智慧广场——植树问题 （解决问题讲义）数学青岛版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理了植树问题的知识体系，将不封闭路线（含两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）和封闭路线的公式、常见场景及变形应用（锯木头、爬楼梯等）按逻辑关系呈现，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A夯实基础、B培优拔高、C思维拓展覆盖不同层次，典型例题如锯木头对应“两端都不栽”模型，引导学生用数学思维建立联系，培养模型意识和推理能力，助力学生自主复习，支持教师精准教学。

智慧广场——植树问题 1.不封闭路线（直线型）植树问题 ---- 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1，间隔数 = 总长度 ÷ 相邻两棵的间距；常见场景：道路两侧从头到尾栽树、插彩旗。 ---- 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1，间隔数 = 总长度 ÷ 间距；常见场景：两建筑物之间栽树、走廊两端不放物品。 ---- 一端栽、一端不栽：棵数 = 间隔数，间隔数 = 总长度 ÷ 间距；常见场景：一端有房屋 / 障碍物的道路植树。 2.封闭路线植树问题 ---- 圆形、正方形、长方形等封闭图形周边植树：棵数 = 间隔数，间隔数 = 图形周长 ÷ 间距，四个角栽树时也适用该公式。 3.植树问题变形应用 ---- 锯木头：锯的次数 = 段数 - 1；爬楼梯：走的楼层间隔数 = 终点楼层 - 起点楼层；敲钟：间隔数 = 敲钟次数 - 1。这类问题本质都是 “点数与间隔数” 的关系，核心是先判断对应哪种植树模型。 类型 1 两端都栽的植树问题 典型例题 1：在一条长 30 米的小路一边植树，每隔 6 米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？ 【分析】本题属于不封闭路线两端都栽的植树问题，先根据 “总长度 ÷ 间距” 求出间隔数，再用 “间隔数 + 1” 得到总棵数。 【变式训练】校园里一条长 48 米的主干道一侧，从头到尾每隔 8 米放一个垃圾桶，一共需要放多少个垃圾桶？ 类型 2 两端都不栽的植树问题 典型例题 2：两座教学楼之间相距 32 米，要在两楼之间的小路一旁栽树，每隔 4 米栽一棵，两端都不栽，一共能栽多少棵树？ 【分析】本题属于两端都不栽的植树问题，先求间隔数，再用 “间隔数 - 1” 得到棵数，注意两端的教学楼位置不能栽树。 【变式训练】在一条长 27 米的走廊一侧摆花，走廊的两端都不摆，每隔 3 米摆一盆，一共需要摆多少盆花？ 类型 3 一端栽、一端不栽的植树问题 典型例题 3：村子旁边有一条长 45 米的小河，在河边的一侧栽柳树，靠近村子的一端不栽，另一端栽，每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵柳树？ 【分析】本题属于一端栽、一端不栽的植树问题，此时棵数与间隔数相等，直接用总长度除以间距得到间隔数，就是栽树的棵数。 【变式训练】在一段 50 米长的围墙一侧插彩旗，围墙起点不插，终点插，每隔 10 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 典型例题 4：一个圆形池塘的周长是 63 米，沿着池塘的边缘每隔 7 米栽一棵杨树，一共要栽多少棵杨树？ 【分析】本题属于封闭图形的植树问题，封闭路线中，栽树的棵数等于间隔数，用周长除以间距即可得到棵数。 【变式训练】一个正方形活动场地的边长是 16 米，在场地四周每隔 8 米插一面彩旗，四个角都要插，一共需要插多少面彩旗？ 类型 5 植树问题的变形应用 典型例题 5：工人师傅把一根木头锯成 6 段，每锯断一次需要 4 分钟，锯完这根木头一共需要多少分钟？ 【分析】锯木头属于植树问题的变形，对应 “两端都不栽” 的模型，锯的次数 = 段数 - 1，先求锯的次数，再乘每次的时间得到总时间。 【变式训练】小华从 1 楼走到 4 楼用了 36 秒，按照这样的速度，他从 1 楼走到 7 楼需要多少秒？ A夯实基础 1．沿一条路的一边植树（两头都不栽），每隔4米栽一棵，一共栽了39棵，这条路长多少米？ 2．李大爷以相同的速度在布满电线杆的乡间小路上散步。他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟（每相邻两根电线杆之间的距离相等）。李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第几根电线杆？ 3．甲、乙两个外卖员到一栋住宅楼送餐，恰好遇到电梯故障，为了准时把外卖送达，两人决定爬楼梯。甲、乙同时出发，当甲爬到3楼时，乙爬到4楼，照这样计算，当甲爬到9楼时，乙爬到了几楼？ 4．在一块正方形场地四周插上红旗，每边都插5面，并且四个顶点都插有1面。问这个场地四周一共插了多少面红旗。 5．一个圆形池塘的一周长600米，如果每隔30米栽一棵柳树，在每两棵柳树之间栽一棵杨树，需要栽杨树和柳树各多少棵？ 6．为了保护一棵古树，园林处要为它做一个长30米的圆形防护栏，如果每隔2米打一个桩，共需要打多少个桩？ B培优拔高 7．一个公交车站每隔5分钟发一辆公交车。从八点整发出的第一辆公交车算起，到十点整时一共发出了多少辆公交车？ 8．学校教学楼每层楼梯有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶，老师走到了第几层？ 9．在一条长100米的小路一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆，相邻两个花盆之间的距离相等，那么相邻两个花盆之间相距多少米？ 10．一条教室走廊长24米，每隔4米放一盆花，你想怎么放？请先画出示意图，再算一算一共需要几盆？ 11．一条步行街的一侧，从一端到另一端每隔4米就挂1个红灯笼（两端都挂）。这条步行街全长1500米，一共挂了多少个红灯笼？ 12．公园小路一侧有一排椅子，从起点到终点一共有50把椅子，每两把椅子间的间距是10米。李老师晚上在公园的小路散步，从起点走到终点花了7分钟，李老师平均每分钟走多少米？ 13．一个圆形水池的周长是90米，共栽18棵树，相邻两棵树之间的距离相等，相邻两棵树之间的距离是多少米？ C思维拓展 14．放学了，同学们做值日摆桌子，每两张桌子之间相差4分米，需要摆6张桌子，从第一张桌子到第6张桌子之间一共相差多少米？ 15．要在正方形的喷水池边上摆上花盆，每一边摆放7盆花（四个角上都要有一盆花），一共要摆多少盆花？ 16．小萍从底楼上到4楼，用了36秒钟．她家住在7楼，如果从底楼到家，一共需要多少秒钟？ 17．在学校的过道两旁，每隔4米放一盆花，(两端都要放)从起点到终点一共放了24盆．这条过道长多少米？ 18．在一块正方形草地四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装32盏，这块草地四周共装彩灯多少盏？ 19．同学们在操场上玩游戏，大家围成一个正方形，每个顶点各站一人，每边站18个同学，一共有多少个同学在玩游戏？ 20．一根木头长12米，要把它平均锯成4段，每锯一段需要3分钟，锯完这根木头一共要用多少分钟？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智慧广场——植树问题 1.不封闭路线（直线型）植树问题 ---- 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1，间隔数 = 总长度 ÷ 相邻两棵的间距；常见场景：道路两侧从头到尾栽树、插彩旗。 ---- 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1，间隔数 = 总长度 ÷ 间距；常见场景：两建筑物之间栽树、走廊两端不放物品。 ---- 一端栽、一端不栽：棵数 = 间隔数，间隔数 = 总长度 ÷ 间距；常见场景：一端有房屋 / 障碍物的道路植树。 2.封闭路线植树问题 ---- 圆形、正方形、长方形等封闭图形周边植树：棵数 = 间隔数，间隔数 = 图形周长 ÷ 间距，四个角栽树时也适用该公式。 3.植树问题变形应用 ---- 锯木头：锯的次数 = 段数 - 1；爬楼梯：走的楼层间隔数 = 终点楼层 - 起点楼层；敲钟：间隔数 = 敲钟次数 - 1。这类问题本质都是 “点数与间隔数” 的关系，核心是先判断对应哪种植树模型。 类型 1 两端都栽的植树问题 典型例题 1：在一条长 30 米的小路一边植树，每隔 6 米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？ 【分析】本题属于不封闭路线两端都栽的植树问题，先根据 “总长度 ÷ 间距” 求出间隔数，再用 “间隔数 + 1” 得到总棵数。 【答案】一共要栽 6 棵树 【详解】 第一步：计算间隔数 总长度 30 米，间距 6 米，间隔数 = （个） 第二步：计算棵数（两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1） （棵） 答：一共要栽 6 棵树。 【变式训练】校园里一条长 48 米的主干道一侧，从头到尾每隔 8 米放一个垃圾桶，一共需要放多少个垃圾桶？ 【答案】一共需要放 7 个垃圾桶 【详解】 间隔数：（个） 两端都放，垃圾桶数量 = 间隔数 + 1：（个） 答：一共需要放 7 个垃圾桶。 类型 2 两端都不栽的植树问题 典型例题 2：两座教学楼之间相距 32 米，要在两楼之间的小路一旁栽树，每隔 4 米栽一棵，两端都不栽，一共能栽多少棵树？ 【分析】本题属于两端都不栽的植树问题，先求间隔数，再用 “间隔数 - 1” 得到棵数，注意两端的教学楼位置不能栽树。 【答案】一共能栽 7 棵树 【详解】 第一步：计算间隔数 （个） 第二步：计算棵数（两端都不栽，棵数 = 间隔数 - 1） （棵） 答：一共能栽 7 棵树。 【变式训练】在一条长 27 米的走廊一侧摆花，走廊的两端都不摆，每隔 3 米摆一盆，一共需要摆多少盆花？ 【答案】一共需要摆 8 盆花 【详解】 间隔数：（个） 两端都不摆，花盆数 = 间隔数 - 1：（盆） 答：一共需要摆 8 盆花。 类型 3 一端栽、一端不栽的植树问题 典型例题 3：村子旁边有一条长 45 米的小河，在河边的一侧栽柳树，靠近村子的一端不栽，另一端栽，每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵柳树？ 【分析】本题属于一端栽、一端不栽的植树问题，此时棵数与间隔数相等，直接用总长度除以间距得到间隔数，就是栽树的棵数。 【答案】一共要栽 9 棵柳树 【详解】 间隔数 = 总长度 ÷ 间距：（个） 一端栽一端不栽，棵数 = 间隔数，即 9 棵。 答：一共要栽 9 棵柳树。 【变式训练】在一段 50 米长的围墙一侧插彩旗，围墙起点不插，终点插，每隔 10 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 【答案】一共要插 5 面彩旗 【详解】 间隔数：（个） 一端插一端不插，彩旗数 = 间隔数，即 5 面。 答：一共要插 5 面彩旗。 类型 4 封闭路线的植树问题 典型例题 4：一个圆形池塘的周长是 63 米，沿着池塘的边缘每隔 7 米栽一棵杨树，一共要栽多少棵杨树？ 【分析】本题属于封闭图形的植树问题，封闭路线中，栽树的棵数等于间隔数，用周长除以间距即可得到棵数。 【答案】一共要栽 9 棵杨树 【详解】 封闭图形中，棵数 = 间隔数 间隔数：（个） 因此栽树的棵数为 9 棵。 答：一共要栽 9 棵杨树。 【变式训练】一个正方形活动场地的边长是 16 米，在场地四周每隔 8 米插一面彩旗，四个角都要插，一共需要插多少面彩旗？ 【答案】一共需要插 8 面彩旗 【详解】 第一步：计算正方形场地的周长 （米） 第二步：封闭图形中，彩旗数 = 间隔数 （面） 答：一共需要插 8 面彩旗。 类型 5 植树问题的变形应用 典型例题 5：工人师傅把一根木头锯成 6 段，每锯断一次需要 4 分钟，锯完这根木头一共需要多少分钟？ 【分析】锯木头属于植树问题的变形，对应 “两端都不栽” 的模型，锯的次数 = 段数 - 1，先求锯的次数，再乘每次的时间得到总时间。 【答案】一共需要 20 分钟 【详解】 第一步：计算锯的次数 锯成 6 段，次数 = 段数 - 1：（次） 第二步：计算总时间 每次 4 分钟，总时间：（分钟） 答：锯完这根木头一共需要 20 分钟。 【变式训练】小华从 1 楼走到 4 楼用了 36 秒，按照这样的速度，他从 1 楼走到 7 楼需要多少秒？ 【答案】需要 72 秒 【详解】 第一步：计算走一层楼需要的时间 从 1 楼到 4 楼，走了（层）间隔 每层用时：（秒） 第二步：计算 1 楼到 7 楼的总时间 从 1 楼到 7 楼，走了（层）间隔 总时间：（秒） 答：他从 1 楼走到 7 楼需要 72 秒。 A夯实基础 1．沿一条路的一边植树（两头都不栽），每隔4米栽一棵，一共栽了39棵，这条路长多少米？ 【答案】160米 【分析】直线型植树问题，两端都不栽，数量关系：全长＝间距×（棵数＋1）。 【详解】4×（39＋1） ＝4×40 ＝160（米） 答：这条路长160米。 2．李大爷以相同的速度在布满电线杆的乡间小路上散步。他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟（每相邻两根电线杆之间的距离相等）。李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第几根电线杆？ 【答案】22根 【分析】根据题意，从第1根到第12根之间有（12－1）个间隔，用从第1根电线杆走到第12根电线杆用的时间除以（12－1），求出走每个间隔所需要的时间； 再用36分钟除以走每个间隔所需要的时间，求出36分钟走了几个间隔，最后，用起始电线杆的编号加上走的间隔数，即可求出到达的电线杆编号。 【详解】22÷（12－1） ＝22÷11 ＝2（分钟） 36÷2＝18（个） 4＋18＝22（根） 答：李大爷用36分钟能从第四根电线杆走到第22根电线杆。 3．甲、乙两个外卖员到一栋住宅楼送餐，恰好遇到电梯故障，为了准时把外卖送达，两人决定爬楼梯。甲、乙同时出发，当甲爬到3楼时，乙爬到4楼，照这样计算，当甲爬到9楼时，乙爬到了几楼？ 【答案】13楼 【分析】从1楼开始爬，爬的层数＝目标楼层数－1。先根据甲、乙第一次到达的楼层求出两人爬楼层数的关系，再计算甲爬到9楼时爬的层数，进而求出乙爬的层数，最后加上1得到乙到达的楼层。 【详解】甲爬到3楼实际爬的层数：（层） 乙爬到4楼实际爬的层数：（层） 甲爬到9楼实际爬的层数：（层） 甲后来爬的层数是原来的倍数： 乙后来爬的层数：（层） 乙到达的楼层：（楼） 答：乙爬到了13楼。 4．在一块正方形场地四周插上红旗，每边都插5面，并且四个顶点都插有1面。问这个场地四周一共插了多少面红旗。 【答案】 16面 【分析】根据题意，在一块正方形场地四周插上红旗，每边都插5面，可知一共是（5×4＝20）面，因为四个顶点都插一面红旗，顶点上的红旗是两条边的交点，在数红旗时，每个顶点上的红旗都重复数了一次，因此要减去4就是所求的结果。 【详解】5×4－4 ＝20－4 ＝16（面） 答：这个场地四周一共插了16面红旗。 5．一个圆形池塘的一周长600米，如果每隔30米栽一棵柳树，在每两棵柳树之间栽一棵杨树，需要栽杨树和柳树各多少棵？ 【答案】 柳树20棵；杨树20棵 【分析】棵数等于间隔数。根据题意，用池塘周长除以柳树的间隔距离，求出柳树的棵数；再根据“每两棵柳树之间栽一棵杨树”的条件，可知杨树的棵数与柳树的间隔数相等，从而得出杨树的棵数。 【详解】600÷30＝20（棵） 20＝20 答：需要栽柳树20棵，杨树20棵。 6．为了保护一棵古树，园林处要为它做一个长30米的圆形防护栏，如果每隔2米打一个桩，共需要打多少个桩？ 【答案】15个 【分析】根据题意可知，用防护栏的总长度除以每相邻两个桩之间间隔的长度，即可计算出需要打桩的总个数，依此列式并计算。 【详解】30÷2＝15（个） 答：共需要打15个桩。 【点睛】熟练掌握植树问题的计算方法，是解答此题的关键。 B培优拔高 7．一个公交车站每隔5分钟发一辆公交车。从八点整发出的第一辆公交车算起，到十点整时一共发出了多少辆公交车？ 【答案】25辆 【分析】由题意可知，八点整与十点整发第一辆公交车相隔的时间为2小时，也就是120分钟，所以一共经历了120÷5＝24（个）间隔，所以一共发出了24＋1＝25（辆）公交车。 【详解】10时－8时＝2（小时） 2小时＝120分钟 120÷5＋1 ＝24＋1 ＝25（辆） 答：到十点整时一共发出了25辆公交车。 【点睛】此类问题原型属于植树问题中的两端都要栽的情况：发车辆数＝间隔数＋1。 8．学校教学楼每层楼梯有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶，老师走到了第几层？ 【答案】4层 【分析】把楼层与楼层之间的24个台阶看作1个间隔，先求得一共走过了几个间隔：72÷24＝3（个）间隔，一楼没有台阶，所以老师走到了1＋3＝4（层）。 【详解】72÷24＋1 ＝3＋1 ＝4（层） 答：老师走到了第4层。 【点睛】解答本题的关键是掌握一楼没有台阶，所以楼层数＝1＋间隔数。 9．在一条长100米的小路一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆，相邻两个花盆之间的距离相等，那么相邻两个花盆之间相距多少米？ 【答案】4米 【分析】根据题意可知，一共有的间隔数比花盆数少1，即26－1＝25（个）间隔数，然后用小路的长度除以间隔数就是相邻两个花盆之间的距离。 【详解】100÷（26－1） ＝100÷25 ＝4（米） 答：那么相邻两个花盆之间相距4米。 【点睛】植树问题，要看清是两侧，还是一侧，然后根据一侧的棵数，求出间隔数，就不难求出相邻两棵树之间的距离。 10．一条教室走廊长24米，每隔4米放一盆花，你想怎么放？请先画出示意图，再算一算一共需要几盆？ 【答案】画图见详解；我想两端都放，一共需要7盆； 【分析】先用24除以4求出有几个间隔，因为两端都放花，只放一侧，再用间隔数加1即求出一共需要多少盆花。 【详解】 24÷4＋1 ＝6＋1 ＝7（盆） 答：一共需要7盆花。 【点睛】当两端都放时，花的总盆数＝间隔数＋1，是解答此题的关键。 11．一条步行街的一侧，从一端到另一端每隔4米就挂1个红灯笼（两端都挂）。这条步行街全长1500米，一共挂了多少个红灯笼？ 【答案】376个 【分析】根据每4米挂一个灯笼，全长是1500米，那么所挂的灯笼就是1500除以4，注意两端都挂，所以计算的结果后面需要加1，据此解答。 【详解】 答：一共挂了376个红灯笼。 【点睛】解答此题的关键，根据全长1500米，每4米挂一个灯笼，先计算需要的灯笼数量，在注意题目中要求两端都要挂，故在计算的结果后面需要加1即可。 12．公园小路一侧有一排椅子，从起点到终点一共有50把椅子，每两把椅子间的间距是10米。李老师晚上在公园的小路散步，从起点走到终点花了7分钟，李老师平均每分钟走多少米？ 【答案】70米 【分析】根据题意可知，间隔数应等于椅子的把数减1，再用间隔数乘间距求出起点到终点的距离，最后用它除以时间求出李老师平均每分钟走多少米。据此解答。 【详解】（50－1）×10÷7 ＝49×10÷7 ＝70（米） 答：李老师平均每分钟走70米。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握相关数量关系是解答本题的关键。 13．一个圆形水池的周长是90米，共栽18棵树，相邻两棵树之间的距离相等，相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】圆形水池栽树，间距数=树的棵树． 【详解】90÷18=5(米) 答：相邻两棵树之间的距离是5米． C思维拓展 14．放学了，同学们做值日摆桌子，每两张桌子之间相差4分米，需要摆6张桌子，从第一张桌子到第6张桌子之间一共相差多少米？ 【答案】2米 【详解】4×5=20（分米） 20分米=2米 答：从第一张桌子到底6张桌子之间一共相差2米． 15．要在正方形的喷水池边上摆上花盆，每一边摆放7盆花（四个角上都要有一盆花），一共要摆多少盆花？ 【答案】24盆 【分析】解答此题的关键是，四个角上都要有一盆花，所以要把重复放置的花减去．先用7×4，求出正方形的四个边从理论上放置花的盆数，但四个角上只要有一盆花即可，所以要去掉重复的4盆，由此得出答案． 【详解】7×4﹣4 =28﹣4 =24（盆） 答：一共要摆24盆． 16．小萍从底楼上到4楼，用了36秒钟．她家住在7楼，如果从底楼到家，一共需要多少秒钟？ 【答案】72秒 【分析】本题考查了植树问题，知识点是：楼梯间隔数=层数﹣1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数=间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数=间隔数+1（两端都栽），植树的棵数=间隔数（只栽一端）．从一楼到四楼，向上爬了4﹣1=3层，向上每爬1层用36÷3=12秒，从一楼到七楼，向上爬了7﹣1=6层，共用6×12=72秒． 【详解】36÷（4﹣1） =36÷3 =12（秒）； 12×（7﹣1） =12×6 =72（秒） 答：一共需要72秒钟． 17．在学校的过道两旁，每隔4米放一盆花，(两端都要放)从起点到终点一共放了24盆．这条过道长多少米？ 【答案】44米 【分析】根据题意，用24除以2，可以得出一旁的盆数，因为是两端都放，再减去1得出间隔数，再乘上间隔距离4米即可． 【详解】（24÷2﹣1）×4 =（12﹣1）×4 =11×4 =44（米）． 答：这条过道长44米． 18．在一块正方形草地四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装32盏，这块草地四周共装彩灯多少盏？ 【答案】124盏 【分析】根据题意，在一块正方形草地四周装彩灯，每边装32盏，用32×4求出总的，因为四个角上都装一盏，重复了，再减去四个角的，即再减去4即可． 【详解】32×4﹣4 =128﹣4 =124（盏） 答：这块草地四周共装彩灯124盏． 19．同学们在操场上玩游戏，大家围成一个正方形，每个顶点各站一人，每边站18个同学，一共有多少个同学在玩游戏？ 【答案】68个 【分析】由于每个顶点都是两条边的交点，即4个顶点上的人都被重复计算一次，每边占18个同学，18×4=72，将四个顶点上的重复计算的人减去，则共有72﹣4=68个同学． 【详解】18×4﹣4 =72﹣4 =68（个） 答：一共有48个同学在玩游戏． 20．一根木头长12米，要把它平均锯成4段，每锯一段需要3分钟，锯完这根木头一共要用多少分钟？ 【答案】9分钟 【分析】根据题干，锯1次需要3分钟，锯成4段，需要锯4﹣1=3次，由此利用乘法的意义，即可解答． 【详解】3×（4﹣1） =3×3 =9（分钟）； 答：锯完一共需要9分钟． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $