1.1.4 两条直线的平行与垂直 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的平行与垂直”，核心内容为利用斜率判定平行与垂直的条件及特殊情况处理。课堂通过飞机拉烟情境导入，结合倾斜角关系、斜率关系问题，衔接直线方程与斜率概念，搭建知识学习支架。 其亮点是“通性通法”总结与典型例题精研，融入数学运算与逻辑推理，如用斜率公式、韦达定理解决判定问题，通过自我诊断辨析易混点。助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

1.4　两条直线的平行与垂直 新课程标准解读 核心素养 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置 关系？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）若 l1∥ l2，则 l1， l2的斜率相等吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　（1）在平面直角坐标中，若 l1∥ l2，则它们的倾斜角α1与 α2有什么关系？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　两条直线平行与垂直 1. 对于两条不重合的直线 l1： y ＝ k1 x ＋ b1和 l2： y ＝ k2 x ＋ b2（其中 b1≠ b2）. （1） l1∥ l2⇔ ⁠； （2） l1⊥ l2⇔ ⁠. 2. 若直线 l1与直线 l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 ⁠的直 线，从而它们互相 ⁠. k1＝ k2　 k1 k2＝－1　 　 平行或重合　 3. 当 l1， l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0， 则 ⁠. l1⊥ l2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 1. 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 提示：不是，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在. 2. 对于两条不重合的直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0和 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2 ＝0，它们的法向量分别为 n1＝（ A1， B1）， n2＝（ A2， B2），能 利用它的法向量判断 l1和 l2平行或垂直吗？ 提示：能.当 n1∥ n2时， l1∥ l2；当 n1⊥ n2（ n1· n2＝0）时， l1⊥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. （　×　） （2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则这两条直线垂直. （　×　） （3）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线 平行. （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，则 l1与 l2的位置关系 是（　　） A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 解析：　设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2＝－1，所以 l1⊥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，则 a ＝（　　） A. 2 C. －2 解析：　∵直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，∴－ a ＝－ 2，∴ a ＝2.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. l1经过点 A （ m ，1）， B （－3，4）， l2经过点 C （0，2）， D （1，1），且 l1∥ l2，则 m ＝ ⁠. 解析：∵ l1∥ l2，且 k2＝ ＝－1，∴ k1＝ ＝－1，∴ m ＝0. 0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两条直线平行、垂直的判定 【例1】　判断下列各组直线平行还是垂直： （1） l1： y －2＝3（ x ＋1）， l2： y ＝3 x ； 解：设两条直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2， 在 y 轴上的截距分别为 b1， b2， 直线 l1的方程可化为 y ＝3 x ＋5， 所以 k1＝ k2＝3， b1≠ b2，故 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） l1： y ＝6 x －1， l2： y ＝－ x －1. 解：设两条直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2， 则由 l1， l2的方程可知 k1＝6， k2＝－ ， 因为 k1 k2＝6× ＝－1， 所以 l1⊥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 判断两条不重合直线是否平行的方法 在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是 否存在：若存在且相等，则两直线平行；若斜率都不存在，则两直 线平行. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于－ 1，但应注意当有一条直线与 x 轴垂直（斜率不存在），另一条直线 与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平 行”）. （1） l1： y ＝－2 x ＋1与 l2： x ＋2 y －1＝0； 解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2， 则 k1＝－2， k2＝－ ，故 k1≠ k2且 k1 k2≠－1， 所以 l1与 l2既不垂直也不平行. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） l1： y ＝ x ＋3与 l2： x － y －4＝0； 解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2，在 y 轴上的截距分别 为 b1， b2， 由题意知 k1＝1， k2＝1，故 k1＝ k2， 又因为 b1≠ b2，故 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3） l1： ＋ ＝1与 l2：2 x －3 y ＋1＝0； 解：设 l1与 l2的斜率分别为 k1与 k2， l1与 l2的方程可化为 l1： y ＝－ x ＋3， l2： y ＝ x ＋ . 所以 k1· k2＝ × ＝－1，故 l1⊥ l2. （4） l1：2 x －5＝0与 l2：3 y －1＝0. 解：l1与 l2的方程可化为 l1： x ＝ ， l2： y ＝ . 因为 l1的斜率不存在， l2的斜率为0，故 l1⊥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 利用两条直线平行、垂直的条件求直线方程 【例2】　已知点 A （3，3）和直线 l ： y ＝ x － .求： （1）经过点 A 且与直线 l 平行的直线的方程； 经过点 A （3，3）且与直线 l 平行的直线方程为 y －3＝ （ x －3），即3 x －4 y ＋3＝0. 解：因为直线 l ： y ＝ x － ， 所以该直线的斜率 k ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）经过点 A 且与直线 l 垂直的直线的方程. 解：经过点 A （3，3）且与直线 l 垂直的直线方程为 y －3＝－ （ x －3），即4 x ＋3 y －21＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的 关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； （2）可利用如下待定系数法：与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为 0）平行的直线方程可设为 Ax ＋ By ＋ C1＝0（ C1≠ C ），再由直 线所经过的点确定 C1；与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不全为 0）垂直的直线方程可设为 Bx － Ay ＋ C2＝0，再由直线所经过的 点确定 C2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知直线 l 的方程为3 x ＋4 y －12＝0，求满足下列条件的直线l' 的方程： （1）经过点（－1，3），且与 l 平行； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋3， ∴ l 的斜率为－ . ∵l'与 l 平行，∴l'的斜率为－ . 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为 y －3＝－ （ x ＋1）， 即3 x ＋4 y －9＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　由l'与 l 平行，可设l'的方程为3 x ＋4 y ＋ m ＝0（ m ≠－12）. 将点（－1，3）代入上式得 m ＝－9. ∴所求直线的方程为3 x ＋4 y －9＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）经过点（－1，3），且与 l 垂直. 解：法一 ∵l'与 l 垂直，∴l'的斜率为 ， 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为 y －3＝ （ x ＋1）， 即4 x －3 y ＋13＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二 由l'与 l 垂直，可设l'的方程为4 x －3 y ＋ n ＝0. 将（－1，3）代入上式得 n ＝13. ∴所求直线的方程为4 x －3 y ＋13＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知直线 l1： ax ＋2 y －3＝0， l2：3 x ＋（ a ＋1） y － a ＝0，求满足 下列条件的 a 的值. （1） l1∥ l2； 当 l1∥ l2时， 解得 a ＝2. 解：法一　由题可知 A1＝ a ， B1＝2， C1＝－3， A2＝3， B2＝ a ＋1， C2＝－ a . 法二　直线 l1可化为 y ＝－ x ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 当 a ＝－1时， l2： x ＝－ 与 l1不平行； 当 a ≠－1时，直线 l2： y ＝－ x ＋ ， ∵ l1∥ l2，∴－ ＝－ 且 ≠ ， 解得 a ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） l1⊥ l2. 解：法一当 l1⊥ l2时， A1 A2＋ B1 B2＝0， 即3 a ＋2（ a ＋1）＝0，解得 a ＝－ . 法二 当 a ＝－1时， l2： x ＝－ 与 l1不垂直； 当 a ≠－1时， l2： y ＝－ x ＋ ， ∵ l1⊥ l2，∴－ · ＝－1， 解得 a ＝－ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线平行与垂直的综合应用 【例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐 标按逆时针顺序依次为 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋ t ）， R （－2 t ，2），其中 t ＞0.试判断四边形 OPQR 的形状. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由斜率公式得 kOP ＝ ＝ t ， kQR ＝ ＝ ＝ t ， kOR ＝ ＝－ ， kPQ ＝ ＝ ＝－ .所以 kOP ＝ kQR ， kOR ＝ kPQ ，从而 OP ∥ QR ， OR ∥ PQ . 所以四边形 OPQR 为平行四边形. 又 kOP · kOR ＝－1，所以 OP ⊥ OR ， 故四边形 OPQR 为矩形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （变条件）将本例改为已知“ A （－4，3）， B （2，5）， C （6， 3）， D （－3，0），顺次连接 A ， B ， C ， D 四点，试判断四边形 ABCD 的形状.” 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题意 A ， B ， C ， D 四点在平面直角坐标 系内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ， kAD ＝ ＝－3， kBC ＝ ＝－ . 所以 kAB ＝ kCD ，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 AB ∥ CD ，由 kAD ≠ kBC ，所以 AD 与 BC 不平行. 又因为 kAB · kAD ＝ ×（－3）＝－1， 所以 AB ⊥ AD ，故四边形 ABCD 为直角梯形. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （变设问）将本例改为“已知矩形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依 次为 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋ t ），试求顶点 R 的 坐标.” 解：因为 OPQR 为矩形，所以 OQ 的中点也是 PR 的中点，设 R （ x ， y ）， 则由中点坐标公式知 解得所以 R 点的坐标是（－2 t ，2）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 判定几何图形形状的注意点 （1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图， 猜测其形状，以明确证明的目标； （2）证明两直线平行时，仅有 k1＝ k2是不够的，还要注意排除两直 线重合的情况； （3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他 的情况. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知 A （1，0）， B （3，2）， C （0，4），点 D 满足 AB ⊥ CD ，且 AD ∥ BC ，则点 D 的坐标为 ⁠. （10，－6）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：设 D （ x ， y ），则 kAB ＝ ＝1， kBC ＝ ＝－ ， kCD ＝ ， kAD ＝ ，∵ AB ⊥ CD ， AD ∥ BC ， ∴解得即 D （10，－6）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线 x ＋ ay －7＝0与直线（ a ＋1） x ＋2 y －14＝0平行，则 a 的值是 （　　） A. 1 B. －2 C. 1或－2 D. －1或2 解析：　由已知，得 a （ a ＋1）－2＝0，解得 a ＝－2或 a ＝1.当 a ＝1时，两直线重合，∴ a ＝－2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 下列条件中，使得 l1⊥ l2的是（　　） ① l1的斜率为－ ， l2经过点 A （1，1）， B ； ② l1的倾斜角为45°， l2经过点 P （－2，－1）， Q （3，－5）； ③ l1经过点 M （1，0）， N （4，－5）， l2经过点 R （－6，0）， S （－1，3）. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析：　设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 l1⊥ l2⇔ k1 k2＝－1，易 得①③正确，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知两条直线 l1， l2的斜率是方程3 x2＋ mx －3＝0（ m ∈R）的两个 根，则 l1与 l2的位置关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 可能重合 D. 无法确定 解析：　由方程3 x2＋ mx －3＝0，知Δ＝ m2－4×3×（－3）＝ m2 ＋36＞0恒成立.故方程有两相异实根，即 l1与 l2的斜率 k1， k2均存在. 设两根为 x1， x2，则 k1 k2＝ x1 x2＝－1，所以 l1⊥ l2，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知直线 l 的倾斜角为45°，直线 l2的斜率为 k ＝ m2－3，若 l1∥ l2， 则 m 的值为 ⁠. 解析：由题意知 m2－3＝tan 45°，解得 m ＝±2. 5. 若不同两点 P ， Q 的坐标分别为（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），则 线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 ⁠. 解析：若 a ＝3－ b ，则 P ， Q 两点重合，不合题意.故 PQ 斜率存在. 由 kPQ ＝ ＝1，得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1. ±2　 －1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $