第四单元 运算律（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理运算律单元内容，涵盖加法、乘法运算律及减法、除法简便性质，以思维导图呈现“观察数字特点-凑整简算-规范变形”解题思路，突出乘法分配律等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如乘法分配律典型例题（17箱苹果+23箱橙子，每箱25千克用分配律简算）与变式训练结合，培养运算能力和数感。高频易错点拨助力学生规避符号错误等问题，基础学生掌握方法，优秀学生提升思维，教师可据此实施精准教学。

第四单元 运算律 一、通用解题核心思路 本单元核心是运用加法、乘法运算律进行简便计算与解决实际问题。解题总原则：观察数字特点、凑整简算、依据运算律规范变形。解决问题不再死板硬算，而是通过交换、结合、分配等规律，简化运算步骤，实现快速准确解题，同时培养学生数感与简算思维。 二、五大运算律解题技巧 1. 加法交换律、结合律：适用于连加算式。技巧：尾数凑整，将能凑成整十、整百、整千的数优先结合计算。交换数的位置要带符号搬家，目的是分组凑整，大幅降低计算难度。 2. 乘法交换律、结合律：适用于连乘算式。重点观察特殊凑整搭档：25找4、125找8。优先将能凑整的乘数结合相乘，再计算剩余数字，是考试最常用的简算方法。 3. 乘法分配律（重难点）：本单元易错点、重难点。正向运用：两个数和乘一个数，可分别相乘再相加；逆向运用：两组乘法有相同因数，可提取公因数合并简算。解决问题中多用于分组求和、分批统计类题目。 4. 减法、除法简便性质：连减变减和、连除变除积。多用于剩余数量、平均分类应用题，可以简化多步递减、连除步骤，提升解题速度。 三、解决实际问题专项技巧 1. 分组求和问题：已知多组相同数量，可利用乘法分配律合并计算，先算每组和再算总数量，避免分步繁琐计算。 2. 凑整估算、精准计算：购物、工程、行程等综合题，观察数据特征，灵活凑整简算，在保证结果准确的同时简化步骤。 3. 对比优化解题：同一题型常规计算与简便计算对比，引导学生主动使用运算律，养成简算习惯。 四、高频易错点拨 1. 混淆运算律：连乘只能用结合律，不能乱用乘法分配律，是学生最高频错误。 2.符号出错：带符号搬家漏符号、去括号变号混乱，导致整题结果错误。 3. 分配律不完整：括号外的数只乘括号内第一项，漏乘第二项，属于典型思维漏洞。 4. 无依据简算：不观察数字特点强行凑整，违背运算规律，造成解题失误。 类型1 整数加法结合律解决问题 典型例题1：学校举行爱心捐书活动，一班捐书216本，二班184本，三班235本，四班165本。四个班级一共捐书多少本？ 【答案】800本 【分析】求四个班级一共捐书多少本，需要将四个班捐书的数量相加。观察发现，与相加、与相加均能凑成整百数。根据加法结合律，可以将能凑整的数先相加，从而使计算简便。 【详解】 （本） 答：四个班级一共捐书800本。 变式训练：一款电器促销，原价先降价268元，样机再降价232元，顾客实际花1732元买下样机，这款电器原本定价多少元？ 【答案】2232元 【分析】已知实际花费和两次降价的金额，求原价，根据“原价降价金额实际花费”的数量关系，可知原价等于实际花费加上两次降价的金额之和。观察数据发现，两次降价的金额和相加能凑成整百数，可利用加法结合律进行简便计算。 【详解】 （元） 答：这款电器原本定价元。 类型2 整数加法交换律解决问题 典型例题2：水果店周一卖出苹果156千克，周二卖出248千克，周三卖出144千克，三天一共卖出苹果多少千克？ 【答案】548千克 【分析】求三天一共卖出苹果多少千克，需要将周一、周二、周三卖出的质量相加。观察算式中数据，与相加能凑成整百数，运用加法交换律调整运算顺序，可使计算简便。 【详解】 （千克） 答：三天一共卖出苹果千克。 变式训练：小明读书，第一天看182页，第二天看135页，第三天看118页，三天合计看书多少页？ 【答案】435页 【分析】求三天合计看书多少页，就是把三天看的页数合起来，用加法计算。观察算式中的数据，第一天看的182页和第三天看的118页相加能凑成整百数，可以运用加法交换律进行简便计算。 【详解】182＋135＋118 ＝182＋118＋135 ＝300＋135 ＝435（页） 答：三天合计看书435页。 类型3 整数减法的性质解决问题 典型例题3：明明看一本324页的故事书，第一天看了97页，第二天看了103页，还剩多少页没有看？ 【答案】124页 【分析】由题意得，明明看一本324页的故事书，第一天看了97页，第二天看了103页。求还剩多少页没有看，可以先用324减去97算出明明第一天看完书后还剩多少页，然后再减去103页即可算出明明第二天看完书后还剩多少页没有看。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【详解】324－97－103 ＝324－（97＋103） ＝324－200 ＝124（页） 答：还剩124页没有看。 变式训练：超市有款彩电原价2855元，节日大酬宾时先降价355元，样品机再降245元，这台样品机彩电现价多少元？ 【答案】2255元 【分析】降价用减法，用原价减去两次降价即可。计算过程运用减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简便计算。 【详解】2855－355－245 ＝2855－（355＋245） ＝2855－600 ＝2255（元） 答：这台样品机彩电现价2255元。 类型4 整数乘法结合律解决问题 典型例题4：养殖场有9个鸡舍，每个鸡舍有25层鸡笼，每层饲养40只肉鸡，养殖场一共养肉鸡多少只？ 【答案】9000只 【分析】根据题意，求一共养肉鸡多少只，用鸡舍的数量乘每个鸡舍的层数，求出一共有几层鸡舍，再用每层饲养的只数乘一共鸡舍的层数。观察算式中的数据，与相乘能得到整千数，依据乘法交换律和结合律，先计算可以使计算简便。 【详解】 （只） 答：养殖场一共养肉鸡9000只。 变式训练：商店运来8箱保温杯，每箱15个，每个售价25元，这批保温杯全部卖完一共收入多少钱？ 【答案】3000元 【分析】根据“总价＝数量×单价”的数量关系，可以先用15乘8求出保温杯的总数量，再乘25求出总收入；计算时，可利用乘法结合律计算更简便。 【详解】 （元） 答：这批保温杯全部卖完一共收入3000元。 类型5  整数乘法交换律解决问题 典型例题5：工地采购水泥，运来25车，每车装12袋，每袋重40千克，工地一共运来水泥多少千克？ 【答案】12000千克 【分析】根据题意，求工地一共运来水泥多少千克，就是求车水泥的总重量，先用每袋的重量×每车装的袋数求出一车运来的重量，再乘过来的车数即可求出一共运来水泥的重量。列式为。观察数据发现，与相乘可以得到整千数，因此可以运用乘法交换律进行简便计算。 【详解】 （千克） 答：工地一共运来水泥12000千克。 变式训练：图书室共有3个书架，每个书架有8层，每层125本书。图书室一共有多少本书？ 【答案】3000本 【分析】用8乘3，先算出图书室里的书架的总层数，再用总层数乘每层放书的本数，即可求出图书室一共有多少本书。据此解答。 【详解】8×3×125 ＝8×125×3 ＝1000×3 ＝3000（本） 答：图书室一共有3000本书。 类型6 整数除法的性质解决问题 典型例题6：一台缝纫机6小时可加工服装48件，若用5台同样的缝纫机加工400件服装，需要几小时？ 【答案】10小时 【分析】先用48除以6计算出一台缝纫机1小时可加工服装的数量，然后400除以5再除以一台缝纫机1小时可加工服装的数量即可，依此列式并计算。 【详解】400÷5÷（48÷6） ＝400÷5÷8 ＝400÷（5×8） ＝400÷40 ＝10（小时） 答：若用5台同样的缝纫机加工400件服装，需要10小时。 变式训练：为了提高同学们的计算能力，数学老师要求学生3个星期一共完成420道口算题。平均每天需要做多少道口算题？ 【答案】20道 【分析】用口算题总数量除以3，求出平均每个星期完成口算题数量。再除以7，求出平均每天完成口算题数量。 【详解】420÷3÷7 ＝420÷（3×7） ＝420÷21 ＝20（道） 答：平均每天需要做20道口算题。 类型7 整数乘法分配律解决问题 典型例题7：水果店运来17箱苹果、23箱橙子，每箱水果都是25千克，运来水果总重多少千克？ 【答案】1000千克 【分析】分别用每箱水果的重量×苹果箱数，每箱水果的重量×橙子箱数，计算苹果和橙子的总千克数后再相加，由于每箱千克数相同，且17与23相加能凑成整十数，可以利用乘法分配律进行简算。 【详解】17×25＋23×25 ＝（17＋23）×25 ＝40×25 ＝1000（千克） 答：运来水果总重1000千克。 变式训练：工地有两堆砂石，第一堆重46吨，第二堆重34吨。用载重为25吨的货车来运输，每运1吨砂石需要运费8元。运完这两堆砂石，第一堆比第二堆多花多少运费？ 【答案】96元 【分析】根据“总价单价数量”的数量关系，先分别计算出第一堆砂石和第二堆砂石的运费，再求出两者的运费差，即可求出多花的运费。计算时，可使用乘法分配律简算。货车的载重25吨为多余条件，不参与计算。 【详解】46×8－34×8 ＝ ＝ =96（元） 答：第一堆比第二堆多花96元运费。 1．文具店批发钢笔，每盒12支，每支8元，一次性采购25盒需要花费多少元？ 【答案】2400元 【分析】根据题意，已知每盒钢笔的支数、每支钢笔的单价以及采购的盒数，求总花费。依据数量关系“总价＝单价×数量”，可以先计算钢笔的总支数（每盒支数乘盒数），再计算总花费；也可以先计算每盒钢笔的总价（每盒支数乘每支单价），再计算总花费。观察数据特点，与相乘可得整百数，计算较为简便，故采用先求总支数的方法列综合算式解答。 【详解】先求钢笔的总支数，再求总花费。 （元） 答：一次性采购25盒需要花费2400元。 2．李大伯采摘了560千克桃子。第一天卖了256千克，第二天卖了244千克，还剩多少千克？ 【答案】60千克 【分析】已知桃子总量为560千克，第一天卖了256千克，第二天卖了244千克，则剩余的桃子重量为总重量减已卖出的重量，以此解答。 【详解】560－256－244 ＝560－（256＋244） ＝560－500 ＝60（千克） 答：桃子还剩60千克。 【点睛】本题主要考查减法的性质，学生应熟练掌握。 3．花丛里有一群蝴蝶，先飞走了18只白蝴蝶，后飞走了29只粉蝴蝶和42只花蝴蝶。一共飞走了多少只蝴蝶？ 【答案】89只 【分析】把白蝴蝶、粉蝴蝶和花蝴蝶的只数加起来即可求出飞走的蝴蝶只数。 【详解】18＋29＋42 ＝（18＋42）＋29 ＝60＋29 ＝89（只） 答：一共飞走了89只蝴蝶。 4．学校要做4600朵纸花，平均分给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少朵纸花？ 【答案】46朵 【分析】要做纸花的总数÷平均分的班数＝每个班要做的朵数；每个班要做的朵数÷每个班的小组数＝平均每个小组要做纸花的朵数，依此列出综合算式，并根据整数除法的性质进行简算。 【详解】4600÷25÷4 ＝4600÷（25×4） ＝4600÷100 ＝46（朵） 答：平均每个小组要做46朵纸花。 5．四年级一班捐书227本，二班捐书173本，三班捐书259本，三个班级合计捐书多少本？ 【答案】659本 【分析】求三个班级合计捐书多少本，就是把三个班捐书的数量合并起来，用加法计算。 【详解】 （本） 答：三个班级合计捐书659本。 6．天海游泳场第一天卖出门票554张，第二天上午卖出287张，下午卖出313张。这两天一共卖出多少张门票？ 【答案】1154张 【分析】第一天卖出门票张数加第二上午卖出的张数，再加第二天下午卖出的张数即可解答。 【详解】554＋287＋313 ＝554＋（287＋313） ＝554＋600 ＝1154（张） 答：这两天一共卖出1154张门票。 【点睛】本题主要考查学生对整数加法结合律的掌握和灵活运用。。 7．一辆货车第一天运货325吨，第二天上午运178吨、下午运122吨，两天一共运货多少吨？ 【答案】625吨 【分析】要求两天一共运货多少吨，需要把第一天运的吨数和第二天运的吨数加起来。第二天运的吨数是上午运的吨数与下午运的吨数之和。观察数据发现，第二天上午运的178吨和下午运的122吨相加能凑成整百数，依据加法结合律，先计算第二天运货的总吨数，再与第一天运货的吨数相加，可以使计算简便。 【详解】 （吨） 答：两天一共运货625吨。 8．学校艺术节上，教师参展的绘画作品有58件，学生参展的作品数是教师的29倍。本次艺术节上师生参展的作品共有多少件？ 【答案】1740件 【分析】教师参展作品件数乘29等于学生参展作品件数，再加教师参展作品件数即可解答。 【详解】58×29＋58 ＝58×（29＋1） ＝58×30 ＝1740（件） 答：本次艺术节上师生参展的作品共有1740件。 【点睛】熟练掌握倍的相关知识是解答本题的关键。 9．欣欣商店原来有220千克苹果，第一天卖出47千克，第二天卖出53千克，后来又购进80千克。现在有多少千克苹果？ 【答案】200千克 【分析】根据整数加、减法的意义，用商店原来有的苹果重量减去第一天和第二天卖出的苹果重量，再加上又购进的苹果重量，即可求出商店现在有的苹果重量，据此解答即可。计算时根据加法交换律和减法的性质进行简便计算。 【详解】220－47－53＋80 ＝（220＋80）－（47＋53） ＝300－100 ＝200（千克） 答：现在有200千克苹果。 10．师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工48个，徒弟每小时加工42个，4小时完成。这批零件一共有多少个？ 【答案】360个 【分析】用师傅每小时加工的数量和徒弟每小时加工的数量，分别乘上4，得到结果再求和，也可以利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将师傅每小时加工的数量和徒弟每小时加工的数量先求和，得到师徒二人每小时的加工总数量，再乘上4，即可得知这批零件一共有多少个。 【详解】（48＋42）×4 ＝90×4 ＝360（个） 答：这批零件一共有360个。 11．一块组合长方形空地，分为绿植区和活动区，两个区域的宽都是16米，绿植区长22米，活动区长18米。绿植区面积比活动区大多少平方米？ 【答案】64平方米 【分析】已知绿植区和活动区都是长方形，且宽相等，均为16米。要求绿植区面积比活动区大多少，利用乘法分配律的思想，先求出两个区域长的差，再乘共同的宽。考虑到数据特点，先求长的差计算更简便。 【详解】 （平方米） 答：绿植区面积比活动区大64平方米。 12．皮影戏是我国民间古老的传统艺术。儿童剧场一天上、下午各进行2场皮影戏表演，平均每场售出125张门票，那么8天共售出门票多少张？ 【答案】4000张 【分析】平均每场售出125张乘2再乘2算出每天上下午共卖出多少，再乘天数为卖出总张数，计算时利用乘法结合律简算。 【详解】125×2×2×8 ＝（125×8）×（2×2） ＝1000×4 ＝4000（张） 答：8天共售出门票4000张。 13．“双十一”期间商家开展电器促销活动，有一种型号的电视机原价3888元，降价288元后，又降价212元。小贤家现在买一台这种型号的电视机，需要用多少元？ 【答案】3388元 【分析】理清数量关系，原价3888元，降价288元后，又降价212元，就是从原价分别减去两次降价，就能求出小贤家现在买一台这种型号的电视机的价格。 【详解】 两种方法均可。 答：小贤家现在买一台这种型号的电视机的价格3388元。 14．甲乙两个实力相当的工程队分别从两端同时开凿一条隧道，甲队每天开凿29米，乙队每天开凿21米，12天后还剩50米隧道贯通。这条隧道有多长？ 【答案】650米 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间，分别用甲、乙两队每天开凿的米数乘天数，求出甲、乙两队各开凿了多少米；然后将两队开凿的米数相加，最后再加上剩下的米数，即可求出这条隧道的长度是多少。 【详解】29×12＋21×12＋50 ＝（29＋21）×12＋50 ＝50×12＋50 ＝600＋50 ＝650（米） 答：这条隧道有650米长。 15．学校为四年级24名运动员购置比赛服装，原价115元一套，现在降价后95元一套，按现价买可以比原来一共节省多少元？ 【答案】480元 【分析】用一套比赛服装的原价乘24，求出按原价购买24套的总价钱，用降价后一套比赛服装的价格乘24，求出按降价后购买24套的总价钱，用按原价购买24套的总价钱减去按降价后购买24套的总价钱，即可求出按现价买可以比原来一共节省多少元。 【详解】24×115－24×95 ＝24×（115－95） ＝24×20 ＝480（元） 答：按现价买可以比原来一共节省480元。 16．甲乙两个工程队计划从山的两头同时开挖一条长4000米的隧道，甲工程队平均每天挖32米，乙工程队平均每天能挖28米。70天能完成这项工程吗？ 【答案】能完成 【分析】根据题意可知，用甲工程队每天挖的米数×70，求出70天甲工程队一共挖了多少米，再用乙工程队每天挖的米数×70，求出70天乙工程队一共挖了多少米，再把两者相加计算出70天两队的工作总量。最后将工作总量和4000进行比大小，如果大于等于4000米，能完成；如果小于4000米，不能完成。 在计算过程中，相加的两项有共同的因数70，可按照乘法分配律计算。 【详解】32×70＋28×70 ＝（32＋28）×70 ＝60×70 ＝4200（米） 4200＞4000 答：70天能完成这项工程。 17．新的学期来临，实验小学要为同学们订购新校服。学校为四年级的学生购买了480套运动服，上衣每件58元，裤子每件42元。采购这些运动服一共花了多少钱？ 【答案】48000元 【分析】先把一件运动服上衣和一条裤子需要的钱数相加，求出一套衣服需要的钱数，再根据总价＝单价×数量，代入数据计算即可。 【详解】（58＋42）×480 ＝100×480 ＝48000（元） 答：采购这些运动服一共花了48000元。 18．龙口到济南开通高铁啦！平均票价为179元。某日上午从龙口至济南发送旅客154名，下午发送旅客46名。这一天龙口至济南发送旅客共计收入多少元？ 【答案】35800元 【分析】把上午下午的旅客人数各自乘平均票价求出上午和下午各自的收入，再相加，计算过程根据乘法分配律进行简便计算。 【详解】154×179＋46×179 ＝（154＋46）×179 ＝200×179 ＝35800（元） 答：这一天龙口至济南发送旅客共计收入35800元。 19．为了配合学校“书香校园”的活动，斗鸡台小学为每个班级定制了一个一样的书柜。每个书柜有4层，每层最多能放36本书，全校共有25个班级，定制的这批书柜最多能放多少本书？ 【答案】3600本 【分析】每个书柜最多能放的书本数＝每层最多放的书本数×层数，全校共有25个班级，定制25个书柜，定制的书柜最多能放的书本数＝每个书柜最多能放的书本数×书柜的个数。 【详解】36×4×25 ＝36×（4×25） ＝36×100 ＝3600（本） 答：定制的这批书柜最多能放3600本书。 20．家电商城预计在2月份购进64台微波炉和64台电饭煲，共需多少元？ 【答案】32000元 【分析】根据数量关系：总价＝单价×数量，分别求出微波炉和电饭煲的总价，然后计算共花费多少钱用加法计算。 【详解】240×64＋260×64 ＝（240＋260）×64 ＝500×64 ＝32000（元） 答：共需32000元。 21．电视机的原价是每台2888元。商场里正在开展“满2000元减150元”的活动。明明家买了一台电视机样机，需要付多少元？ 【答案】2138元 【分析】根据题意，电视机的原价是每台2888元，先降355元，再降245元，根据整数减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和来简化计算，计算出降价后的价格，根据降价后价格判断出是否满足“满 2000 减 150”的条件，如果满足条件则在降价后价格的基础上再减去150元。 【详解】2888－（355＋245） ＝2888－600 ＝2288（元） 2288＞2000，满足降价条件 2288－150＝2138（元） 答：需要付2138元。 22．水果店运来香蕉和芒果各28箱，香蕉每箱重35千克，芒果每箱重65千克。运来的香蕉和芒果一共多少千克？ 【答案】2800千克 【分析】已知香蕉和芒果的箱数相同，都是28箱，根据乘法的意义，可以先求出一箱香蕉和一箱芒果的总重量，再乘箱数，即可求出运来的香蕉和芒果的总重量。 【详解】 （千克） 答：运来的香蕉和芒果一共2800千克。 23．一套运动服饰包含上衣和裤子，上衣每件68元，裤子每条32元。购买36套这样的运动服，一共需要花费多少元？ 【答案】3600元 【分析】根据题意，一套运动服包含一件上衣和一条裤子，要求套的总花费，可以先求出一套运动服的单价，即上衣价格加裤子价格，再根据“总价单价数量”列综合算式计算。观察到与相加能凑成整百数，先算加法再算乘法计算更简便。 【详解】 （元） 答：一共需要花费元。 24．曲子坐唱俗称“念曲子”或“板凳曲子”，是城固说唱文化的代表，广为流传的有《十劝郎》《十字歌》《哭七七》等。下面是三个小区喜欢听《十字歌》的人数，这三个小区喜欢听《十字歌》的一共有多少人？（用简便方法计算） 小区 星海小区 蔚蓝小区 清居小区 人数/人 127 284 173 【答案】584 人 【分析】计算喜欢听《十字歌》的一共有多少人，把127，284和173相加计算即可。先计算127＋173，再加284，这样可以使计算过程更简便。 【详解】 （人） 答：这三个小区喜欢听《十字歌》的一共有584人。 25．红小豆作为我国重要的传统食用豆类作物，具有营养价值高、能固氮改良土壤等特性。四个盘子里红小豆的数量如下表，这四个盘子里一共有多少颗红小豆？（用简便方法计算） 第一盘 第二盘 第三盘 第四盘 387颗 234颗 366颗 413颗 【答案】1400颗 【分析】观察表格中四个盘子里红小豆的数量，发现387与413相加能凑成整百数，234与366相加也能凑成整百数。根据加法交换律和加法结合律，交换加数的位置并把能凑成整百数的加数结合在一起先计算，可以使计算简便。 【详解】 （颗） 答：这四个盘子里一共有1400颗红小豆。 26．商店购进保温杯和玻璃杯各203个，保温杯每个售价47元，玻璃杯每个售价53元。如果全部卖出，两种杯子的总销售额是多少元？ 【答案】20300元 【分析】本题可以用保温杯的总价加上玻璃杯的总价，也可以先求出一个保温杯和一个玻璃杯的价格和，再乘数量。观察到47与53相加能凑成整百数，利用乘法分配律计算更简便。 【详解】203×47＋203×53 ＝203×（47＋53） ＝203×100 ＝20300（元） 答：两种杯子的总销售额是20300元。 27．一块长方形菜地，分成白菜区和萝卜区，白菜地长34米、宽15米，萝卜地长26米、宽15米，整块菜地总面积是多少平方米？ 【答案】900平方米 【分析】长方形面积＝长×宽，据此分别计算出白菜地和萝卜地的面积，然后再加一起即可。计算时可以利用乘法分配律进行简算。 【详解】34×15＋26×15 ＝（34＋26）×15 ＝60×15 ＝900（平方米） 答：整块菜地总面积是900平方米。 28．超市购进两种洗衣液，大瓶每瓶38元，小瓶每瓶12元，两种洗衣液各进货199瓶，采购洗衣液一共需要多少元？ 【答案】9950元 【分析】可以用每瓶的钱数×瓶数分别求出两种洗衣液各自需要的总钱数，然后再加一起即可。由于进货数量相同，可以利用乘法分配律使计算简便。 【详解】38×199＋12×199 ＝（38＋12）×199 ＝50×199 ＝9950（元） 答：采购洗衣液一共需要9950元。 29．修路队修两条公路，第一条长62千米，第二条长38千米，每千米修路成本45万元，第一条公路比第二条多花费多少万元？ 【答案】1080万元 【分析】第一条公路长千米，第二条公路长千米，每千米修路成本万元。要求第一条公路比第二条多花费多少万元，先分别求出两条公路的总成本再相减，由于每千米成本相同，先求长度差再计算总差价的方法更为简便。 【详解】 （万元） 答：第一条公路比第二条多花费1080万元。 30．电子阅读器具有环保、便捷的特点，某商家购进了甲、乙两种不同的电子阅读器各32个，其中甲款电子阅读器的进价为89元，乙款电子阅读器的进价为111元，该商家购买这两种电子阅读器一共花了多少元？ 【答案】6400 元 【分析】根据数量关系“总价单价数量”，已知甲、乙两种电子阅读器的单价和数量，求总花费。可以先分别求出甲、乙的总价再相加，列式为； 观察发现两种阅读器数量相同，且单价之和能凑成整百数，利用乘法分配律进行简便计算更为快捷。 【详解】 （元） 答：该商家购买这两种电子阅读器一共花了6400元。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 运算律 一、通用解题核心思路 本单元核心是运用加法、乘法运算律进行简便计算与解决实际问题。解题总原则：观察数字特点、凑整简算、依据运算律规范变形。解决问题不再死板硬算，而是通过交换、结合、分配等规律，简化运算步骤，实现快速准确解题，同时培养学生数感与简算思维。 二、五大运算律解题技巧 1. 加法交换律、结合律：适用于连加算式。技巧：尾数凑整，将能凑成整十、整百、整千的数优先结合计算。交换数的位置要带符号搬家，目的是分组凑整，大幅降低计算难度。 2. 乘法交换律、结合律：适用于连乘算式。重点观察特殊凑整搭档：25找4、125找8。优先将能凑整的乘数结合相乘，再计算剩余数字，是考试最常用的简算方法。 3. 乘法分配律（重难点）：本单元易错点、重难点。正向运用：两个数和乘一个数，可分别相乘再相加；逆向运用：两组乘法有相同因数，可提取公因数合并简算。解决问题中多用于分组求和、分批统计类题目。 4. 减法、除法简便性质：连减变减和、连除变除积。多用于剩余数量、平均分类应用题，可以简化多步递减、连除步骤，提升解题速度。 三、解决实际问题专项技巧 1. 分组求和问题：已知多组相同数量，可利用乘法分配律合并计算，先算每组和再算总数量，避免分步繁琐计算。 2. 凑整估算、精准计算：购物、工程、行程等综合题，观察数据特征，灵活凑整简算，在保证结果准确的同时简化步骤。 3. 对比优化解题：同一题型常规计算与简便计算对比，引导学生主动使用运算律，养成简算习惯。 四、高频易错点拨 1. 混淆运算律：连乘只能用结合律，不能乱用乘法分配律，是学生最高频错误。 2.符号出错：带符号搬家漏符号、去括号变号混乱，导致整题结果错误。 3. 分配律不完整：括号外的数只乘括号内第一项，漏乘第二项，属于典型思维漏洞。 4. 无依据简算：不观察数字特点强行凑整，违背运算规律，造成解题失误。 类型1 整数加法结合律解决问题 典型例题1：学校举行爱心捐书活动，一班捐书216本，二班184本，三班235本，四班165本。四个班级一共捐书多少本？ 【分析】求四个班级一共捐书多少本，需要将四个班捐书的数量相加。观察发现，与相加、与相加均能凑成整百数。根据加法结合律，可以将能凑整的数先相加，从而使计算简便。 变式训练：一款电器促销，原价先降价268元，样机再降价232元，顾客实际花1732元买下样机，这款电器原本定价多少元？ 类型2 整数加法交换律解决问题 典型例题2：水果店周一卖出苹果156千克，周二卖出248千克，周三卖出144千克，三天一共卖出苹果多少千克？ 【分析】求三天一共卖出苹果多少千克，需要将周一、周二、周三卖出的质量相加。观察算式中数据，与相加能凑成整百数，运用加法交换律调整运算顺序，可使计算简便。 变式训练：小明读书，第一天看182页，第二天看135页，第三天看118页，三天合计看书多少页？ 类型3 整数减法的性质解决问题 典型例题3：明明看一本324页的故事书，第一天看了97页，第二天看了103页，还剩多少页没有看？ 【分析】由题意得，明明看一本324页的故事书，第一天看了97页，第二天看了103页。求还剩多少页没有看，可以先用324减去97算出明明第一天看完书后还剩多少页，然后再减去103页即可算出明明第二天看完书后还剩多少页没有看。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 变式训练：超市有款彩电原价2855元，节日大酬宾时先降价355元，样品机再降245元，这台样品机彩电现价多少元？ 类型4 整数乘法结合律解决问题 典型例题4：养殖场有9个鸡舍，每个鸡舍有25层鸡笼，每层饲养40只肉鸡，养殖场一共养肉鸡多少只？ 【分析】根据题意，求一共养肉鸡多少只，用鸡舍的数量乘每个鸡舍的层数，求出一共有几层鸡舍，再用每层饲养的只数乘一共鸡舍的层数。观察算式中的数据，与相乘能得到整千数，依据乘法交换律和结合律，先计算可以使计算简便。 变式训练：商店运来8箱保温杯，每箱15个，每个售价25元，这批保温杯全部卖完一共收入多少钱？ 类型5  整数乘法交换律解决问题 典型例题5：工地采购水泥，运来25车，每车装12袋，每袋重40千克，工地一共运来水泥多少千克？ 【分析】根据题意，求工地一共运来水泥多少千克，就是求车水泥的总重量，先用每袋的重量×每车装的袋数求出一车运来的重量，再乘过来的车数即可求出一共运来水泥的重量。列式为。观察数据发现，与相乘可以得到整千数，因此可以运用乘法交换律进行简便计算。 变式训练：图书室共有3个书架，每个书架有8层，每层125本书。图书室一共有多少本书？ 类型6 整数除法的性质解决问题 典型例题6：一台缝纫机6小时可加工服装48件，若用5台同样的缝纫机加工400件服装，需要几小时？ 【分析】先用48除以6计算出一台缝纫机1小时可加工服装的数量，然后400除以5再除以一台缝纫机1小时可加工服装的数量即可，依此列式并计算。 变式训练：为了提高同学们的计算能力，数学老师要求学生3个星期一共完成420道口算题。平均每天需要做多少道口算题？ 类型7 整数乘法分配律解决问题 典型例题7：水果店运来17箱苹果、23箱橙子，每箱水果都是25千克，运来水果总重多少千克？ 【分析】分别用每箱水果的重量×苹果箱数，每箱水果的重量×橙子箱数，计算苹果和橙子的总千克数后再相加，由于每箱千克数相同，且17与23相加能凑成整十数，可以利用乘法分配律进行简算。 变式训练：工地有两堆砂石，第一堆重46吨，第二堆重34吨。用载重为25吨的货车来运输，每运1吨砂石需要运费8元。运完这两堆砂石，第一堆比第二堆多花多少运费？ 1．文具店批发钢笔，每盒12支，每支8元，一次性采购25盒需要花费多少元？ 2．李大伯采摘了560千克桃子。第一天卖了256千克，第二天卖了244千克，还剩多少千克？ 3．花丛里有一群蝴蝶，先飞走了18只白蝴蝶，后飞走了29只粉蝴蝶和42只花蝴蝶。一共飞走了多少只蝴蝶？ 4．学校要做4600朵纸花，平均分给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少朵纸花？ 5．四年级一班捐书227本，二班捐书173本，三班捐书259本，三个班级合计捐书多少本？ 6．天海游泳场第一天卖出门票554张，第二天上午卖出287张，下午卖出313张。这两天一共卖出多少张门票？ 7．一辆货车第一天运货325吨，第二天上午运178吨、下午运122吨，两天一共运货多少吨？ 8．学校艺术节上，教师参展的绘画作品有58件，学生参展的作品数是教师的29倍。本次艺术节上师生参展的作品共有多少件？ 9．欣欣商店原来有220千克苹果，第一天卖出47千克，第二天卖出53千克，后来又购进80千克。现在有多少千克苹果？ 10．师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工48个，徒弟每小时加工42个，4小时完成。这批零件一共有多少个？ 11．一块组合长方形空地，分为绿植区和活动区，两个区域的宽都是16米，绿植区长22米，活动区长18米。绿植区面积比活动区大多少平方米？ 12．皮影戏是我国民间古老的传统艺术。儿童剧场一天上、下午各进行2场皮影戏表演，平均每场售出125张门票，那么8天共售出门票多少张？ 13．“双十一”期间商家开展电器促销活动，有一种型号的电视机原价3888元，降价288元后，又降价212元。小贤家现在买一台这种型号的电视机，需要用多少元？ 14．甲乙两个实力相当的工程队分别从两端同时开凿一条隧道，甲队每天开凿29米，乙队每天开凿21米，12天后还剩50米隧道贯通。这条隧道有多长？ 15．学校为四年级24名运动员购置比赛服装，原价115元一套，现在降价后95元一套，按现价买可以比原来一共节省多少元？ 16．甲乙两个工程队计划从山的两头同时开挖一条长4000米的隧道，甲工程队平均每天挖32米，乙工程队平均每天能挖28米。70天能完成这项工程吗？ 17．新的学期来临，实验小学要为同学们订购新校服。学校为四年级的学生购买了480套运动服，上衣每件58元，裤子每件42元。采购这些运动服一共花了多少钱？ 18．龙口到济南开通高铁啦！平均票价为179元。某日上午从龙口至济南发送旅客154名，下午发送旅客46名。这一天龙口至济南发送旅客共计收入多少元？ 19．为了配合学校“书香校园”的活动，斗鸡台小学为每个班级定制了一个一样的书柜。每个书柜有4层，每层最多能放36本书，全校共有25个班级，定制的这批书柜最多能放多少本书？ 20．家电商城预计在2月份购进64台微波炉和64台电饭煲，共需多少元？ 21．电视机的原价是每台2888元。商场里正在开展“满2000元减150元”的活动。明明家买了一台电视机样机，需要付多少元？ 22．水果店运来香蕉和芒果各28箱，香蕉每箱重35千克，芒果每箱重65千克。运来的香蕉和芒果一共多少千克？ 23．一套运动服饰包含上衣和裤子，上衣每件68元，裤子每条32元。购买36套这样的运动服，一共需要花费多少元？ 24．曲子坐唱俗称“念曲子”或“板凳曲子”，是城固说唱文化的代表，广为流传的有《十劝郎》《十字歌》《哭七七》等。下面是三个小区喜欢听《十字歌》的人数，这三个小区喜欢听《十字歌》的一共有多少人？（用简便方法计算） 小区 星海小区 蔚蓝小区 清居小区 人数/人 127 284 173 25．红小豆作为我国重要的传统食用豆类作物，具有营养价值高、能固氮改良土壤等特性。四个盘子里红小豆的数量如下表，这四个盘子里一共有多少颗红小豆？（用简便方法计算） 第一盘 第二盘 第三盘 第四盘 387颗 234颗 366颗 413颗 26．商店购进保温杯和玻璃杯各203个，保温杯每个售价47元，玻璃杯每个售价53元。如果全部卖出，两种杯子的总销售额是多少元？ 27．一块长方形菜地，分成白菜区和萝卜区，白菜地长34米、宽15米，萝卜地长26米、宽15米，整块菜地总面积是多少平方米？ 28．超市购进两种洗衣液，大瓶每瓶38元，小瓶每瓶12元，两种洗衣液各进货199瓶，采购洗衣液一共需要多少元？ 29．修路队修两条公路，第一条长62千米，第二条长38千米，每千米修路成本45万元，第一条公路比第二条多花费多少万元？ 30．电子阅读器具有环保、便捷的特点，某商家购进了甲、乙两种不同的电子阅读器各32个，其中甲款电子阅读器的进价为89元，乙款电子阅读器的进价为111元，该商家购买这两种电子阅读器一共花了多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $