课时分层评价9 圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价9　圆的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　) A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝5 C.(x－3)2＋(y－4)2＝25 D.(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 答案：C 解析：因为r＝＝5，所以圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C. 2.圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝.故选B. 3.点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，－) B. C. D.(－，＋∞) 答案：A 解析：由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2，得a＜－.故选A. 4.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则｜PQ｜的最小值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 答案：B 解析：由题意，知｜PQ｜的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即｜PQ｜的最小值为6－2＝4.故选B. 5.(多选题)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5 C.x2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 答案：AD 解析：由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD. 6.方程｜y｜－1＝表示的曲线是(　　) A.半圆 B.圆 C.两个圆 D.两个半圆 答案：D 解析：由题意知｜y｜－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆.所以方程｜y｜－1＝表示的曲线是两个半圆.故选D. 7.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为　　　　　　. 答案：(x－2)2＋y2＝5 解析：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 8.在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，－2) 解析：由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2). 9.直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是　　　　. 答案：[2，6] 解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得｜AB｜＝2，所以△ABP面积的最大值为｜AB｜·dmax＝6，△ABP面积的最小值为｜AB｜·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]. 10.(13分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由. 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是(　　) A.－1＜k＜－ B.－＜k＜1 C.－＜k＜1 D.－2＜k＜2 答案：B 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2＜4，解得－＜k＜1.故选B. 12.(多选题)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 答案：AB 解析：由题意可知：圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.对于A，不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确；对于B，令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4＜0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C，令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D，因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误.故选AB. 13.已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是　　　　　　　. 答案：(x－1)2＋＝ 解析：当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2，易知P(2，0).当m≠0时，l1过定点O(0，0)，斜率＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0，因此l2过定点A(2，1)，斜率＝－，则·＝－1，所以直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA，连接OA(图略)，则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点C，半径r＝｜OA｜＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋＝.易知(2，0)在此圆上.综上所述，定圆的方程为(x－1)2＋( y－)2＝. 14.(15分)已知△ABC中，点A(－1，5)，AC边上中线所在直线l1的方程为8x＋y－12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0. (1)求点B和点C的坐标； (2)以M(1，0)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 解：(1)因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0，且直线l2的斜率为， 则kAB＝－3，故直线AB的方程为y－5＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＝0. 联立直线AB和直线l1的方程可得即点B(2，－4)， 设点C(m，n)，则线段AC的中点为D(，)， 由题意可得解得m＝n＝3，即点C(3，3). (2)因为｜AM｜＝＝， ｜BM｜＝＝， ｜CM｜＝＝， 则｜CM｜＜｜BM｜＜｜AM｜， 故圆M的半径为｜BM｜＝，所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝17. 15.(5分)(新情境)大约2 000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O是坐标原点，｜OP｜＝4，若M(－，)，则线段PM长的最大值是　　　　. 答案：5 解析：已知O是坐标原点，｜OP｜＝4，则点P在以原点为圆心，4为半径的圆上，｜OM｜＝＝1，则点M在圆内，当O，P，M三点共线，且P，M在O点两侧时，线段PM的长最大，此时｜PM｜＝｜OP｜＋｜OM｜＝4＋1＝5. 16.(17分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度； (2)建立平面直角坐标系xOy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式. 解：(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π m， 所以每条直道的长度为(400－2×36π)÷2＝(200－36π) m. (2)如图所示，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O， 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(18π－100，0)，B(100－18π，0)， 所以圆A的方程为(x－18π＋100)2＋y2＝1 296， 圆B的方程为(x＋18π－100)2＋y2＝1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为y＝ 学生用书⬇第33页 学科网（北京）股份有限公司 $