第三单元 比 （解决问题讲义）数学青岛版六年级上册（新教材）

该小学数学“比”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖比的意义、各部分名称、与分数除法的关系、基本性质及按比例分配方法，用对比表格呈现概念联系，按“概念-性质-应用”逻辑组织，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，A层夯实基础如“镈的铜锡配比”，B层拔高如“长方形周长与长宽比”，C层拓展如“行程问题中的速度比”，培养运算能力与模型意识，典型例题配变式训练，助力教师精准教学与学生自主复习。

第三单元 比 1. 比的意义与各部分名称： ---- 两个数相除又叫做两个数的比。比表示两个数量之间的倍比关系。在 a:b 中，a 是比的前项，':' 是比号，b 是比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。 2. 比、分数与除法的关系： ---- 比的前项相当于分数的分子、除法的被除数；比号相当于分数的分数线、除法的除号；比的后项相当于分数的分母、除法的除数 3. 比的基本性质： ---- 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的依据。 4. 按比例分配问题（归一法）： ---- 已知总量和各部分的比，求各部分量。归一法步骤：① 求出总份数（各部分份数相加）；② 用总量 ÷ 总份数 = 每份的数量；③ 用每份的数量分别乘各部分对应的份数，求出各部分量。 5. 按比例分配问题（分数法）： ---- 分数法步骤：① 求出总份数；② 分别求出各部分量占总数量的几分之几（各部分份数 ÷ 总份数）；③ 用总数量 × 各部分对应分率 = 各部分量。 6. 已知一个部分量，按比例分配求另一个部分量： ---- 题目不是给总量，而是给其中一个部分量和比，求另一个部分量或总量。解题方法：① 归一法：先看已知量对应几份，求出每份是多少，再求其他部分或总量。② 分数法：已知量 ÷ 已知量占总量的分率 = 总量，再用总量 × 另一部分的分率 = 另一部分量。也可以用比例的基本性质：内项积等于外项积，设未知量为 x，列比例解答。 类型 1 比的意义与求比值 典型例题 1：学校体育室有篮球 20 个，足球 16 个。篮球和足球个数的比是多少？比值是多少？ 【分析】比由前项、比号和后项组成，写比时要注意顺序。本题问的是篮球和足球个数的比，所以篮球个数作前项，足球个数作后项。求比值用前项除以后项。 【答案】比是 5:4，比值是 【详解】 篮球个数:足球个数 = 20:16 化简比：20:16 = (20÷4):(16÷4) = 5:4 比值：20:16 = 20÷16 = = 答：篮球和足球个数的比是 5:4，比值是 。 【变式训练】六（1）班有男生 25 人，女生 20 人。女生人数和全班人数的比是多少？比值是多少？ 【答案】比是 4:9，比值是 【详解】全班人数 = 25+20 = 45（人），女生人数:全班人数 = 20:45 = 4:9，比值 = 20÷45 = 。答：女生人数和全班人数的比是 4:9，比值是 。 类型 2 按比例分配（已知总量求各部分） 典型例题 2：配制一种农药，药粉和水的质量比是 1:500。现有这种农药 3006 克，药粉和水各有多少克？ 【分析】这是已知总量和各部分比求各部分量的按比例分配问题。药粉占 1 份，水占 500 份，总共 501 份。可以用归一法先求 1 份，再求各部分；也可以用分数法，药粉占总量的 ，水占 。 【答案】药粉 6 克，水 3000 克 【详解】 方法一：归一法 总份数：1 + 500 = 501（份） 每份质量：3006 ÷ 501 = 6（克） 药粉质量：6 × 1 = 6（克） 水的质量：6 × 500 = 3000（克） 方法二：分数法 药粉：3006 × 1/(1+500) = 3006 × = 6（克） 水：3006 × 500/(1+500) = 3006 × = 3000（克） 答：药粉有 6 克，水有 3000 克。 【变式训练】学校把 240 棵树苗按 3:5 的比分给五、六年级同学栽种，五、六年级各栽多少棵？ 【答案】五年级 90 棵，六年级 150 棵 【详解】总份数 3+5=8，每份 240÷8=30（棵）。五年级：30×3=90（棵），六年级：30×5=150（棵）。答：五年级栽 90 棵，六年级栽 150 棵。 类型 3 已知一个部分量，求另一个部分量或总量 典型例题 3：果园里苹果树和梨树棵数的比是 5:3，已知梨树有 120 棵，苹果树有多少棵？ 【分析】梨树对应 3 份，是 120 棵，可先求出每份多少棵，再求 5 份对应的苹果树棵数。也可以用分数法：苹果树是梨树的 ，用 120 × 。 【答案】苹果树 200 棵 【详解】 方法一：归一法 每份的棵数：120 ÷ 3 = 40（棵） 苹果树：40 × 5 = 200（棵） 方法二：分数法 苹果树是梨树的 苹果树：120 × = 200（棵） 答：苹果树有 200 棵。 【变式训练】一种药水是按药和水 1:100 配制的，现在有 5 克药粉，能配制这种药水多少克？ 【答案】505 克 【详解】药 1 份 = 5 克，每份 5 克。总份数 1+100=101，药水总质量 = 5×101 = 505（克）。答：能配制这种药水 505 克。 类型 4 已知差与比，求各部分 典型例题 4：小明和小红集邮张数的比是 7:4，小明比小红多 30 张。两人各集邮多少张？ 【分析】小明比小红多 7-4=3 份，对应 30 张，先求出 1 份是多少，再分别求 7 份和 4 份的数量。这是按比例分配中"已知差求各量"的类型，解题关键是找到差对应的份数。 【答案】小明 70 张，小红 40 张 【详解】 小明比小红多的份数：7 - 4 = 3（份） 每份的张数：30 ÷ 3 = 10（张） 小明：10 × 7 = 70（张） 小红：10 × 4 = 40（张） 检验：70 - 40 = 30（张），符合题意。 答：小明集邮 70 张，小红集邮 40 张。 【变式训练】甲、乙两数的比是 5:3，乙数比甲数少 18，甲数是多少？ 【答案】甲数是 45 【详解】乙比甲少 5-3=2 份，对应 18，每份 = 18÷2 = 9。甲数 = 9×5 = 45。答：甲数是 45。 类型 5 按比例分配在几何中的应用 典型例题 5：一个长方形的周长是 48 厘米，长和宽的比是 5:3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】长方形周长 = 2 ×（长+宽），所以先求长+宽的和，再按 5:3 分配求出长和宽，最后计算面积。注意：周长对应的是 2 长 + 2 宽 = 2(长+宽)，不能直接用 48 按 5:3 分配。 【答案】135 平方厘米 【详解】 长与宽的和：48 ÷ 2 = 24（厘米） 总份数：5 + 3 = 8（份） 每份长度：24 ÷ 8 = 3（厘米） 长：3 × 5 = 15（厘米） 宽：3 × 3 = 9（厘米） 面积：15 × 9 = 135（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 135 平方厘米。 【变式训练】一个三角形三个内角度数的比是 2:3:4，这是一个什么三角形？ 【答案】锐角三角形 【详解】三角形内角和 180°，总份数 2+3+4=9，每份 180÷9=20°。三个角分别为 20×2=40°，20×3=60°，20×4=80°。三个角都小于 90°，所以是锐角三角形。 类型 6 比的综合应用 典型例题 6：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行路程的比是 4:3。相遇后甲车继续以原速前进，乙车每小时比原来多行 35 千米，结果两车同时到达对方出发地。甲车每小时行多少千米？ 【分析】相遇时路程比是 4:3，说明速度比也是 4:3（因为时间相同，路程比等于速度比）。相遇后甲走原来乙走的 3 份路程，乙走原来甲走的 4 份路程，同时到达说明时间相同。相遇后甲乙路程比 = 3:4，所以速度比也应该是 3:4。设甲速为 4x，乙原来速度为 3x，相遇后乙速为 3x+35，甲乙速度比 = 4x:(3x+35) = 3:4，列比例求解。 【答案】甲车每小时行 60 千米 【详解】 相遇前：甲速:乙速 = 4:3 相遇后，甲走乙原来的 3 份，乙走甲原来的 4 份，同时到达 所以相遇后：甲速:乙速 = 3:4 设甲车速度为 4x 千米/时，乙车原来速度为 3x 千米/时， 相遇后乙车速度为 (3x+35) 千米/时。 4x : (3x+35) = 3 : 4 4x × 4 = (3x+35) × 3 16x = 9x + 105 16x - 9x = 105 7x = 105 x = 15 甲车速度：4 × 15 = 60（千米/时） 答：甲车每小时行 60 千米。 【变式训练】加工一批零件，甲单独做要 6 小时，乙单独做要 8 小时。甲、乙工作效率的比是多少？ 【答案】4:3 【详解】把工作总量看作单位"1"，甲的效率 = ，乙的效率 = 。甲:乙 = : = (×24):(×24) = 4:3。工作效率的比与工作时间的比正好相反。 A夯实基础 1．中国春秋战国时期的《考工记》是世界上第一部关于手工艺的科技著作。聪聪在阅读时了解到：制作一件农具“镈”，所需铜和锡的质量比是5∶1，现要制作一件质量是9840克的“镈”需要铜多少克？ 【答案】8200克 【分析】根据铜与锡的质量比求出总份数，结合总质量算出每份的质量，再乘铜对应的份数即可。 【详解】9840÷（5＋1）×5 ＝9840÷6×5 ＝8200（克） 答：要制作一件质量是9840克的“镈”需要铜8200克。 2．扎染古称“绞缬（xié）”，起源于中国黄河流域。早在秦汉时期就有扎染制品的出现，云南大理白族扎染技艺、四川自贡扎染技艺先后被列入国家非物质文化遗产，丽丽要按颜料和水为5∶7的比例配制1200克染料液，分别需要颜料和水各多少克？ 【答案】需要颜料500克，水700克 【分析】把颜料和水的比看作份数比，先求出总份数，再用染料液的总质量除以总份数，求出1份是多少克，再分别乘颜料和水的份数即可解答。 【详解】1200÷（5＋7） ＝1200÷12 ＝100（克） 100×5＝500（克） 100×7＝700（克） 答：需要颜料500克，水700克。 3．灵儿有个长方体饰品收纳箱，棱长总和是108厘米，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个收纳箱的体积是多少立方厘米？ 【答案】648立方厘米 【分析】长方体共有4组长宽高，棱长总和是108厘米，所以一组长＋宽＋高为棱长总和除以4。已知长、宽、高的比，长、宽、高的和÷总份数＝1份长度，1份长度分别乘长、宽、高的份数求出长、宽、高的值，代入公式：体积＝长×宽×高。 【详解】108÷4÷（4＋3＋2） ＝108÷4÷9 ＝27÷9 ＝3（厘米） 长：3×4＝12（厘米） 宽：3×3＝9（厘米） 高：3×2＝6（厘米） 体积：12×9×6＝648（立方厘米） 答：这个收纳箱的体积是648立方厘米。 4．李叔叔直播销售三种水果，销量提高至8000千克。已知桔子、苹果、柿子的重量比是1∶4∶5，现在销量中苹果有多少千克？ 【答案】 3200千克 【分析】已知三种水果共销售8000千克，它们的重量比是1∶4∶5，即8000千克对应1＋4＋5＝10份量，根据具体数量÷对应份数求出一份量，用一份量乘苹果对应的份数可计算出苹果的重量。 【详解】8000÷（1＋4＋5）×4 ＝8000÷10×4 ＝3200（千克） 答：现在销量中苹果有3200千克。 5．用一根长96分米的铁丝围成一个长方体框架，已知长方体长、宽、高的比是3∶2∶1，围成的长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】384立方分米 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长＋宽＋高＝棱长总和÷4，求出长＋宽＋高的和；长方体长、宽、高的比是3∶2∶1，即把长方体的长＋宽＋高的和平均分成了3＋2＋1＝6（份），用长＋宽＋高的和除以总份数，求出1份是多少，进而求出长、宽、高；再根据长方体体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】3＋2＋1＝6（份） 长：96÷4÷6×3 ＝24÷6×3 ＝4×3 ＝12（分米） 宽：96÷4÷6×2 ＝24÷6×2 ＝4×2 ＝8（分米） 高：96÷4÷6×1 ＝24÷6×1 ＝4×1 ＝4（分米） 12×8×4 ＝96×4 ＝384（立方分米） 答：围成的长方体的体积是384立方分米。 6．时光小区有540户住户，其中参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是7∶2，参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户？ 【答案】300户 【分析】已知总户数是540户，参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是。可以将总户数看作总份数，即份。要求参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户，可以先求出一份是多少户，再求出参加比没参加多的份数，最后求出多的户数，据此解答。 【详解】 （户） 答：参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多户。 7．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】把A、B两地的距离看作单位“1”，根据甲、乙两车的速度，求出两车的速度比是4∶3，即乙车的速度是甲的；因为两车是同时出发，当甲车行了全程的时，乙车行了全程的；用单位“1”分别减去甲车和乙车行驶了全程的分率，得到还未行驶的分率；最后用150千米除以未行驶的分率即可求出全程的距离。 【详解】 乙车的速度是甲的 ＝360（千米） 答：A、B两地相距360千米。 B培优拔高 8．小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了18页，第一天与第二天看的页数比是2∶3，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 【答案】 27页；162页 【分析】根据第一天与第二天看的页数比是2∶3，可知第二天看的页数是第一天的，用第一天看的页数乘求出第二天看的页数；再把第一天看的页数与第二天看的页数相加，求出两天一共看的页数；把这本书的总页数看作单位“1”，两天一共看了这本书的，对应的是两天一共看的页数，求单位“1”，用两天一共看的页数除以，即可求出这本书的总页数。 【详解】18×＝27（页） （18＋27）÷ ＝45÷ ＝45× ＝162（页） 答：她第二天看了27页，这本书有162页。 9．园林工人在一条路的两旁植树，每天种40棵。3天后，已种的棵树与总棵树的比是2∶5。这批树苗一共有多少棵？ 【答案】300棵 【分析】用每天种树苗的棵数×3，求出3天种植树苗的棵数；把树苗总棵数看作单位“1”，已种的棵数与总棵数的比是2∶5，即已种的棵数占总棵数的，对应的是已种树苗的棵数，求单位“1”，用已种数量的棵数÷，即可解答。 【详解】40×3÷ ＝120÷ ＝120× ＝300（棵） 答：这批树苗一共有300棵。 10．在“天宫课堂”科普活动中，同学们要做“太空种子培育箱”。首先用176厘米长的铝合金条搭建一个长方体框架（接头忽略不计），长、宽、高之比为5∶4∶2，再在框架表面钉上一层铁皮，做这个培育箱至少需要铁皮多少平方厘米？ 【答案】 1216平方厘米 【分析】首先根据长方体棱长总和公式“棱长总和长宽高”，求出长、宽、高的和；然后利用按比例分配的方法，根据长、宽、高的比求出长、宽、高的具体数值；最后代入长方体表面积公式“表面积长宽长高宽高”进行计算。 【详解】长方体长、宽、高的和：（厘米） 总份数： 长方体的长：（厘米） 长方体的宽：（厘米） 长方体的高：（厘米） 长方体的表面积： （平方厘米） 答：做这个培育箱至少需要铁皮1216平方厘米。 11．学校组织四、五、六年级的同学参加“助力乡村振兴”螺蛳粉特产义卖活动，五年级卖了120盒螺蛳粉。四年级与五年级卖出的盒数比是3∶4，六年级卖出的盒数比四年级卖出的盒数的2倍少30盒。六年级卖了多少盒？ 【答案】150盒 【分析】四年级与五年级卖出的盒数比是3∶4，把五年级卖出的盒数看作4份，共120盒，先计算出1份是多少盒，再乘3就可以得到四年级卖出的盒数。 再用四年级卖出的盒数乘2再减去30，就得到六年级卖出的盒数。 【详解】120÷4×3＝90（盒） 90×2－30 ＝180－30 ＝150（盒） 答：六年级卖了150盒。 12．甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，相向而行，它们的速度比是4∶9；途中相遇后，两车继续前行，甲车再行驶37.5千米到达两地中点。A、B两地相距多少千米？ 【答案】 195 千米 【分析】因为两车同时出发到相遇时行驶时间相同，所以相遇时两车的路程比等于速度比； 首先用相遇时甲行驶路程对应的份数除以总路程对应份数求出相遇时甲车行驶了全程的占比； 因为相遇后甲车再行驶37.5千米到达中点，所以37.5千米对应的是总路程的与相遇时甲行驶路程占比的差值。 用37.5千米除以它对应的总路程占比的差值，就可以求出A、B两地的总距离。 【详解】 （千米） 答：A、B两地相距195千米。 13．甲、乙两校原有图书数的比是7∶5，如果甲校给乙校780本，甲、乙两校图书数的比变为3∶4，求原来甲校有图书多少本？ 【答案】2940本 【分析】甲校给乙校图书，两校图书总数不变，将总数看作单位“1”。原来甲校图书本数占总数的，后来甲校图书本数占总数的。甲校减少的780本对应总分率的差，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”先求出图书总数，再用图书总数乘原来甲校所占分率即可求出原来甲校图书本数。 【详解】原来甲校占总数的分率： 后来甲校占总数的分率： 两校图书总数： （本） 原来甲校有图书：（本） 答：原来甲校有图书 2940 本。 C思维拓展 14．甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，2小时后相遇，已知客车和货车的速度比是5∶4，客车每小时行多少千米？ 【答案】100千米/小时 【分析】先根据相遇问题的公式：速度和＝总路程÷相遇时间，求出客车与货车的速度和；已知两车的速度比，可以把速度和看作5＋4＝9份，其中客车速度占5份，用速度和乘客车速度所占的比例，即可求出客车的速度。 【详解】求两车速度和：360÷2＝180（千米/小时） 又因为5＋4＝9 客车速度占速度和的， 所以：180×＝100（千米/小时） 答：客车每小时行100千米。 15．乐乐参加户外探险活动，徒步路线分为上坡、下坡和平地三部分。已知上坡路段占全程的下坡路段与平地路段的长度比为3∶4，全程共28千米。那么平地路段是多少千米？ 【答案】12千米 【分析】把全程看作单位“1”。已知上坡路段占全程的，则下坡和平地路段共占全程的；已知下坡路段与平地路段的长度比为，说明在下坡和平地路段的总长度中，平地路段占。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，先用全程长度乘下坡和平地路段占全程的分率，求出这两部分的总长度，再乘平地路段占这两部分的分率，即可求出平地路段的长度。 【详解】 （千米） 答：平地路段是千米。 16．果园里有三种果树，其中桃树的棵数占，梨树的棵数与杨梅树的棵数的比是3∶5，已知杨梅树有60棵，求果园里共有果树多少棵？ 【答案】144棵 【分析】把果园里三种果树的总棵数看作单位“1”。桃树占，则梨树和杨梅树共占全部的。已知梨树与杨梅树的比是，根据按比例分配的意义，杨梅树占梨树和杨梅树总和的。由此可求出杨梅树占全部果树的分率，已知杨梅树有60棵，根据分数除法的意义，用杨梅树的棵数除以其对应的分率即可求出总棵数。 【详解】60÷[（1－）×] ＝60÷[] ＝60÷ ＝144（棵） 答：果园里共有果树144棵。 17．《中华人民共和国国旗法》规定：国旗的长与宽的比是3∶2，国旗的通用尺度规定为五种，各界酌情选用。如果某小学选用的国旗长是288厘米，那么宽应该是多少厘米？ 【答案】192厘米 【分析】国旗的长与宽的比是3∶2，根据国旗的长先求出比中每份的长度，再乘宽的长度对应的份数，即可求得国旗的宽。 【详解】288÷3×2 ＝96×2 ＝192（厘米） 答：宽应该是192厘米。 18．高速公路建设需要的混凝土是由碎石、水泥、砂、水、外加剂等多种材料混合而成。因强度等级和设计要求不同，混凝土中各种材料的配比也有差异。如果现在配制混凝土需要碎石和水泥共144吨，碎石和水泥的比是，这两种材料各需要多少吨？ 【答案】 碎石108吨，水泥36吨 【分析】因为碎石和水泥的比是，所以碎石占总质量的，水泥占总质量的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算出两种材料的质量。 【详解】 （吨） （吨） 答：碎石需要108吨，水泥需要36吨。 19．一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要36天，丙单独完成需要48天。现在甲、乙、丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为1∶2，乙、丙工作的天数比为3∶5，完成这项工作一共用了几天？ 【答案】38天 【分析】把总工作量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，算出甲、乙、丙的工作效率。根据甲、乙工作的天数比和乙、丙工作的天数比算出3人工作天数的比。再设每份天数是天，根据3人完成的工作量之和等于总工作量列方程解决。 【详解】1÷24＝ 1÷36＝ 1÷48＝ 1∶2＝（1×3）∶（2×3）＝3∶6 3∶5＝（3×2）∶（5×2）＝6∶10 甲、乙、丙工作的天数比是3∶6∶10 解：设每份天数是天。 ×3＋×6＋×10＝1 2×3＋2×6＋2×10 ＝6＋12＋20 ＝38（天） 答：完成这项工作一共用了38天。 20．在“电商赋能振兴乡村”活动中，某镇帮助农户线上销售一批水果，第一次售出总量的。第二次售出的与总量的比是3∶8。已知这批水果共80吨，一共销售多少吨？ 【答案】62吨 【分析】把这批水果的总量看作单位“1”，根据题意，第一次售出总量的，第二次售出的与总量的比是3∶8，即第二次售出总量的，用水果的总重量分别乘第一次和第二次售出的分率，再求出它们的和，即可解答。 【详解】80×＋80× ＝32＋30 ＝62（吨） 答：一共销售62吨。 21．王阿姨筹备三项乡村助农公益活动，一共花费9900元。第二项活动经费与第一项活动经费的比是；第三项活动经费是前两项活动经费总和的。请问第一项公益活动需要花费多少元？ 【答案】5500元 【分析】先根据“第三项活动经费是前两项活动经费总和的”，把前两项活动经费总和看作单位“1”，则总经费相当于前两项总和的 ，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，求出前两项活动经费总和。然后根据第二项与第一项的活动经费比，确定第一项活动经费占前两项总和的分率，利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法”求出第一项活动经费。 【详解】前两项活动经费总和： （元） 第一项活动经费： （元） 答：第一项公益活动需要花费5500元。 22．一个旅游景点去年接待游客约196万人。第一、二季度接待游客人数是全年的，第三季度与第四季度接待游客人数的比是9∶7。第三季度接待游客多少万人？ 【答案】63万人 【分析】把去年全年接待游客人数看作单位“1”，第一、二季度接待游客人数是全年的，则第三、四季度接待游客占全年的（1－），用去年全年接待游客人数乘（1－）就是第三、四季度接待游客的人数。再根据第三、四季度接待游客的人数比，将第三、四季度接待游客的人数平均分成（9＋7）份，用一份的数量乘第三季度占的9份即可求出第三季度接待游客的数量 【详解】196×（1－） ＝196× ＝112（万人） 112÷（9＋7）×9 ＝112÷16×9 ＝7×9 ＝63（万人） 答：第三季度接待游客63万人。 23．《考工记》是我国春秋战国时期的一部文献，记述了官营手工业各个工种的设计规范和制造工艺。搏（bó）是当时的一种重要农具，制造搏所需铜和锡的比是5∶1，如果制造一件搏需要锡820克，那么需要铜多少千克？ 【答案】 4.1千克 【分析】根据题意，把需要铜的质量看作5份，所需锡的质量看作1份，已知制造一件搏需要锡820克，用锡的质量820克除以锡的质量对应的份数，求出一份量是多少克，再乘铜的质量对应的份数，即可求出需要铜多少克，最后进行单位换算即可。 【详解】820÷1×5 ＝820×5 ＝4100（克） 4100克＝4.1千克 答：需要铜4.1千克。 24．客车和货车同时从甲乙两地的中间向相反的方向行驶，4小时后，客车到达甲地，货车距离乙地还有120千米。已知货车和客车的速度比是5∶7，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】840千米 【分析】根据货车与客车的速度比5∶7，那么相同时间内货车与客车所行路程的比也是5∶7，即货车行驶的路程是客车的。把客车行的路程看作单位“1”，客车到达甲地时，货车行驶的路程是客车的，也就是全程一半的，还剩下全程一半的（1-），120千米除以（1-），即可算出全程的一半是多少千米，再乘2即可求出全程。 【详解】 （千米） 答：甲乙两地相距840千米。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 比 1. 比的意义与各部分名称： ---- 两个数相除又叫做两个数的比。比表示两个数量之间的倍比关系。在 a:b 中，a 是比的前项，':' 是比号，b 是比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。 2. 比、分数与除法的关系： ---- 比的前项相当于分数的分子、除法的被除数；比号相当于分数的分数线、除法的除号；比的后项相当于分数的分母、除法的除数 3. 比的基本性质： ---- 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的依据。 4. 按比例分配问题（归一法）： ---- 已知总量和各部分的比，求各部分量。归一法步骤：① 求出总份数（各部分份数相加）；② 用总量 ÷ 总份数 = 每份的数量；③ 用每份的数量分别乘各部分对应的份数，求出各部分量。 5. 按比例分配问题（分数法）： ---- 分数法步骤：① 求出总份数；② 分别求出各部分量占总数量的几分之几（各部分份数 ÷ 总份数）；③ 用总数量 × 各部分对应分率 = 各部分量。 6. 已知一个部分量，按比例分配求另一个部分量： ---- 题目不是给总量，而是给其中一个部分量和比，求另一个部分量或总量。解题方法：① 归一法：先看已知量对应几份，求出每份是多少，再求其他部分或总量。② 分数法：已知量 ÷ 已知量占总量的分率 = 总量，再用总量 × 另一部分的分率 = 另一部分量。也可以用比例的基本性质：内项积等于外项积，设未知量为 x，列比例解答。 类型 1 比的意义与求比值 典型例题 1：学校体育室有篮球 20 个，足球 16 个。篮球和足球个数的比是多少？比值是多少？ 【分析】比由前项、比号和后项组成，写比时要注意顺序。本题问的是篮球和足球个数的比，所以篮球个数作前项，足球个数作后项。求比值用前项除以后项。 【变式训练】六（1）班有男生 25 人，女生 20 人。女生人数和全班人数的比是多少？比值是多少？ 类型 2 按比例分配（已知总量求各部分） 典型例题 2：配制一种农药，药粉和水的质量比是 1:500。现有这种农药 3006 克，药粉和水各有多少克？ 【分析】这是已知总量和各部分比求各部分量的按比例分配问题。药粉占 1 份，水占 500 份，总共 501 份。可以用归一法先求 1 份，再求各部分；也可以用分数法，药粉占总量的 ，水占 。 【变式训练】学校把 240 棵树苗按 3:5 的比分给五、六年级同学栽种，五、六年级各栽多少棵？ 类型 3 已知一个部分量，求另一个部分量或总量 典型例题 3：果园里苹果树和梨树棵数的比是 5:3，已知梨树有 120 棵，苹果树有多少棵？ 【分析】梨树对应 3 份，是 120 棵，可先求出每份多少棵，再求 5 份对应的苹果树棵数。也可以用分数法：苹果树是梨树的 ，用 120 × 。 【变式训练】一种药水是按药和水 1:100 配制的，现在有 5 克药粉，能配制这种药水多少克？ 类型 4 已知差与比，求各部分 典型例题 4：小明和小红集邮张数的比是 7:4，小明比小红多 30 张。两人各集邮多少张？ 【分析】小明比小红多 7-4=3 份，对应 30 张，先求出 1 份是多少，再分别求 7 份和 4 份的数量。这是按比例分配中"已知差求各量"的类型，解题关键是找到差对应的份数。 【变式训练】甲、乙两数的比是 5:3，乙数比甲数少 18，甲数是多少？ 类型 5 按比例分配在几何中的应用 典型例题 5：一个长方形的周长是 48 厘米，长和宽的比是 5:3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】长方形周长 = 2 ×（长+宽），所以先求长+宽的和，再按 5:3 分配求出长和宽，最后计算面积。注意：周长对应的是 2 长 + 2 宽 = 2(长+宽)，不能直接用 48 按 5:3 分配。 【变式训练】一个三角形三个内角度数的比是 2:3:4，这是一个什么三角形？ 类型 6 比的综合应用 典型例题 6：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行路程的比是 4:3。相遇后甲车继续以原速前进，乙车每小时比原来多行 35 千米，结果两车同时到达对方出发地。甲车每小时行多少千米？ 【分析】相遇时路程比是 4:3，说明速度比也是 4:3（因为时间相同，路程比等于速度比）。相遇后甲走原来乙走的 3 份路程，乙走原来甲走的 4 份路程，同时到达说明时间相同。相遇后甲乙路程比 = 3:4，所以速度比也应该是 3:4。设甲速为 4x，乙原来速度为 3x，相遇后乙速为 3x+35，甲乙速度比 = 4x:(3x+35) = 3:4，列比例求解。 【变式训练】加工一批零件，甲单独做要 6 小时，乙单独做要 8 小时。甲、乙工作效率的比是多少？ A夯实基础 1．中国春秋战国时期的《考工记》是世界上第一部关于手工艺的科技著作。聪聪在阅读时了解到：制作一件农具“镈”，所需铜和锡的质量比是5∶1，现要制作一件质量是9840克的“镈”需要铜多少克？ 2．扎染古称“绞缬（xié）”，起源于中国黄河流域。早在秦汉时期就有扎染制品的出现，云南大理白族扎染技艺、四川自贡扎染技艺先后被列入国家非物质文化遗产，丽丽要按颜料和水为5∶7的比例配制1200克染料液，分别需要颜料和水各多少克？ 3．灵儿有个长方体饰品收纳箱，棱长总和是108厘米，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个收纳箱的体积是多少立方厘米？ 4．李叔叔直播销售三种水果，销量提高至8000千克。已知桔子、苹果、柿子的重量比是1∶4∶5，现在销量中苹果有多少千克？ 5．用一根长96分米的铁丝围成一个长方体框架，已知长方体长、宽、高的比是3∶2∶1，围成的长方体的体积是多少立方分米？ 6．时光小区有540户住户，其中参加垃圾分类的户数与没参加垃圾分类户数的比是7∶2，参加垃圾分类的户数比没参加垃圾分类的多多少户？ 7．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每时行60千米，乙车每时行45千米。当甲车行驶了全程的时，两车还相距150千米。则A、B两地相距多少千米？ B培优拔高 8．小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了18页，第一天与第二天看的页数比是2∶3，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 9．园林工人在一条路的两旁植树，每天种40棵。3天后，已种的棵树与总棵树的比是2∶5。这批树苗一共有多少棵？ 10．在“天宫课堂”科普活动中，同学们要做“太空种子培育箱”。首先用176厘米长的铝合金条搭建一个长方体框架（接头忽略不计），长、宽、高之比为5∶4∶2，再在框架表面钉上一层铁皮，做这个培育箱至少需要铁皮多少平方厘米？ 11．学校组织四、五、六年级的同学参加“助力乡村振兴”螺蛳粉特产义卖活动，五年级卖了120盒螺蛳粉。四年级与五年级卖出的盒数比是3∶4，六年级卖出的盒数比四年级卖出的盒数的2倍少30盒。六年级卖了多少盒？ 12．甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，相向而行，它们的速度比是4∶9；途中相遇后，两车继续前行，甲车再行驶37.5千米到达两地中点。A、B两地相距多少千米？ 13．甲、乙两校原有图书数的比是7∶5，如果甲校给乙校780本，甲、乙两校图书数的比变为3∶4，求原来甲校有图书多少本？ C思维拓展 14．甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，2小时后相遇，已知客车和货车的速度比是5∶4，客车每小时行多少千米？ 15．乐乐参加户外探险活动，徒步路线分为上坡、下坡和平地三部分。已知上坡路段占全程的下坡路段与平地路段的长度比为3∶4，全程共28千米。那么平地路段是多少千米？ 16．果园里有三种果树，其中桃树的棵数占，梨树的棵数与杨梅树的棵数的比是3∶5，已知杨梅树有60棵，求果园里共有果树多少棵？ 17．《中华人民共和国国旗法》规定：国旗的长与宽的比是3∶2，国旗的通用尺度规定为五种，各界酌情选用。如果某小学选用的国旗长是288厘米，那么宽应该是多少厘米？ 18．高速公路建设需要的混凝土是由碎石、水泥、砂、水、外加剂等多种材料混合而成。因强度等级和设计要求不同，混凝土中各种材料的配比也有差异。如果现在配制混凝土需要碎石和水泥共144吨，碎石和水泥的比是，这两种材料各需要多少吨？ 19．一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要36天，丙单独完成需要48天。现在甲、乙、丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为1∶2，乙、丙工作的天数比为3∶5，完成这项工作一共用了几天？ 20．在“电商赋能振兴乡村”活动中，某镇帮助农户线上销售一批水果，第一次售出总量的。第二次售出的与总量的比是3∶8。已知这批水果共80吨，一共销售多少吨？ 21．王阿姨筹备三项乡村助农公益活动，一共花费9900元。第二项活动经费与第一项活动经费的比是；第三项活动经费是前两项活动经费总和的。请问第一项公益活动需要花费多少元？ 22．一个旅游景点去年接待游客约196万人。第一、二季度接待游客人数是全年的，第三季度与第四季度接待游客人数的比是9∶7。第三季度接待游客多少万人？ 23．《考工记》是我国春秋战国时期的一部文献，记述了官营手工业各个工种的设计规范和制造工艺。搏（bó）是当时的一种重要农具，制造搏所需铜和锡的比是5∶1，如果制造一件搏需要锡820克，那么需要铜多少千克？ 24．客车和货车同时从甲乙两地的中间向相反的方向行驶，4小时后，客车到达甲地，货车距离乙地还有120千米。已知货车和客车的速度比是5∶7，甲乙两地相距多少千米？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $