第二单元 分数除法 （解决问题讲义）数学青岛版六年级上册（新教材）

该小学数学分数除法单元复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，从分数除法的意义与计算法则出发，逐步延伸到基础应用、和差倍问题、乘除混合及工程问题，突出转化思想和单位“1”判断等重难点，呈现知识递进脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，A/B/C级题满足不同学生需求，典型例题如“已知一个数的几分之几是多少求这个数”结合变式训练，培养运算能力与推理意识。工程问题建模体现数学语言应用，方程与算术法对比助力学生理解，支持自主复习与教师精准教学。

第二单元 分数除法 1. 分数除法的意义与计算基础： ---- 分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。即：a ÷ b = a × 1/b（b≠0）。除以一个数等于乘这个数的倒数，这是分数除法最核心的转化思想，把除法转化为乘法来计算。 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： ---- 这是分数除法最基本的应用题型。解题关键：找准单位"1"，单位"1"未知时用除法。数量关系：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量。也可以用方程法：设单位"1"的量为x，根据等量关系"单位1的量 × 对应分率 = 对应量"列方程解答。算术法和方程法各有优势，方程法思路更顺，算术法更简洁。 3. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数： ---- 单位"1"未知，用除法。解题步骤：① 找准单位"1"；② 分析已知量对应单位"1"的几分之几（多就用1＋几分之几，少就用1－几分之几）；③ 用已知量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量。 4. 和倍与差倍的分数除法问题： ---- 题目中有两个未知量，已知它们的和（或差）以及分率关系。解题方法：① 设单位"1"的量为x，另一个量用含x的式子表示；② 根据"和"或"差"的关系列方程；③ 解方程求出单位"1"的量，再求另一个量。也可以用算术法：和 ÷ (1 + 分率) = 单位"1"的量，差 ÷ (1 - 分率) = 单位"1"的量。关键是找到和（或差）对应的分率。 5. 分数乘除混合解决问题： ---- 题目中既有乘法又有除法，单位"1"在变化。解题策略：逐句分析，先判断每一步的单位"1"是谁，单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法。可以从问题出发倒推，也可以从条件出发顺推。注意：每一步都要确认单位"1"是否相同，不同的单位"1"的分率不能直接相加减。 类型 1 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 典型例题 1：果园里有苹果树 120 棵，是梨树棵数的 ，梨树有多少棵？ 【分析】由题意可知，把梨树的总棵数看作单位"1"，单位"1"未知。苹果树的棵数对应梨树棵数的 ，根据"对应量 ÷ 对应分率 = 单位‘1’的量"，用苹果树的棵数除以 ，即可求出梨树的棵数；也可以通过列方程解答。 【变式训练】小明读一本故事书，已经读了 80 页，正好是全书总页数的 ，这本书一共有多少页？ 类型 2 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 典型例题 2：某商场这个月的营业额是 36 万元，比上个月的营业额增加了 ，上个月的营业额是多少万元？ 【分析】把上个月的营业额看作单位"1"，单位"1"未知。这个月的营业额是上个月的（1 + ），对应量为 36 万元。用对应量除以对应分率，即可求出单位"1"的量，也就是上个月的营业额。也可以列方程解答。 【变式训练】一款羽绒服换季促销后现价是 500 元，比原价降低了 ，这款羽绒服的原价是多少元？ 类型 3 和倍与差倍的分数除法问题 典型例题 3：六年级一班一共有 45 名学生，其中男生人数是女生人数的 ，男生和女生各有多少人？ 【分析】本题包含两个未知量，已知总人数和男女生的分率关系。把女生人数看作单位"1"，设女生人数为 x 人，男生人数就是 x 人，根据"男生人数 + 女生人数 = 总人数"列方程求解；也可以用总人数除以对应总分率先求出单位"1"（女生人数）。 【变式训练】小明的零花钱比小红多 30 元，小红的零花钱是小明的 ，小明和小红各有多少元零花钱？ 类型 4 分数乘除混合解决问题 典型例题 4：果园里有苹果树 240 棵，梨树的棵数是苹果树的 ，同时又是桃树的 ，桃树有多少棵？ 【分析】本题有两个分率，单位"1"不同。梨树和苹果树比，单位"1"是苹果树（已知），用乘法求梨树；梨树和桃树比，单位"1"是桃树（未知），用除法求桃树。先乘后除，关键是理清每一步的单位"1"。 【变式训练】六（1）班有男生 24 人，女生人数是男生的 ，女生人数正好是全班人数的 。六（1）班共有多少人？ 类型 5 工程问题 典型例题 5：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【分析】这是典型的工程问题。把工作总量看作单位"1"，甲队每天完成总量的 （即甲的工作效率），乙队每天完成总量的 （即乙的工作效率）。两队合作的工作效率是两队效率之和。工作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率。 【变式训练】一批货物，甲车单独运 6 次运完，乙车单独运 8 次运完。两车合运，几次可以运完这批货物的 ？ A夯实基础 1．修一条公路，甲、乙两队合作12天能完成工程，先两队合作6天，剩下的工作量由乙队单独做15天收尾，甲单独做这项工程需要多少天完成？ 2．学校用一笔钱去买课桌椅，只买课桌可以买60张，只买椅子可以买90把，如果一张课桌和一把椅子为一套，那么这笔钱可以买多少套课桌椅？ 3．一条捕鱼船在某一个月捕鱼32吨，已知下半月比上半月多捕鱼，你能求出上半月捕鱼多少吨吗？ 4．动物心跳的快慢和体重是有关系的，体重越重，心跳越慢。老鼠每分心跳约500次，约是猫每分心跳次数的，大象每分心跳的次数约是老鼠的。 (1)猫每分心跳约多少次？ (2)大象每分心跳约多少次？ 5．端午节有赛龙舟的习俗，一艘龙舟正在赛道上进行训练，已经行驶了全程的，这时距离终点还有960米，这条赛道长多少米？ 6．一天，某特产店的苹果礼盒销量是葡萄礼盒的，苹果礼盒的销量是酥梨礼盒的。已知葡萄礼盒卖出30箱，酥梨礼盒卖出多少箱？ B培优拔高 7．甲、乙两地间的公路长440千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 8．张叔叔和李叔叔两人同时出发相约到某银行办理业务。张叔叔家到银行的距离是李叔叔家到银行距离的，当张叔叔行了400米时停下来与李叔叔通电话，请根据下面的通话内容算出张叔叔家到银行的距离。 张：小李，你到哪了？ 李：我到图书馆了，已经走了全程的。 张：我查导航，现在我们剩下的路程是一样的！ 9．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行33千米，相遇时乙车行了全程的，已知乙车行完全程需要8小时，求AB两地的路程。 10．某工地有三支队伍进行施工、甲施工队人数占三支队伍总人数的，如果从乙施工队中调出32人到甲施工队、每支队伍的人数就相等了。三个施工队共有多少人？ 11．改造信阳乡村公路，甲乙两队合作8天可以完成，若甲队单独做需12天完成。两队合作4天后，甲队临时撤离，剩下的工程由乙队单独完成，乙队还需要多少天？ 12．北斗卫星导航系统是我国自主研制的卫星导航系统。截至2024年9月，我国已成功发射60颗北斗导航卫星，比全球定位系统（GPS）卫星数量的还多4颗。全球定位系统（GPS）有多少颗卫星？（列方程解答） 13．星期天晚餐的饺子是笑笑和妈妈两个人一起包的，笑笑数了数，自己包了30个，只占了饺子总数的，笑笑和妈妈一共包了多少个饺子？ C思维拓展 14．小林在学校图书馆借了一本书，他3天读了这本书的，如果再读28页，就正好读了这本书的。这本书共有多少页？（用方程解答） 15．农历五月初五是我国的“端午节”。“端午节”不仅是中国几大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的传统节日，全国各地有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、纪念屈原等习俗。端午这天，爸爸妈妈一共给了小明75元去买粽子，在采购过程中，妈妈给的钱花了，爸爸给的钱花了，最后还剩下20元。爸爸和妈妈分别给了小明多少钱？ 16．六年级同学参加课外兴趣小组，如果把舞蹈小组的15人调去合唱小组，这时合唱小组的人数正好是舞蹈小组的。合唱小组原来有45人，舞蹈小组原来有多少人？ 17．李叔叔开车回家过端午节，为了防止疲劳驾驶，行驶到全程的处第一次进入服务区休息，第二次又行驶了全程的后进入服务区休息，最后再行驶280千米就到家了。李叔叔开车一共行驶了多少千米？（列方程解答） 18．城固元胡是城固县的一种著名中药材，因其量大质优而闻名全国。某农户收获的元胡，第一次售出总量的，第二次售出总量的，第二次比第一次多售出75千克。该农户收获的元胡共有多少千克？ 19．制瓷师傅制作一件瓷器需经过“制胎——施釉——烧制”三个阶段，其中制胎阶段所用时间占，施釉阶段所用时间占，烧制阶段用了12天，制作这件瓷器共用了多少天？ 20．自双减政策实施以来，学校规定5～6年级的学生完成课后作业用时不得超过1小时，聪聪放学以后，回到家完成语文和数学作业共用了45分钟，其中完成数学作业用时是语文作业用时的，完成语文、数学作业各用了多长时间？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 分数除法 1. 分数除法的意义与计算基础： ---- 分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。即：a ÷ b = a × 1/b（b≠0）。除以一个数等于乘这个数的倒数，这是分数除法最核心的转化思想，把除法转化为乘法来计算。 2. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： ---- 这是分数除法最基本的应用题型。解题关键：找准单位"1"，单位"1"未知时用除法。数量关系：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量。也可以用方程法：设单位"1"的量为x，根据等量关系"单位1的量 × 对应分率 = 对应量"列方程解答。算术法和方程法各有优势，方程法思路更顺，算术法更简洁。 3. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数： ---- 单位"1"未知，用除法。解题步骤：① 找准单位"1"；② 分析已知量对应单位"1"的几分之几（多就用1＋几分之几，少就用1－几分之几）；③ 用已知量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量。 4. 和倍与差倍的分数除法问题： ---- 题目中有两个未知量，已知它们的和（或差）以及分率关系。解题方法：① 设单位"1"的量为x，另一个量用含x的式子表示；② 根据"和"或"差"的关系列方程；③ 解方程求出单位"1"的量，再求另一个量。也可以用算术法：和 ÷ (1 + 分率) = 单位"1"的量，差 ÷ (1 - 分率) = 单位"1"的量。关键是找到和（或差）对应的分率。 5. 分数乘除混合解决问题： ---- 题目中既有乘法又有除法，单位"1"在变化。解题策略：逐句分析，先判断每一步的单位"1"是谁，单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法。可以从问题出发倒推，也可以从条件出发顺推。注意：每一步都要确认单位"1"是否相同，不同的单位"1"的分率不能直接相加减。 类型 1 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 典型例题 1：果园里有苹果树 120 棵，是梨树棵数的 ，梨树有多少棵？ 【分析】由题意可知，把梨树的总棵数看作单位"1"，单位"1"未知。苹果树的棵数对应梨树棵数的 ，根据"对应量 ÷ 对应分率 = 单位‘1’的量"，用苹果树的棵数除以 ，即可求出梨树的棵数；也可以通过列方程解答。 【答案】160 棵 【详解】 方法一：算术法 单位"1"是梨树棵数，对应量为 120 棵，对应分率为 120 ÷ = 120 × = 160（棵） 方法二：方程法 解：设梨树有 x 棵。 x = 120 x = 120 ÷ x = 160 答：梨树有 160 棵。 【变式训练】小明读一本故事书，已经读了 80 页，正好是全书总页数的 ，这本书一共有多少页？ 【答案】200 页 【详解】单位"1"是全书总页数，未知。对应量 80 页对应分率 。80 ÷ = 80 × = 200（页）。答：这本书一共有 200 页。 类型 2 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 典型例题 2：某商场这个月的营业额是 36 万元，比上个月的营业额增加了 ，上个月的营业额是多少万元？ 【分析】把上个月的营业额看作单位"1"，单位"1"未知。这个月的营业额是上个月的（1 + ），对应量为 36 万元。用对应量除以对应分率，即可求出单位"1"的量，也就是上个月的营业额。也可以列方程解答。 【答案】30 万元 【详解】 方法一：算术法 这个月营业额对应上月的分率：1 + = 上月营业额：36 ÷ = 36 × = 30（万元） 方法二：方程法 解：设上个月的营业额是 x 万元。 (1 + )x = 36 x = 36 x = 36 ÷ x = 30 答：上个月的营业额是 30 万元。 【变式训练】一款羽绒服换季促销后现价是 500 元，比原价降低了 ，这款羽绒服的原价是多少元？ 【答案】800 元 【详解】单位"1"是原价。现价是原价的 1 - = ，对应量 500 元。原价：500 ÷ = 500 × = 800（元）。答：这款羽绒服的原价是 800 元。 类型 3 和倍与差倍的分数除法问题 典型例题 3：六年级一班一共有 45 名学生，其中男生人数是女生人数的 ，男生和女生各有多少人？ 【分析】本题包含两个未知量，已知总人数和男女生的分率关系。把女生人数看作单位"1"，设女生人数为 x 人，男生人数就是 x 人，根据"男生人数 + 女生人数 = 总人数"列方程求解；也可以用总人数除以对应总分率先求出单位"1"（女生人数）。 【答案】男生 20 人，女生 25 人 【详解】 方法一：方程法 解：设女生有 x 人，则男生有 x 人。 x + x = 45 x = 45 x = 45 ÷ x = 25 男生人数： × 25 = 20（人） 方法二：算术法 总人数对应女生人数的分率：1 + = 女生人数：45 ÷ = 25（人） 男生人数：45 - 25 = 20（人） 答：男生有 20 人，女生有 25 人。 【变式训练】小明的零花钱比小红多 30 元，小红的零花钱是小明的 ，小明和小红各有多少元零花钱？ 【答案】小明 90 元，小红 60 元 【详解】把小明的零花钱看作单位"1"，小红比小明少 1 - = ，对应 30 元。小明的零花钱：30 ÷ = 90（元）。小红的零花钱：90 × = 60（元）。答：小明有 90 元零花钱，小红有 60 元零花钱。 类型 4 分数乘除混合解决问题 典型例题 4：果园里有苹果树 240 棵，梨树的棵数是苹果树的 ，同时又是桃树的 ，桃树有多少棵？ 【分析】本题有两个分率，单位"1"不同。梨树和苹果树比，单位"1"是苹果树（已知），用乘法求梨树；梨树和桃树比，单位"1"是桃树（未知），用除法求桃树。先乘后除，关键是理清每一步的单位"1"。 【答案】300 棵 【详解】 第一步：求梨树的棵数（单位"1"是苹果树，已知，用乘法） 240 × = 200（棵） 第二步：求桃树的棵数（单位"1"是桃树，未知，用除法） 梨树是桃树的 ，所以桃树 = 梨树 ÷ 200 ÷ = 200 × = 300（棵） 综合算式：240 × ÷ = 200 × = 300（棵） 答：桃树有 300 棵。 【变式训练】六（1）班有男生 24 人，女生人数是男生的 ，女生人数正好是全班人数的 。六（1）班共有多少人？ 【答案】44 人 【详解】先求女生人数：24 × = 20（人）。女生 20 人是全班的 ，全班人数 = 20 ÷ = 20 × = 44（人）。答：六（1）班共有 44 人。 类型 5 工程问题 典型例题 5：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【分析】这是典型的工程问题。把工作总量看作单位"1"，甲队每天完成总量的 （即甲的工作效率），乙队每天完成总量的 （即乙的工作效率）。两队合作的工作效率是两队效率之和。工作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率。 【答案】6 天 【详解】 甲队工作效率：1 ÷ 10 = 乙队工作效率：1 ÷ 15 = 两队合作效率： + = + = = 合作时间：1 ÷ = 6（天） 综合算式：1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 6（天） 答：两队合作 6 天可以完成。 【变式训练】一批货物，甲车单独运 6 次运完，乙车单独运 8 次运完。两车合运，几次可以运完这批货物的 ？ 【答案】3 次 【详解】甲每次运 ，乙每次运 。合运效率： + = + = 。运 需要： ÷ = × = 3（次）。答：3 次可以运完这批货物的 。 A夯实基础 1．修一条公路，甲、乙两队合作12天能完成工程，先两队合作6天，剩下的工作量由乙队单独做15天收尾，甲单独做这项工程需要多少天完成？ 【答案】20天 【分析】把这条公路的总工作量看作单位“1”。根据工作效率工作总量工作时间，求出甲乙两队合作的工作效率。先计算两队合作6天完成的工作量，进而求出剩余工作量。利用剩余工作量和乙队单独完成的时间，求出乙队的工作效率。再用合作效率减去乙队效率得到甲队效率，最后根据工作时间工作总量工作效率求甲队单独完成的时间。 【详解】甲乙两队合作的工作效率： 两队合作6天完成的工作量： 剩余工作量： 乙队的工作效率： 甲队的工作效率： 甲队单独完成需要的时间：（天） 答：甲单独做这项工程需要20天完成。 2．学校用一笔钱去买课桌椅，只买课桌可以买60张，只买椅子可以买90把，如果一张课桌和一把椅子为一套，那么这笔钱可以买多少套课桌椅？ 【答案】36套 【分析】把总钱数看作单位“1”，根据分数的意义分别求出单张课桌、单把椅子的价格占总钱数的分率，再用总钱数除以一套课桌椅的价格占比，得到可购买的套数。 【详解】将这笔钱的总数看作单位“1”。 每张课桌的价格占总钱数的： 每把椅子的价格占总钱数的： 一套课桌椅的价格占总钱数的： 可购买的套数：（套） 答：这笔钱可以买36套课桌椅。 3．一条捕鱼船在某一个月捕鱼32吨，已知下半月比上半月多捕鱼，你能求出上半月捕鱼多少吨吗？ 【答案】14吨 【分析】把上半月捕鱼量看作单位“1”，先求出全月捕鱼量对应的分率，再用这个月捕鱼总量除以该分率，即可得到上半月的捕鱼量。 【详解】1＋ ＝1＋ ＝ （吨） 答：上半月捕鱼14吨。 4．动物心跳的快慢和体重是有关系的，体重越重，心跳越慢。老鼠每分心跳约500次，约是猫每分心跳次数的，大象每分心跳的次数约是老鼠的。 (1)猫每分心跳约多少次？ (2)大象每分心跳约多少次？ 【答案】(1)200次 (2)40次 【分析】（1）根据题意“老鼠每分心跳约500次，约是猫每分心跳次数的”，把猫每分心跳次数看作单位“1”，单位“1”未知，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 （2）根据题意“大象每分心跳的次数约是老鼠的”，把老鼠每分心跳次数看作单位“1”，单位“1”已知，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】（1）500÷ ＝500× ＝200（次） 答：猫每分心跳约200次。 （2）500×＝40（次） 答：大象每分心跳约40次。 5．端午节有赛龙舟的习俗，一艘龙舟正在赛道上进行训练，已经行驶了全程的，这时距离终点还有960米，这条赛道长多少米？ 【答案】1200米 【分析】把赛道全程看作单位“1”，已经行驶了全程的，则剩下的路程占全程的。已知剩下的路程是 960 米，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即剩下的路程除以对应的分率等于全程。 【详解】 （米） 答：这条赛道长 1200 米。 6．一天，某特产店的苹果礼盒销量是葡萄礼盒的，苹果礼盒的销量是酥梨礼盒的。已知葡萄礼盒卖出30箱，酥梨礼盒卖出多少箱？ 【答案】35箱 【分析】把葡萄礼盒的销量看作单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用乘法计算求出苹果礼盒销量。再把酥梨礼盒的销量看作单位“1”，已知苹果礼盒销量及其对应分率，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】 （箱） 答：酥梨礼盒卖出35箱。 B培优拔高 7．甲、乙两地间的公路长440千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？ 【答案】280千米；160千米 【分析】本题是相遇问题，货车速度是客车的，两车同时出发、相向而行，相遇时所用时间相同，因此路程比等于速度比。我们可以把客车行驶的路程看作单位“1”，货车行驶的路程就是客车的，总路程就是客车路程的，据此先求出客车行驶的路程，再求货车行驶的路程。 【详解】客车行驶的路程： （千米） 货车行驶的路程： （千米） 答：相遇时客车行驶了280千米，货车行驶了160千米。 8．张叔叔和李叔叔两人同时出发相约到某银行办理业务。张叔叔家到银行的距离是李叔叔家到银行距离的，当张叔叔行了400米时停下来与李叔叔通电话，请根据下面的通话内容算出张叔叔家到银行的距离。 张：小李，你到哪了？ 李：我到图书馆了，已经走了全程的。 张：我查导航，现在我们剩下的路程是一样的！ 【答案】1000米 【分析】将剩下的路程设为未知数，根据李叔叔走了全程的，求出李叔叔剩下的路程占全程的分率即（1-），用含的式子表示出李叔叔的全程。张叔叔的全程可以用已行的400米加上剩下的路程表示。 根据张叔叔家到银行的距离是李叔叔家到银行距离的这一倍数关系列出方程求解。 【详解】李叔叔剩下的路程占全程的： 解：设两人剩下的路程是米，李叔叔家到银行的距离是：米，张叔叔家到银行的距离是：米。 张叔叔家到银行的距离：（米） 答：张叔叔家到银行的距离是1000米。 9．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行33千米，相遇时乙车行了全程的，已知乙车行完全程需要8小时，求AB两地的路程。 【答案】198千米 【分析】把全程看作单位“1”，相遇时乙车行了全程的，则甲车行了全程的。已知乙车行完全程需要8小时，根据分数乘法的意义，用乙车行完全程的时间乘相遇时乙车行的分率，可求出相遇时间。再根据“路程速度时间”求出相遇时甲车行的路程，最后根据分数除法的意义，用甲车行的路程除以其对应的分率，即可求出全程的路程。 【详解】 （千米） 答：AB两地的路程是198千米。 10．某工地有三支队伍进行施工、甲施工队人数占三支队伍总人数的，如果从乙施工队中调出32人到甲施工队、每支队伍的人数就相等了。三个施工队共有多少人？ 【答案】216人 【分析】把三支队伍的总人数看作单位“1”，调整后三支队伍人数相等，说明甲施工队人数变为总人数的。甲施工队原来的人数占总人数的，则32人相当于总人数的。根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝216（人） 答：三个施工队共有216人。 11．改造信阳乡村公路，甲乙两队合作8天可以完成，若甲队单独做需12天完成。两队合作4天后，甲队临时撤离，剩下的工程由乙队单独完成，乙队还需要多少天？ 【答案】12天 【分析】将这项工程的总量看作单位“1”。首先根据“工作效率工作总量工作时间”，分别求出甲乙两队合作的工作效率和甲队的工作效率，进而求出乙队的工作效率。然后求出两队合作4天完成的工作量，用单位“1”减去已完成的工作量得到剩下的工作量。最后根据“工作时间工作总量工作效率”，用剩下的工作量除以乙队的工作效率，即可求出乙队还需要的天数。 【详解】甲乙两队的工作效率之和：1÷8＝ 甲队的工作效率：1÷12＝ 乙队的工作效率： 两队合作4天后剩下的工作量： ＝ 乙队还需要的天数： （天） 答：乙队还需要12天。 12．北斗卫星导航系统是我国自主研制的卫星导航系统。截至2024年9月，我国已成功发射60颗北斗导航卫星，比全球定位系统（GPS）卫星数量的还多4颗。全球定位系统（GPS）有多少颗卫星？（列方程解答） 【答案】24颗 【分析】根据题意可知，全球定位系统（GPS）卫星数量是单位“1”，北斗卫星数量比GPS卫星数量的还多 4 颗。由此得出等量关系式：GPS卫星数量×＋4＝北斗卫星数量。已知北斗卫星数量为60颗，设GPS卫星数量为x颗，据此列出方程并求解。 【详解】解：设全球定位系统（GPS）有x颗卫星。 x＋4＝60 x＋4－4＝60－4 x＝56 x÷＝56÷ x＝56× x＝24 答：全球定位系统（GPS）有24颗卫星。 13．星期天晚餐的饺子是笑笑和妈妈两个人一起包的，笑笑数了数，自己包了30个，只占了饺子总数的，笑笑和妈妈一共包了多少个饺子？ 【答案】45个 【分析】把饺子总数看作单位“1”，笑笑包的数量是30个，对应的分率是。根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即对应量除以对应分率等于单位“1”的量。 【详解】30÷ ＝30× ＝45（个） 答：笑笑和妈妈一共包了45个饺子。 C思维拓展 14．小林在学校图书馆借了一本书，他3天读了这本书的，如果再读28页，就正好读了这本书的。这本书共有多少页？（用方程解答） 【答案】 页 【分析】已经读的页数加上页等于总页数的。设这本书共有页，则已经读了页。利用“已读页数页总页数的"这一等量关系列出方程求解即可。 【详解】解：设这本书共有页。 答：这本书共有页。 15．农历五月初五是我国的“端午节”。“端午节”不仅是中国几大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的传统节日，全国各地有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、纪念屈原等习俗。端午这天，爸爸妈妈一共给了小明75元去买粽子，在采购过程中，妈妈给的钱花了，爸爸给的钱花了，最后还剩下20元。爸爸和妈妈分别给了小明多少钱？ 【答案】爸爸给了60元；妈妈给了15元 【分析】根据题意，设爸爸给了小明元，爸爸妈妈一共给了小明75元，那么妈妈给了小明（75－）元，已知妈妈给的钱花了，爸爸给的钱花了，妈妈给的花了[×（75－）]元，爸爸给的钱花了，花了（75－20）元，根据妈妈给的钱数×＋爸爸给的钱数×＝总钱数－还剩的钱数，据此列方程求解即可。 【详解】解：设爸爸给了小明元。 ×75－＋＝55 50－＋＝55 50＋－＝55 50＋（－）－50＝55－50 ＝5 ＝5÷ ＝5×12 ＝60 75－60＝15（元） 答：爸爸给了小明60元，妈妈给了小明15元。 16．六年级同学参加课外兴趣小组，如果把舞蹈小组的15人调去合唱小组，这时合唱小组的人数正好是舞蹈小组的。合唱小组原来有45人，舞蹈小组原来有多少人？ 【答案】99人 【分析】把舞蹈小组的人数看作单位“1”。用45加上15求出现在合唱小组的人数，用现在合唱小组的人数除以，算出舞蹈小组现在的人数；再加上15人即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝84＋15 ＝99（人） 答：舞蹈小组原来有99人。 17．李叔叔开车回家过端午节，为了防止疲劳驾驶，行驶到全程的处第一次进入服务区休息，第二次又行驶了全程的后进入服务区休息，最后再行驶280千米就到家了。李叔叔开车一共行驶了多少千米？（列方程解答） 【答案】560 千米 【分析】把全程看作单位“1”，根据题意可知：第一次行驶的路程占全程的，第二次行驶的路程占全程的，剩下的路程是280千米。等量关系为：全程－（第一次行驶的路程＋第二次行驶的路程）＝剩下的路程。设全程为千米，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设李叔叔开车一共行驶了千米。 答：李叔叔开车一共行驶了 560 千米。 18．城固元胡是城固县的一种著名中药材，因其量大质优而闻名全国。某农户收获的元胡，第一次售出总量的，第二次售出总量的，第二次比第一次多售出75千克。该农户收获的元胡共有多少千克？ 【答案】 500千克 【分析】把该农户收获的元胡总量看作单位“1”。第一次售出总量的，第二次售出总量的，则第二次比第一次多售出总量的分率为。已知第二次比第一次多售出75千克，即75千克对应的分率是。根据分数除法的意义，用对应量除以对应分率即可求出单位“1”的量，即元胡的总质量。 【详解】 （千克） 答：该农户收获的元胡共有500千克。 19．制瓷师傅制作一件瓷器需经过“制胎——施釉——烧制”三个阶段，其中制胎阶段所用时间占，施釉阶段所用时间占，烧制阶段用了12天，制作这件瓷器共用了多少天？ 【答案】24天 【分析】把制作这件瓷器共用的天数看作单位“1”，则烧制阶段占（1－－），用除法计算，即可得制作这件瓷器共用了多少天。 【详解】12÷（1－－） ＝12÷ ＝24（天） 答：制作这件瓷器共用了24天。 20．自双减政策实施以来，学校规定5～6年级的学生完成课后作业用时不得超过1小时，聪聪放学以后，回到家完成语文和数学作业共用了45分钟，其中完成数学作业用时是语文作业用时的，完成语文、数学作业各用了多长时间？ 【答案】语文作业用时25分钟；数学作业用时20分钟 【分析】将完成语文作业的时间看成单位“1”，完成数学作业的时间是语文作业的，总用时45分钟，用即可求出完成语文作业的时间，用总时间减去完成语文作业的时间就是完成数学作业的时间。 【详解】语文作业完成时间是： （分钟） （分钟） 答：完成语文作业用了25分钟，完成数学作业用了20分钟。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $