析　由题意得|PA|＝|PC|， 则|PB|＋|PA|＝|PB|＋|PC|＝|BC|＝8>|AB|＝4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12， ∴点P的轨迹方程是＝1，故选C. 5.(多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　) A.|PF1|＝5，|PF2|＝3 B.△PF1F2为直角三角形 C.△PF1F2的面积为6 D.＝12 答案　ABC 解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4， ∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2， 故△PF1F2为直角三角形， ∴×3×4＝6. 6.(多选)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　AD 解析　由题得，2c＝8，2a＝16，则a＝8，c＝4，而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1，故选AD. 7.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P，则椭圆的方程为　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　根据题意知|PO|＝＝c， 故F1(－，0)，F2(，0). ∴|PF1|＋|PF2|＝＝4＋2＝6＝2a， ∴a＝3，∴b＝2， ∴椭圆的方程为＝1. 8.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　.  答案　 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. ∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)， 顶点B在椭圆＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，|AC|＝2c＝6， ∴由正弦定理可知. 9.已知椭圆C：＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝　　　　.  答案　12 解析　如图，取MN的中点G，G在椭圆C上， 因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B， 故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|， 所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|) ＝4a＝12. 10.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，). 解　(1)由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为 ＝1或＝1. (2)法一　因为所求椭圆与椭圆＝1有相同焦点， 所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＝1(a>b>0). 因为c2＝16，且c2＝a2－b2， 所以a2－b2＝16. ① 又点(3，)在椭圆上，所以＝1. ② 由①②得b2＝20，a2＝36， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 法二　因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的焦点，所以其焦点在x轴上，且焦点坐标为(－4，0)，(4，0)， 设它的标准方程为＝1(a>b>0)， 又椭圆过点(3，)，由椭圆定义可知， 2a＝＝12，所以a＝6.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝20， 所以椭圆的标准方程为＝1. 法三　由题意可设其方程为＝1(λ>－9).又椭圆过点(3，)， 将此点坐标代入椭圆方程，得λ＝11， 故所求的椭圆的标准方程为＝1. 二、综合运用 11.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A.|AF|＋|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 答案　AD 解析　设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝2a＝6，为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误； 令y＝，可得A，B两点坐标， 不妨设A(－)，B()， ∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误； 令y＝1，可得A，B两点坐标， 不妨设A(－，1)，B(，1)，则BF⊥x轴， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确.故选AD. 12.已知F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P为C上一点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　，的最小值为　　　　.  答案　12　 解析　椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，a－c≤|PF2|≤a＋c即2≤|PF2|≤6， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝8－|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝8|PF2|－|PF2|2＝16－(|PF2|－4)2， 又2≤|PF2|≤6，所以12≤|PF1|·|PF2|≤16，所以|PF1|·|PF2|的最小值为12. 又≥，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号， 所以的最小值为. 13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. 解　(1)由椭圆的定义，有a＝＝2， 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－ 2|PF1|·|PF2|cos 120° ＝(2＋)2＋(2－)2＋(2＋)(2－)＝15， 即4c2＝15，得c2＝， 所以b2＝a2－c2＝4－， 故椭圆C的方程为＋4y2＝1. (2)设点P的坐标为(m，n)， 因为|PF1|>|PF2|，所以m>0. |PF1||PF2|sin 120° ＝×(2＋)×(2－)×， 又×2c|n|＝， 所以， 解得n＝±， 将点P的坐标代入椭圆C的方程， 得＝1， 解得m＝(负值舍去)， 故点P的坐标为或. 三、拓展提高 14.用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1(如图)，若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，试判断点M1，M2，M3，…形成的轨迹的形状是什么. 解　点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆，证明如下： 设P是圆O上任意一点，OP与折痕l的交点M， 所以有|MP|＝|MA|，而|MP|＝|OP|－|OM|， 所以有|OP|－|OM|＝|MA|⇒|MA|＋|OM|＝|OP|， 因为O和A是定点，且点A在圆O内， 所以|OA|<|OP|，|OP|为圆O的半径，为定值， 因此点M的轨迹是以O和A为焦点的椭圆， 所以点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆. 学科网（北京）股份有限公司 $