精品解析：辽宁本溪市某校2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

高一数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到复数的虚部为， 故选：A. 2. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式可求得的值． 【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以，因为的终边在第一象限， 所以， 所以. 故选：A． 3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 若，满足且与同向，则 D. 对于任意向量，必有 【答案】D 【解析】 【分析】通过向量的模以及向量的基本概念，判断选项的正误即可． 【详解】平行向量是共线向量，故A错误； 单位向量的模相等，方向不一定相同，故B错误 向量不能比较大小，故C错误 设夹角为， ， 故，故D正确． 5. 在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，再根据正弦定理，可得，可得，由此即可求出角，进而求出结果. 【详解】在中， 所以， 所以， 由正弦定理可知，， 又， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题. 6. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将棱长为2的正四面体补形为正方体，如图所示： 则正方体的外接球即为正四面体的外接球， 设正方体的棱长为，则，解得， 设外接球的半径为，则可得，解得， 所以该球的半径为. 7. 的内角，，所对的边分别为，，，，，，则边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 因为所以， 所以. 由余弦定理，， 所以. 8. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线一定是异面直线 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】D 【解析】 【分析】若平面，可得，进而可判断A；由题意可得平面平面，进而可判断B；点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C；根据平面，可判断D. 【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. ，，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，A正确； 对B，根据面面平行的判定定理，条件中缺少直线，相交，没有这个条件，不能得到，故B错误； 对C，因为，所以平面与平面无公共点，又，所以与平面无公共点，即.故C正确； 对D，仅，，，无法得到.比如在时，也可以有，，.故D错误. 10. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最大值为2 C. 存在 ，使得 D. 的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量垂直、数量积、模长等公式，对四个选项依次分析即可得出结果. 【详解】对于A，，则，，，故A错误. 对于B，，故B正确. 对于C，时，则与同向，设，则， ，故C正确. 对于D，， 当，最大值为，最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ） A. A=2B B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，三角函数的恒等变换可将条件化为，结合角的范围可得，即可判断A；由题意可得范围，可得，即可判断B；由正弦定理，二倍角公式可得，结合的范围，利用余弦函数的性质即可判断C；利用三角函数的恒等变换可得，又，可得，令，则，由对勾函数性质即可判断D． 【详解】， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在，上单调递增， 又，（1）， ，，故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，向量，夹角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 14. 已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，可得平面即为所需截面，求出其周长即可. 【详解】如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使， 连接， 又分别是中点，， 又，，四边形为平行四边形， ，，平面， ，平面， 又，平面平面， 又平面ABC，，分别是的中点，， ， ，， ， 在中，，， ，， 所求截面的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据线面平行的性质得出截面与各棱的交点. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示．该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的面积得最小正周期，进而求出，根据图象经过点A求出，即可得出的解析式； （2）求出函数的表达式，得出，即可求出的值. 【小问1详解】 由题意， 的高为2，面积为， 即，可得，则， ∴，解得． ∵图象与y轴交于点， ∴，即， 又因为，所以． ∴． 【小问2详解】 由题意及（1）得， 将向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， ∴． 由可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． （1）证明：平面； （2）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 （2）存在点E， 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18. 如图，三棱锥中，，，，，，、、分别是、、的中点，点，分别在线段，上，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：、分别是、的中点， ， ，， ， ， 又平面，平面， 平面； （2）证明：，，，， 中，，由余弦定理得 ， 满足，， ，，． ，、平面，平面， ∵、分别是、的中点，， 平面， 平面， ∴平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据和得到，从而得到线面平行； （2）由余弦定理和勾股定理逆定理可得垂直关系，从而得到线面垂直，面面垂直； （3）由余弦定理可得为等边三角形，由等体积法和锥体体积公式进行求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， 在中，，， 在中，， 在中，，故， 又由（2）知，所以为等边三角形 在三棱锥中，由（2）知平面， 所以为三棱锥的高，， 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解； （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解. （3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解. 【小问1详解】 在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. 【小问2详解】 设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 平行向量不一定是共线向量 B. 单位向量都相等 C. 若，满足且与同向，则 D. 对于任意向量，必有 5. 在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 的内角，，所对的边分别为，，，，，，则边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线一定是异面直线 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 三棱锥的体积是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. ，，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最大值为2 C. 存在 ，使得 D. 的最大值为3 11. 锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（ ） A. A=2B B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，向量，夹角的余弦值为__________． 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 14. 已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示．该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的值． 16. 如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． （1）证明：平面； （2）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 如图，三棱锥中，，，，，，、、分别是、、的中点，点，分别在线段，上，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $