精品解析：河南省郑州市枫杨外国语学校2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

2021—2022学年下期期末考试八年级数学试题卷 时长：90分钟 满分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分） 1. 2022年6月5日上午，搭载神舟十四号载人飞船的火箭，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入太空，中国航天取得了举世瞩目的成就．下列图标中其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，故选项A不成立； B、若，则，故选项B成立； C、若，则，故选项C不成立； D、若，则，故选项D不成立． 3. 下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 4. 2022年2月4日，北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩，简约，唯美，浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和=和正多边形的性质即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为：， 又∵正六边形的6个内角都相等， ∴它的每一个内角=． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式和正多边形的性质．掌握多边形的内角和=与正多边形的每一个内角都相等是解题关键． 5. 下列命题中，它的逆命题是真命题有( ) ①等边对等角；②如果，那么，；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：①等边对等角的逆命题为等角对等边，正确，是真命题，符合题意； ②如果，那么，的逆命题为如果，，那么，正确，是真命题，符合题意； ③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意， 逆命题是真命题的有3个， 故选：A． 6. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 去分母得：-x=1+x-2， 解得：x=， 检验：把x=代入得：x-2≠0， ∴分式方程的解为x=． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验． 7. 如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到既是高线又是中线，进而可得到，的长度，然后由垂直平分线的性质得到，最后在中通过勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 由题可得为等腰三角形，，，为的垂直平分线， ∵平分， ∴且D点为的中点， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， 即． 8. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为2．点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥OB于T，过点A′作A′J⊥AT交AT的延长线于J． ∵等边三角形△OAB的边长为2，AT⊥OB， ∴OT=BT=1，AT=，∠OAT=∠OAB=30°， ∴点A坐标为（-，1），B（0，2）， ∵平移后点A'的横坐标为3， ∴JT=3， 即AJ=4， 在Rt△AJA′中，AA′=2JA′， 由勾股定理得：AJ2+ JA′2= AA′2，即(4)2+ JA′2= (2JA′)2， ∴JA′= 4， ∴点A向右平移4个单位，再向下平移4个单位可得点A'， ∴由此可得，点B'的坐标为（4，-2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 9. 若关于x的不等式2x+a≤3只有1个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. ﹣1＜a＜1 B. ﹣1＜a≤1 C. ﹣1≤a＜1 D. ﹣1≤a≤1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式2x+a≤3的解集，然后根据只有1个正整数解，可知这个正整数解是1，继而可得，解这个不等式就可求得答案． 【详解】解：2x+a≤3， 解得：， ∵不等式2x+a≤3只有1个正整数解， ∴， 解得：﹣1＜a≤1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一 次不等式的理解和应用，解题的关键是确定一个正整数解一定是1， 考查逻辑推理能力，属于基础题． 10. 如图，将平行四边形绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若，则的大小为（ ） A. 65° B. 55° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得出AB=AE，∠AEF=∠CBA=115°，由等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE=65°，即可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置， ∴AB=AE，∠AEF=∠CBA=115°， ∴∠AEB=∠ABE=65°， ∴∠CBD=∠CBA-∠ABE=115°-65°=50°； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分．共15分） 11. 分式有意义的条件是___________． 【答案】m≠-3 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵m+3≠0， ∴m≠-3． 故答案为：m≠-3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 12. 把多项式分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式继续分解，得到最终结果． 【详解】解：原式各项公因式为，先提取公因式， 原式， 再利用平方差公式分解， 原式． 13. 如图，在四边形中，，，，，．若点，分别是边，的中点，则的长是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，结合图形求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 点，分别是边，的中点， ， 故答案为：4． 14. 如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， 根据函数图象可得的解集为；的解集为， ∴关于x的不等式组的解集是． 15. 如图，在中，，，，E为斜边的中点，点P是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为________． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半可求出，即可得到的值，然后根据勾股定理求出．①若与交于点F，连接，易得，即可得到，，从而可得四边形是平行四边形，即可得到，从而可求出；②若与交于点G，连接，交于点H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，从而可求出． 【详解】解：∵，，，E为斜边的中点， ∴， ∴， ①如图，若与交于点F，连接， 由折叠可得，， ∵点E是的中点， ∴， 由题可得，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②如图，若与交于点G，连接，交于点H， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴点P与点C重合， ∴， 综上所述，的长为6或． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，解得， 由②得，解得， 不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】，当时，原式值为 【解析】 【分析】先计算分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，得到化简后的结果，再选代入化简求值即可. 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； （3）请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求；点的坐标为 （3）如图，点D即为所求；点D的坐标为， 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B以点C为中心，顺时针旋转后的对应点、，即可解答； （2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求得、、的坐标，再依次连接即可； （3）点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点，求出平行四边形的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线经过中心坐标，进而求得b． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D， ∴可由平移得到，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，平行四边形是中心对称图形， ∴平行四边形的中心坐标为， 当直线经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等， ∴将代入直线， ∴，解得：． 19. 课堂上同学们用两个含角的全等三角尺拼成了一个等边三角形，嘉嘉发现了在直角三角形中，所对的直角边与斜边之间的数量关系． （1）请你补充嘉嘉发现的结论：在直角三角形中，________________________； （2）嘉嘉已画出图形并写出已知，请你将求证、证明的过程补充完整． 已知：如图1，中，，． 求证：________________． 证明： （3）请运用以上结论解决下列问题． 如图2，在中，，，若，点D是边上的动点，则的最小值为________． 【答案】（1）如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （2）求证：． 证明：如图1，延长到点D，使，连接． ∵，， ∴，． ∵，，， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴，． （3）3 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质求解即可； （2）延长到点D，使，连接．先证明得到，即可得到是等边三角形，得到，． （3）先由直角三角形得到，，过点作于，且，连接交于，则，，，当与重合时，取得最小值，此时是等边三角形，即可得到，在中，得到，求出即可． 【小问1详解】 解：∵用两个含角的全等三角尺拼成了一个等边三角形， ∴等边三角形三边相等，角的直角三角形的短直角边正好是等边三角形的一半， ∴如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴，， 过点作于，且，连接交于， ∴，， ∴， ∴当与重合时，取得最小值， 此时， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 20. 如图，在ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD． （1）求证：四边形CDBF是平行四边形； （2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长． 【答案】 （1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ECF＝∠EBD． ∵E是BC中点， ∴CE＝BE． ∵∠CEF＝∠BED， ∴△CEF≌△BED． ∴CF＝BD． ∴四边形CDBF是平行四边形． （2）8 【解析】 【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可； （2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图，作EM⊥DB于点M， ∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝， ∴，DF＝2DE． 在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2， 在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°， ∴DE＝2EM＝4， ∴DF＝2DE＝8． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某外国语中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求足球数量不能高于50个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元 （2）w与m的函数关系式为； （3）当篮球购买30个，足球购买50个时，费用最少，最少为7000元 【解析】 【分析】（1）设篮球每个x元，足球每个元，根据用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）购买m个足球，则购买个篮球，根据总费用=单价×购买数量列出函数关系式； （3）总费用不多于7200元，并且要求足球数量不能高于50个，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设篮球每个x元，足球每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为：， 答：篮球每个100元，足球每个80元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 即w与m的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∴ 又∵， ∴， 由（2）得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时，， 答：当篮球购买30个，足球购买50个时，费用最少，最少为7000元． 22. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． （1）先证，再根据证明即可； （2）①连接，同（1）可证，推出，，进而可证，再用勾股定理解即可； ②分“点N在线段上”和“点M在线段上”两种情况，画出图形，结合前面的结论，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ； ②分两种情况，当点N在线段上时，连接，过点O作于点H， 同（1）可得， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ； 当点M在线段上时，连接，过点O作于点H， 同①可证， ， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ． 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年下期期末考试八年级数学试题卷 时长：90分钟 满分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分） 1. 2022年6月5日上午，搭载神舟十四号载人飞船的火箭，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入太空，中国航天取得了举世瞩目的成就．下列图标中其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2022年2月4日，北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩，简约，唯美，浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，它的逆命题是真命题有( ) ①等边对等角；②如果，那么，；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为2．点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式2x+a≤3只有1个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. ﹣1＜a＜1 B. ﹣1＜a≤1 C. ﹣1≤a＜1 D. ﹣1≤a≤1 10. 如图，将平行四边形绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在同一直线上，若，则的大小为（ ） A. 65° B. 55° C. 50° D. 40° 二、填空题（共5小题，每小题3分．共15分） 11. 分式有意义的条件是___________． 12. 把多项式分解因式的结果为________． 13. 如图，在四边形中，，，，，．若点，分别是边，的中点，则的长是_______． 14. 如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 15. 如图，在中，，，，E为斜边的中点，点P是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 17. 先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； （3）请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 19. 课堂上同学们用两个含角的全等三角尺拼成了一个等边三角形，嘉嘉发现了在直角三角形中，所对的直角边与斜边之间的数量关系． （1）请你补充嘉嘉发现的结论：在直角三角形中，________________________； （2）嘉嘉已画出图形并写出已知，请你将求证、证明的过程补充完整． 已知：如图1，中，，． 求证：________________． 证明： （3）请运用以上结论解决下列问题． 如图2，在中，，，若，点D是边上的动点，则的最小值为________． 20. 如图，在ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD． （1）求证：四边形CDBF是平行四边形； （2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长． 21. 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某外国语中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共80个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于7200元，并且要求足球数量不能高于50个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 22. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $