1.1.3 第二课时 直线方程的两点式、一般式与点法式 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线方程公式应用与综合建模，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一公式到复杂情境的思维进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|截距式/两点式直接应用|单选（1-4题）考截距式、两点式运算，夯实概念理解| |中档|公式综合与几何性质|解答题（10题）结合中点求中线方程，提升推理能力| |提升|实际情境与数学建模|解答题（16题）通过面积最小值问题，培养模型意识与创新思维|

第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 1.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为（　　） A.5x＋3y－25＝0 B.5x－3y－25＝0 C.3x－5y－25＝0 D.5x－3y＋25＝0 3.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） 4.若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m＝（　　） A.－2 B.2 C.－3 D.3 5.（多选）直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d＝（3，1），则直线的点法式方程是（　　） A.3（x－2）＋（y－3）＝0 B.－（x－2）＋3（y－3）＝0 C.＝ D.＝ 6.（多选）下列说法中不正确的是（　　） A.直线l：x＋my－1＝0（m∈R）的斜率为－ B.若直线l过点P（1，3），且其法向量为n＝（－3，1），则直线l的方程为3x－y＝0 C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＋＝1 D.过两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线可以表示成（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1） 7.过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　　. 8.已知A（2，－1），B（6，1），则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为　　　　. 9.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝　　　　；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝　　　　. 10.已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（－2，6），C（－8，0）. （1）求边AC和AB所在直线的方程； （2）求AC边上的中线BD所在直线的方程. 11.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.（－∞，－2]∪[2，＋∞） C.[－2，0）∪（0，2] D.R 12.（多选）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　） A. B.（－∞，－1） C. D. 13.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，a∈R，则直线l总经过的定点坐标为　　　　.若直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是　　　　. 14.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　. 15.已知△ABC的三个顶点分别是A（1，1），B（－2，3），C（3，4）. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标. 16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 1.C　由直线方程的截距式可得＋＝1. 2.B　经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为＝，整理得5x－3y－25＝0.故选B. 3.A　将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. 4.D　∵直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，∴＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2（舍去）.故选D. 5.BC　因为直线l经过点P（2，3），且一个方向向量是d＝（3，1），所以直线方程的点法式是－（x－2）＋3（y－3）＝0或＝.故选B、C. 6.AC　对于A中，若m＝0时，直线l：x－1＝0，此时直线l的斜率不存在，故不正确； 对于B，若直线l过点P（1，3），且其法向量为n＝（－3，1），由直线的点法式方程，可得直线方程为－3×（x－1）＋1×（y－3）＝0，即3x－y＝0，故正确；对于C中，当一条直线平行于坐标轴时，则该直线在该坐标轴上的截距不存在，所以不能用截距式表示直线，故不正确；对于D中，过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线，无论斜率存在还是不存在，都能表示为方程（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），故正确.故选A、C. 7.3x＋y－6＝0　解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由直线方程的两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0. 8.3x－4y－12＝0　解析：由于A（2，－1），B（6，1），故线段AB中点的坐标为（4，0），又直线在y轴上的截距是－3，∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 9.5　1　解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 10.解：（1）由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为＝， 即x＋y－4＝0. （2）由题意，得点D的坐标为（－4，2）， 由两点式，得BD所在直线的方程为＝， 即2x－y＋10＝0. 11.C　令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝－b.∴｜·（－b）｜≤1，b≠0，解得－2≤b≤2，且b≠0.故选C. 12.BD　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1）∪. 13.（，）　[3，＋∞）　解析：将直线l的方程整理为y－＝a（x－），∴l的斜率为a，且过定点（，）.要满足l不经过第二象限，需a≥0且它在y轴上的截距不大于0且斜率a＞0，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3. 14.3　解析：直线AB的方程为＋＝1，设P（x，y），则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 15.解：（1）由已知得＝（5，1），可知＝（5，1）就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线过点A（1，1），∴所求直线的点法式方程为5（x－1）＋（y－1）＝0，即5x＋y－6＝0. （2）设D点坐标为（x，y）， ∵ABCD是平行四边形，∴＝，∴解得 ∴D（6，2）. 16.解：（1）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是. （2）依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）. 又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0. 故S＝｜OA｜｜OB｜＝××（1＋2k）＝≥×＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号. 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $