第四单元 圆（解决问题讲义）数学青岛版六年级上册（新教材）

该小学数学第四单元“圆”复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，从圆的认识与基本要素出发，逐步延伸到周长公式、半圆周长、面积推导、圆环面积及综合应用，用对比（如半圆周长≠圆周长一半）和转化（面积推导为长方形）呈现重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于生活化练习设计与分层训练，如“独轮车车轮滚动距离”“披萨尺寸公平性比较”等例题培养几何直观与应用意识，A夯实基础、B培优拔高、C思维拓展的分层习题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

第四单元 圆 1. 圆的认识与基本要素： ---- 圆是由曲线围成的封闭图形。圆心（O）确定圆的位置，半径（r）确定圆的大小。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径（d）。 2. 圆的周长公式与应用： ---- 圆的周长 = 圆周率 × 直径 = 2 × 圆周率 × 半径，即 C = πd = 2πr。圆周率 π 是一个无限不循环小数，计算时通常取 3.14。已知直径求周长用 C=πd，已知半径求周长用 C=2πr。 3. 半圆的周长与面积： ---- 半圆的周长 ≠ 圆周长的一半！半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 C半圆 = πd÷2 + d = πr + 2r 4. 圆的面积公式与推导： ---- 把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的长 = 圆周长的一半 = πr，宽 = 半径 = r。 5. 圆环的面积： ---- 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = πR² - πr² = π(R² - r²)。其中 R 是外圆半径，r 是内圆半径。 6. 圆的综合应用： ---- 圆的知识常与比、分数、百分数结合。常见题型：① 已知周长求面积（先求半径）；② 圆与长方形/三角形组合图形的面积；③ 钟面上时针、分针针尖走过的路程和扫过的面积（注意是几圈）；④ 圆与比结合（半径比、直径比、周长比都相等，面积比是半径比的平方）。 类型 1 圆的周长的应用 典型例题 1：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是40厘米。 (1)车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2)如果给车轮加一个宽5厘米的轮胎保护圈（相当于半径增加5厘米），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 【答案】(1)125.6厘米 (2)31.4厘米 【分析】（1）车轮滚动一周的距离就是车轮的周长，根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，代入数值即可。 （2）先用直径除以2求出原来车轮的半径，再用半径加5求出增加保护圈后的新半径，根据C＝2πr求出新周长，用新周长减去原周长即可求出增加的距离。 【详解】（1）3.14×40＝125.6（厘米） 答：车轮滚动一周的距离是125.6厘米。 （2）原半径：40÷2＝20（厘米） 新半径：20＋5＝25（厘米） 新周长：2×3.14×25 ＝6.28×25 ＝157（厘米） 增加的距离：157－125.6＝31.4（厘米） 答：保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了31.4厘米。 【变式训练】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口周长是23.55分米，做一个这样的盖子至少需要多少平方分米的木板？ 【答案】50.24平方分米 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π求出水缸的直径，再根据1分米＝10厘米进行单位换算，用水缸的直径加盖子的直径比水缸的直径大的长度，求出盖子的直径，再用盖子的直径除以2，求出盖子的半径，最后根据圆的面积公式S＝πr2，代入数求出做一个这样的盖子需要的木板面积。 【详解】23.55÷3.14＝7.5（分米） 5厘米＝0.5分米 7.5＋0.5＝8（分米） 8÷2＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：做一个这样的盖子至少需要50.24平方分米的木板。 类型 2 圆的面积的应用 典型例题 1：一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【分析】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 变式训练：数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 【答案】不公平；因为两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出一个8寸披萨的面积与两个4寸披萨的面积，进行比较即可。 【详解】8×2.5＝20（厘米） 4×2.5＝10（厘米） ＝3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） ＝3.14××2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 157＜314 两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小。 答：这样换不公平。 类型 3 含圆的组合图形的面积的应用 典型例题 1：施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【分析】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 变式训练：礼堂中一扇窗户的形状与大小如图，上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】6.57平方米 【分析】由图可知，长方形的长是2米，宽是2.5米，半圆的直径是2米。长方形的面积＝长×宽，半圆的面积＝，窗户的面积＝半圆的面积＋长方形的面积。 【详解】3.14×÷2＋2×2.5 ＝3.14×÷2＋2×2.5 ＝3.14×1÷2＋2×2.5 ＝1.57＋5 ＝6.57（平方米） 答：这扇窗户的面积是6.57平方米。 类型 4 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题 1：我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 【答案】12.56平方分米；8平方分米 【分析】观察图片，在大正方形里画最大的圆，圆的直径等于大正方形边长4dm，那么半径r＝4÷2＝2dm，根据圆的面积公式S＝πr²，π取3.14，可求出圆的面积。 圆内最大正方形的对角线是圆的直径4分米，把圆内最大的正方形沿对角线分成两个相等的等腰直角三角形，三角形的底是直径4分米，高是直径的一半，即4÷2＝2（分米）。根据三角形面积公式S＝ah，求出一个三角形的面积，再乘2得到小正方形的面积。 【详解】圆的面积：3.14×（4÷2）² ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 圆内正方形的面积：×4×（4÷2）×2 ＝×4×2×2 ＝2×2×2 ＝8（平方分米） 答：圆的面积是12.56平方分米，圆内正方形的面积是8平方分米。 变式训练：一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） (1)圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ (2)如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 【答案】(1)3.14平方米；2平方米 (2)12人 【分析】（1）圆的面积公式：S＝πr2（r是半径），已知直径2米，可以求出半径再代入公式求出面积。正方形对角线即为圆的直径，把正方形看成2个以对角线为底、对角线一半为高的三角形，因此正方形面积为对角线乘一半的对角线除以2再乘2。 （2）圆的周长公式：C＝πd，代入直径求出周长，每人需要0.5米宽的位置，人数＝周长÷每人所需宽度，不够1人坐的位置需舍弃，因此人数需向下取整数。 【详解】（1）半径：2÷2＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） （2×1÷2）×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 答：圆形桌面的面积是3.14平方米，折叠后正方形桌面的面积是2平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56（人） 向下取整为12人。 答：这张圆桌大约能坐12人。 A夯实基础 1．在一个长10cm、宽8cm的长方形金属板上，明明爸爸准备加工出一个最大的圆形孔洞。这个最大的圆的周长是( )cm，它的面积是( )cm2。 【答案】 25.12 50.24 【分析】要在长方形金属板上加工出一个最大的圆形孔洞，这个圆的直径必须等于长方形的宽。根据圆的周长公式和圆的面积公式进行计算。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 2．一个半圆的半径是6厘米，那么这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 30.84 56.52 【分析】已知半径为6厘米，根据半圆的周长公式：C＝πr＋2r，半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 因此这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米。 3．如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 【答案】12.56 【分析】如图所示，张爷爷的篱笆围起来的菜地是半圆形，因为靠墙，所以篱笆的长度是圆周长的一半，因此根据圆的周长＝π×直径，先求出圆的周长，再用周长÷2，即可得出结果。 【详解】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 4．如图，将一个圆平均分成若干个扇形，再拼成一个近似的长方形。已知长方形的周长比圆周长增加了10厘米，原来圆的半径是________厘米，面积是________平方厘米。 【答案】 5 78.5 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度。所以用10除以2算出半径的长度。圆的面积S＝πr2，代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 所以，原来圆的半径是5厘米，面积是78.5平方厘米。 5．如图所示，圆的周长是62.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。则阴影部分的周长为( )厘米。 【答案】78.5 【分析】先根据圆的周长公式求出圆的半径，结合圆与长方形面积相等、长方形宽等于圆半径的条件，求出长方形的长。再分析阴影部分的周长组成：长方形的两条长、一条宽，减去重叠的半径长度，再加上四分之一圆的弧长；其中长方形的宽与重叠的半径长度相等，可相互抵消，最终阴影周长等于两条长方形的长加上四分之一圆的周长。 【详解】计算圆的半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 计算圆的面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 计算长方形的长，长方形的宽等于圆的半径10厘米；314÷10＝31.4（厘米） 计算两条长方形长的总长度：31.4×2＝62.8（厘米） 计算四分之一圆的弧长：62.8÷4＝15.7（厘米） 计算阴影部分的总周长：62.8＋15.7＝78.5（厘米） 6．中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如果图①中外面正方形的面积是64，则内圆的面积是( )；如果图②中外圆的面积是28.26，则圆内大正方形的面积是( )。 【答案】 50.24 18 【分析】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr²，三角形的面积＝底×高÷2； 图①外面正方形的边长等于内圆的直径，根据64＝8×8可知外面正方形的边长是8dm，则内圆的直径为8dm 图②圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r²，先用外圆的面积除以π求出r²，再把r²代入2r²中计算即可。 【详解】①64＝8×8 内圆面积：3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（dm²） r²＝28.26÷3.14＝9 圆内正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r² ＝2×9 ＝18（dm²） B培优拔高 7．拓展思考：如果我们要设计一种在特殊路面（例如全是台阶的路面）上行驶的车，你认为车轮还是圆的最好吗？为什么？ 【答案】不一定。 理由：圆形适合在平坦路面上行驶。如果在全是台阶的路面上，圆形车轮可能会卡住或者无法攀爬。在这种特殊路况下，可能需要履带或者特殊形状的轮子（如三角形或方形履带轮）来增加抓地力和跨越障碍的能力。 【分析】圆的本质特征是圆心到圆上任意一点的距离相等（即半径相等）。在平坦路面上，利用这一特征能保证车轴高度不变，行驶平稳。但在台阶路面上，地面高度发生突变，圆形车轮无法保持车轴高度稳定，会导致车身颠簸。 【详解】略 8．有一块圆形玉佩（如图），外圈是玉石（涂色部分），中间是黄金。这块玉佩中玉石的面积是多少平方厘米？ 【答案】15.7平方厘米 【分析】玉石面积是圆环面积，圆环面积＝外圆面积−内圆面积，先算出内外圆半径，再套用圆面积公式计算。 【详解】外圆半径：6÷2＝3（厘米） 内圆半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×32−3.14×22 ＝3.14×9−3.14×4 ＝28.26−12.56 ＝15.7（平方厘米） 答：这块玉佩中玉石的面积是15.7平方厘米。 9．小学中段年级数学检测时间是下午2：30－3：30。教室挂钟时针长6厘米，整个测试时间这只挂钟的时针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】9.42平方厘米 【分析】测试时长1小时，钟表时针1小时转动1大格，每大格圆心角360°÷12＝30°，时针长6厘米是扇形半径，时针扫过面积是整圆面积的，再根据圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】3.14×62× ＝3.14×36× ＝9.42（平方厘米） 答：整个测试时间这只挂钟的时针扫过的面积是9.42平方厘米。 10．某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】(1)565.2平方米 (2)18棵 【分析】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【详解】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 11．如图所示某零件横截面是个圆环，这个圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】65.94平方厘米 【分析】根据题意，圆环的面积公式是“圆环面积＝外圆面积－内圆面积”（依据圆的面积公式S＝πr²）。首先需要确定外圆和内圆的半径：外圆直径是10厘米，内圆直径是4厘米，分别求出它们的半径，再代入公式计算，据此解答。 【详解】求外圆和内圆的半径 外圆半径：10÷2＝5（厘米） 内圆半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×（52－22） ＝3.14×（25－4） ＝3.14×21 ＝65.94（平方厘米） 答：圆环面积是65.94平方厘米。 12．在一个广场上设计了一个边长为30米的正方形绿地，四个角上设计了四个相同的扇形，每个扇形的半径长10米，要铺上草坪，其余部分是种植花卉，如图。已知草坪的价格是30元/平方米，花卉的价格是60元/平方米。 （1）买草坪一共要花多少钱？ （2）买花卉一共要花多少钱？ （3）为保护花卉，在种植花卉部分的四周围上篱笆，共需要多长的篱笆？ 【答案】（1）9420元； （2）35160元； （3）102.8米 【分析】（1）观察图片可知，每个扇形面积等于半径为10米圆的面积的，则4个相同的扇形的面积合在一起正好为1个半径为10米圆的面积。所以求在4个扇形里铺上草坪一共要花多少钱，需要先得知这个半径为10米圆的面积，再乘种植每平方米草坪的价格即可； （2）观察图片可知，种植花卉的面积等于正方形绿地的面积减去四个扇形的面积，然后用求出的种植花卉的面积乘种植每平方米花卉的价格，即可得出买花卉一共要花多少钱； （3）观察图片可知，在种植花卉部分的四周围上篱笆，即在4个扇形的弧上（4个扇形的弧的长度等于半径为10米圆的周长），和正方形绿地4个边上与扇形不重合的部分。 【详解】（1）3.14××30 ＝3.14×100×30 ＝314×30 ＝9420（元） 答：买草坪一共要花9420元。 （2）（30×30－314）×60 ＝（900－314）×60 ＝586×60 ＝35160（元） 答：买花卉一共要花35160元。 （3）2×3.14×10＋（30－10－10）×4 ＝6.28×10＋10×4 ＝62.8＋40 ＝102.8（米） 答：共需要102.8米的篱笆。 13．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，试求3秒后波纹的面积。如果每秒产生一个新的波纹，并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【答案】28.26 平方米；21.98 平方米 【分析】波纹以每秒1米的速度扩散，3秒后波纹的半径是1×3＝3米，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出3秒后波纹的面积。 每秒产生一个新波纹，4秒后，第一个波纹（产生于初始时刻）扩散了4秒，半径4米；第二个波纹（产生于1秒后）扩散了3秒，半径3米；面积差是第一个波纹面积减去第二个波纹面积，也就是一个圆环的面积；根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】波纹扩散速度是每秒1米，3秒后波纹的半径：1×3＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 4秒后扩散时间为4秒，半径为：1×4＝4（米）； 第二个波纹4秒后扩散时间为3秒，半径为1×3＝3（米）。 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：3秒后波纹的面积28.26平方米，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大21.98平方米。 C思维拓展 14．公园里有一个周长是75.36米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水器进行喷灌。现有射程为8米、12米、20米的三种装置。你认为选哪种比较合适？安装在什么地方？（请你写出推算过程） 【答案】 12米；安装在草坪圆心处 【分析】根据圆的周长公式C＝2r，代入数据可求出半径。要让喷水器能完全覆盖圆形草坪，自动旋转喷水器的射程是它能喷水的圆的半径，喷水器在圆心处才能均匀地对圆形草坪进行喷灌。 【详解】75.36÷（2×3.14） ＝75.36÷6.28 ＝12（米） 射程是12米的装置比较合适，喷水器安装在草坪圆心处。 答：选择射程是12米的装置比较合适，喷水器安装在草坪圆心处。 15．节假日里，小华在小区的广场坚持长跑，广场中央的圆形喷水池的直径是20米，在水池的周围修一条宽10米的环形水泥路（如下图）。如果在水泥路的外边上每隔31.4米设置供游人休息的椅子，需要设置几个？ 【答案】4个 【分析】先根据，用20÷2求出圆形水池的半径（内圆半径）为10米；再用内圆半径加环宽求出外圆半径，即10＋10＝20（米）；再根据，用2×3.14×20求出水泥路的外边的长是125.6米。 在一条首尾相接的封闭曲线上植树问题的规律：棵数＝间隔数＝总距离÷株距。据此用水泥路的外边的长除以两个椅子间的长度，可求出需要设置的椅子的个数，列式为125.6÷31.4。 【详解】内圆半径：20÷2＝10（米） 外圆半径：10＋10＝20（米） 2×3.14×20＝125.6（米） 125.6÷31.4＝4（个） 答：需要设置4个。 16．某新建小区内有一个直径6米的圆形花坛（如图），花坛周围有一条宽1米的甬路。物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花。三种花的种植面积各是多少？ 【答案】6.28平方米；9.42平方米；12.56平方米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出花坛的面积；物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花，即种植野菊的面积占花坛的面积的，种植郁金香的面积占花坛的面积的，种植月季的面积占花坛的面积的，然后根据分数乘法的意义，分别求出三种花的种植面积各是多少。 【详解】 ＝ ＝ ＝28.26（平方米） ＝ ＝6.28（平方米） ＝ ＝9.42（平方米） ＝ ＝12.56（平方米） 答：野菊、郁金香和月季种植面积分别是6.28平方米、9.42平方米和12.56平方米。 17．李明同学经过细心观察，发现不同车上的雨刷形状并不都是一样的。某款车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，李明测量了一下，这款车上雨刷摆臂长度50厘米，胶条长度30厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 【答案】3297平方厘米 【分析】由图可知，内圆半径是50－30＝20（厘米），外圆半径为50厘米，整个圆环的面积为3.14×（502－202），再除以2即可解答。 【详解】50－30＝20（厘米） 3.14×（502－202）÷2 ＝3.14×（2500－400）÷2 ＝3.14×2100÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是3297平方厘米。 18．有一块菜地由一个正方形和一个半圆形组成（如图），求这块菜地的面积和外围一周的周长。 【答案】面积：89.12平方米；周长：36.56米 【分析】（1）先根据圆的面积求出圆的面积，用圆的面积÷2求出半圆的面积；再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出正方形的面积；最后用“半圆的面积＋正方形的面积”求出这块菜地的面积。 （2）先根据圆的周长求出圆的周长，用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再用“圆周长的一半＋正方形的3条边长”求出这块菜地的周长。 【详解】面积：3.14×（8÷2）2÷2＋8×8 ＝3.14×42÷2＋64 ＝3.14×16÷2＋64 ＝50.24÷2＋64 ＝25.12＋64 ＝89.12（平方米） 周长：3.14×8÷2＋8×3 ＝25.12÷2＋24 ＝12.56＋24 ＝36.56（米） 答：这块菜地的面积是89.12平方米，外围一周的周长是36.56米。 【点睛】明确圆的面积和周长计算公式是解决此题的关键。 19．如图，一个正方形的花坛，边长是10米，阴影部分是一座假山，现在想要在假山的周围建造一层篱笆，求篱笆的长度是多少米？ 【答案】31.4米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长是由2条半径是10米的圆周长的，根据圆周长公式：C＝2πr，用2×3.14×10××2即可求出阴影部分的周长。 【详解】2×3.14×10××2 ＝3.14×10 ＝31.4（米） 答：篱笆的长度是31.4米。 【点睛】本题考查了圆周长公式的灵活应用，关键是判断阴影部分的周长是由哪部分组成。 20．一头小牛被主人用10米长的绳子拴在一块长25米，宽20米的长方形草地中央的木桩上。小牛看着茂盛的草地想：“太好了，我一定要把草吃完。”小牛真可以吃到草地上所有草吗？如果吃不完所有的草，小牛还差多少平方米草吃不到呢？ 【答案】不能；186平方米 【分析】 如图，阴影部分的面积是小牛能吃到的面积，根据圆面积公式，用3.14×102即可求出小牛能吃到的面积，已知长方形草地的长25米，宽20米，根据长方形的面积公式，用25×20即可求出总草地的面积，再用长方形草地的面积减去小牛吃到的面积，即可求出没吃到的面积。 【详解】25×20＝500（平方米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314＜500 500－314＝186（平方米） 答：小牛不可以吃到草地上所有草；小牛还差186平方米草吃不到。 【点睛】本题考查了圆面积公式的灵活应用。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆 1. 圆的认识与基本要素： ---- 圆是由曲线围成的封闭图形。圆心（O）确定圆的位置，半径（r）确定圆的大小。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径（d）。 2. 圆的周长公式与应用： ---- 圆的周长 = 圆周率 × 直径 = 2 × 圆周率 × 半径，即 C = πd = 2πr。圆周率 π 是一个无限不循环小数，计算时通常取 3.14。已知直径求周长用 C=πd，已知半径求周长用 C=2πr。 3. 半圆的周长与面积： ---- 半圆的周长 ≠ 圆周长的一半！半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 C半圆 = πd÷2 + d = πr + 2r 4. 圆的面积公式与推导： ---- 把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的长 = 圆周长的一半 = πr，宽 = 半径 = r。 5. 圆环的面积： ---- 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = πR² - πr² = π(R² - r²)。其中 R 是外圆半径，r 是内圆半径。 6. 圆的综合应用： ---- 圆的知识常与比、分数、百分数结合。常见题型：① 已知周长求面积（先求半径）；② 圆与长方形/三角形组合图形的面积；③ 钟面上时针、分针针尖走过的路程和扫过的面积（注意是几圈）；④ 圆与比结合（半径比、直径比、周长比都相等，面积比是半径比的平方）。 类型 1 圆的周长的应用 典型例题 1：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，车轮的直径是40厘米。 (1)车轮滚动一周的距离是多少厘米？ (2)如果给车轮加一个宽5厘米的轮胎保护圈（相当于半径增加5厘米），那么保护圈外沿滚动一周的距离比原来增加了多少厘米？ 【变式训练】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口周长是23.55分米，做一个这样的盖子至少需要多少平方分米的木板？ 类型 2 圆的面积的应用 典型例题 1：一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 变式训练：数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 类型 3 含圆的组合图形的面积的应用 典型例题 1：施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 变式训练：礼堂中一扇窗户的形状与大小如图，上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是多少平方米？（π取3.14） 类型 4 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题 1：我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 变式训练：一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） (1)圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ (2)如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ A夯实基础 1．在一个长10cm、宽8cm的长方形金属板上，明明爸爸准备加工出一个最大的圆形孔洞。这个最大的圆的周长是( )cm，它的面积是( )cm2。 2．一个半圆的半径是6厘米，那么这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 3．如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要( )米长的篱笆。 4．如图，将一个圆平均分成若干个扇形，再拼成一个近似的长方形。已知长方形的周长比圆周长增加了10厘米，原来圆的半径是________厘米，面积是________平方厘米。 5．如图所示，圆的周长是62.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。则阴影部分的周长为( )厘米。 6．中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如果图①中外面正方形的面积是64，则内圆的面积是( )；如果图②中外圆的面积是28.26，则圆内大正方形的面积是( )。 B培优拔高 7．拓展思考：如果我们要设计一种在特殊路面（例如全是台阶的路面）上行驶的车，你认为车轮还是圆的最好吗？为什么？ 8．有一块圆形玉佩（如图），外圈是玉石（涂色部分），中间是黄金。这块玉佩中玉石的面积是多少平方厘米？ 9．小学中段年级数学检测时间是下午2：30－3：30。教室挂钟时针长6厘米，整个测试时间这只挂钟的时针扫过的面积是多少平方厘米？ 10．某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 11．如图所示某零件横截面是个圆环，这个圆环的面积是多少平方厘米？ 12．在一个广场上设计了一个边长为30米的正方形绿地，四个角上设计了四个相同的扇形，每个扇形的半径长10米，要铺上草坪，其余部分是种植花卉，如图。已知草坪的价格是30元/平方米，花卉的价格是60元/平方米。 （1）买草坪一共要花多少钱？ （2）买花卉一共要花多少钱？ （3）为保护花卉，在种植花卉部分的四周围上篱笆，共需要多长的篱笆？ 13．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，试求3秒后波纹的面积。如果每秒产生一个新的波纹，并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中，4秒后产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ C思维拓展 14．公园里有一个周长是75.36米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水器进行喷灌。现有射程为8米、12米、20米的三种装置。你认为选哪种比较合适？安装在什么地方？（请你写出推算过程） 15．节假日里，小华在小区的广场坚持长跑，广场中央的圆形喷水池的直径是20米，在水池的周围修一条宽10米的环形水泥路（如下图）。如果在水泥路的外边上每隔31.4米设置供游人休息的椅子，需要设置几个？ 16．某新建小区内有一个直径6米的圆形花坛（如图），花坛周围有一条宽1米的甬路。物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花。三种花的种植面积各是多少？ 17．李明同学经过细心观察，发现不同车上的雨刷形状并不都是一样的。某款车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，李明测量了一下，这款车上雨刷摆臂长度50厘米，胶条长度30厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少？ 18．有一块菜地由一个正方形和一个半圆形组成（如图），求这块菜地的面积和外围一周的周长。 19．如图，一个正方形的花坛，边长是10米，阴影部分是一座假山，现在想要在假山的周围建造一层篱笆，求篱笆的长度是多少米？ 20．一头小牛被主人用10米长的绳子拴在一块长25米，宽20米的长方形草地中央的木桩上。小牛看着茂盛的草地想：“太好了，我一定要把草吃完。”小牛真可以吃到草地上所有草吗？如果吃不完所有的草，小牛还差多少平方米草吃不到呢？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $