1.1.6.3两条平行直线间距离公式（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.6 平面直角坐标系中的距离公式 三、两条平行直线间的距离公式 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 两点之间的距离 两条直线的交点   直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 最后来探讨这个简单的问题吧！ 两点间的距离公式： 点到直线的距离公式： 点到直线的距离 两平行直线的距离 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解两条平行直线间的距离与点线距的联系. 会运用两条直线间的距离公式求线线距和直线方程. 能灵活应用公式解决两条直线间距离的最值问题. 读教材 阅读课本P23-P24，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“两条平行直线间的距离公式”吧！ 1.两条平行直线间的距离的定义是什么？ 2.平面直角坐标系中两条平行直线间的距离公式是什么？ 怎么求两条直线间的距离呢？ 新课引入 思考1 什么是两条平行直线间的距离？ Q P y x O l2 l1 两条平行直线间的距离是指： 夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 两平行线间的距离处处相等 思考2 如何求两条平行直线间的距离？ 求两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 学习过程 01 03 02 目录 1 两条平行直线间的距离公式 2 题型训练 新知探究1 探究1 两条平行直线，， 求与间的距离. 解：与轴的交点的坐标为 点到直线的距离， 所以与间的距离为. 思考：能否推导出两平行直线间距离的一般公式呢？ Q P y x O l2 l1 A(4,0) 新知探究1 探究1 直线,直线, 如何求直线与直线间的距离？ Q P y x O l2 l1 解析：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即 因为点在直线上， 所以，即 因此. 平行直线间的距离 转化 点到直线的距离 新知1 两条平行直线间的距离公式 1.两条平行直线间的距离公式: 两条平行直线与间的距离公式为： 注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值； (2)两条直线方程中的系数必须分别相等. 分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 典例分析 例1 求下列各对平行直线间的距离： (1)l1:3x+4y－1=0， l2:3x+4y+3=0; (2)l1:y=3x+2， l2:y=3x－3; (3)l1:x－2y－1=0， l2:2x－4y+3=0. 两条直线方程中的系数必须分别相等. 课本第24页 解：(1)根据两条平行直线间的距离公式，得： (2)根据两条平行直线间的距离公式，得： (3)根据两条平行直线间的距离公式，得： 典例分析 例2 求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离？ 两条直线方程中的系数必须分别相等. 典例分析 例3 直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，求两直线的距离？ 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 两条直线方程中的系数必须分别相等. 典例分析 例4 若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为 求实数c的值？ 解得c＝11或c＝－9. 典例分析 例5 直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，求它们之间的距离? 解:因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m， 所以m＝4. 两条直线方程中的系数必须分别相等. 学习过程 01 03 02 目录 1 两条平行直线间的距离公式 2 题型训练 线线距求直线方程 题型1 题型探究 例1 已知直线l 与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等， 则l 的方程是 _____________. 2x－y＋1＝0 解：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0， 即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 线线距求直线方程 题型1 题型探究 例2 求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程？ 解：设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0， 解得m＝3或－7， 所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. 线线距求直线方程 题型1 题型探究 解得c＝9或c＝－3，即所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型探究 例4 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 求l1与l2间的距离？ 求平行直线间的距离 题型2 解：由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合； 题型探究 例5 已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等， 求直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离？ 求平行直线间的距离 题型2 解：∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等， ∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0， 题型探究 线线距的最值问题 题型3 例6 两条平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，且各自绕着A，B旋转： (1)求两条平行直线间的距离d的变化范围？ 解：(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 题型探究 线线距的最值问题 题型3 例6 两条平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，且各自绕着A，B旋转： (2)当d取最大值时，两条直线的方程？ 解：(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直， 所以所求直线的斜率为－3，故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 题型探究 线线距的最值问题 题型3 例7 设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0，若直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程？ 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积： 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 题型探究 线线距的最值问题 题型3 例8 直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转， 但必须保持平行，求它们之间的距离d 的最大值？ 解：根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时， l1与l2之间的距离为|MN|； 当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时， 过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|； 因为|MN|>|MP|， 课堂小结 Q P y x O l2 l1 两条平行直线间的距离是指： 夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.两平行线间的距离处处相等 1.两条平行直线间的距离公式: 两条平行直线与间的距离公式为： 分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 感谢聆听！ 解：由题意得，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. 解：由两条直线平行可得＝，解得m＝24， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 解：∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2， ∴＝2， 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝. 于是有＝， 由题意知＝1， 例3求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线方程？ 解：设所求直线方程为3x－y＋c＝0，点P到直线的距离等于， 即d＝＝， 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两直线之间的距离为＝. 则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为＝. ∴＝，∴m＝2， 而|AB|＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]. 而kAB＝＝， 解：由题意，得，∴0＜m＜3， S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 所以dmax＝|MN|＝＝5. $$