1.3 第一课时　直线方程的点斜式 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从点斜式方程概念理解到综合应用再到探究拓展的递进，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点斜式方程、倾斜角与斜率、直线位置关系|单选直接应用概念（如第1题），多选辨析易错点（如第4题），填空强化运算（如第7题）| |综合运用|直线与坐标轴围成图形、与线段相交|结合几何图形分析（如第11题），含参数讨论（如第12题），培养推理能力| |拓展提高|恒过定点及区间性质|探究性问题（如第14题），需构建模型分析，发展创新意识与逻辑思维|

第一课时　直线方程的点斜式 一、基础巩固 1.经过点(2,5),斜率为－2的直线的点斜式方程为(　　) A.y＋5＝－2(x＋2) B.y－5＝－2(x－2) C.y－5＝2(x＋2) D.y－5＝－2(x＋2) 2.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A.60°,2 B.120°,2－ C.60°,2－ D.120°,2 3.直线l1:y＝k1x＋b1与l2:y＝k2x＋b2的位置关系如图所示,则有(　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 4.(多选)已知直线l在y轴上的截距为2,倾斜角的正弦值为,则此直线方程可以是(　　) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝x－2 D.y＝－x－2 5.(多选)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),则BC边所在直线的方程可以是(　　) A.y＝－x B.y＝－(x－4) C.y＝(x－4) D.y＝(x＋4) 6.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是(　　) 7.已知直线l的一个方向向量a＝(1,3),且经过点(1,1),则直线l的斜截式方程为　　　　　　.  8.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1),若l在y轴上的截距为7,则m＝　　　　.  9.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　.  10.已知直线m的一个方向向量为ν＝(3,),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程: (1)过点P(3,－4)； (2)与y轴的交点为(0,－3). 二、综合运用 11.(多选)已知直线l过点P(1,),且与x轴和y轴围成一个内角为的直角三角形,则满足条件的直线l的方程可以是(　　) A.y－＝－(x－1) B.y－＝－(x－1) C.y－(x－1) D.y－(x－1) 12.已知点A(1,3),B(－2,－1).若直线l:y＝k(x－2)＋1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.  13.已知直线l:y＝ax＋. (1)求证:无论a为何值,直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 三、拓展提高 14.已知直线l:y＝kx＋2k＋1. (1)求证:直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 第一课时　直线方程的点斜式 一、基础巩固 1.经过点(2,5),斜率为－2的直线的点斜式方程为(　　) A.y＋5＝－2(x＋2) B.y－5＝－2(x－2) C.y－5＝2(x＋2) D.y－5＝－2(x＋2) 答案　B 解析　根据题意,经过点(2,5),斜率为－2的直线的点斜式方程为y－5＝－2(x－2).故选B. 2.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A.60°,2 B.120°,2－ C.60°,2－ D.120°,2 答案　B 解析　直线方程y－2＝－(x＋1)可化为y＝－x＋2－,故直线的倾斜角为120°,在y轴上的截距为2－. 3.直线l1:y＝k1x＋b1与l2:y＝k2x＋b2的位置关系如图所示,则有(　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 答案　A 解析　设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知,90°<α1<α2<180°,所以k1<k2,又b1<0,b2>0,所以b1<b2,故选A. 4.(多选)已知直线l在y轴上的截距为2,倾斜角的正弦值为,则此直线方程可以是(　　) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝x－2 D.y＝－x－2 答案　AB 解析　设直线l的倾斜角为α,由题意知sin α＝,cos α＝±,直线l的斜率k＝tan α＝±,故此直线的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 5.(多选)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),则BC边所在直线的方程可以是(　　) A.y＝－x B.y＝－(x－4) C.y＝(x－4) D.y＝(x＋4) 答案　BC 解析　由题得直线BC的倾斜角为60°或120°,故直线BC的斜率为或－,由点斜式得所求直线的方程为y＝(x－4)或y＝－(x－4),故选BC. 6.(多选)下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是(　　) 答案　BC 解析　①当a>0时,直线y＝ax的倾斜角为锐角,直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0,B成立；②当a＝0时,直线y＝ax的倾斜角为0°,A,B,C,D都不成立；③当a<0时,直线y＝ax的倾斜角为钝角,直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0,C成立,故选BC. 7.已知直线l的一个方向向量a＝(1,3),且经过点(1,1),则直线l的斜截式方程为　　　　　　.  答案　y＝3x－2 解析　直线l的斜率为k＝＝3. 直线l的点斜式方程为y－1＝3(x－1), 其斜截式方程为y＝3x－2. 8.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1),若l在y轴上的截距为7,则m＝　　　　.  答案　4 解析　方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为y＝(m－1)x＋2m－1,所以2m－1＝7,解得m＝4. 9.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　.  答案　(－∞,－1]∪[1,＋∞) 解析　令y＝0,则x＝－2k；令x＝0,则y＝k,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2. 由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1,所以k的取值范围是(－∞,－1]∪[1,＋∞). 10.已知直线m的一个方向向量为ν＝(3,),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程: (1)过点P(3,－4)； (2)与y轴的交点为(0,－3). 解　(1)∵直线m的一个方向向量为ν＝(3,),∴直线m的斜率为,则倾斜角为30°, ∴直线l的倾斜角为60°, ∴直线l的斜率为tan 60°＝. ∵直线l过点P(3,－4), ∴直线l的点斜式方程为 y－(－4)＝(x－3). (2)由(1)知直线l的斜率为, ∵直线l与y轴的交点为(0,－3), ∴直线l的点斜式方程为 y－(－3)＝(x－0). 二、综合运用 11.(多选)已知直线l过点P(1,),且与x轴和y轴围成一个内角为的直角三角形,则满足条件的直线l的方程可以是(　　) A.y－＝－(x－1) B.y－＝－(x－1) C.y－(x－1) D.y－(x－1) 答案　ABC 解析　由题意,直线l的倾斜角可以是,所以直线l的斜率k＝tan 或k＝tan 或k＝tan ＝－或k＝tan ＝－,所以直线l的方程可以为y－＝－(x－1)或y－＝－(x－1)或y－(x－1)或y－(x－1),由y－(x－1),整理得y＝x,此时直线过原点,无法与x轴和y轴围成直角三角形,故选ABC. 12.已知点A(1,3),B(－2,－1).若直线l:y＝k(x－2)＋1与线段AB相交,则k的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示. 若l与线段AB相交, 则kPA≤k≤kPB, 因为kPA＝＝－2,kPB＝, ∴－2≤k≤. 13.已知直线l:y＝ax＋. (1)求证:无论a为何值,直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. (1)证明　因为y＝ax＋＝ a,所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限, 所以直线l必经过第一象限. (2)解　设A, 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限, 则直线l的斜率kl≥3,即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3,＋∞). 三、拓展提高 14.已知直线l:y＝kx＋2k＋1. (1)求证:直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. (1)证明　由y＝kx＋2k＋1,得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(－2,1). (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1,显然其图象是一条直线(如图所示), 若使当－3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足 即解得－≤k≤1. 所以,实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $