1.1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线倾斜角与斜率，分层设计从基础概念到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度训练，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|倾斜角计算、斜率定义、方向向量|1-6题直接考查概念辨析，如斜率与倾斜角关系的充要条件判断| |中档|斜率公式应用、倾斜角范围推理|10-13题结合两点坐标求斜率，如含参数的倾斜角取值范围分析| |提升|几何图形、函数背景下的斜率综合应用|14-16题融入正方形对角线与邻边斜率关系、函数图象上动点斜率范围探究|

1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 1.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（　　） A.30° B.150° C.60° D.120° 2.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝（　　） A.－ B. C.－1 D.1 4.已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A.（－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2] 5.（多选）已知直线l过点P1（2，3）与P2（1，1），则l的方向向量的坐标可以是（　　） A.（1，2） B.（2，1） C. D. 6.（多选）下列说法中，正确的是（　　） A.直线的倾斜角为α，且tan α＞0，则α为锐角 B.直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D.任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α 7.已知直线l的一个方向向量v＝（，－1），则直线l的斜率k＝　　　　，倾斜角α＝　　　　. 8.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　. 9.已知点A（2，－1），若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为　　　　. 10.已知直线l上两点A（－2，3），B（3，－2），求其斜率.若点C（a，b）在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值. 11.若直线经过点P（1，1）和点Q（2，t＋），其中t＞0，则该直线的倾斜角的取值范围是（　　） A.（ 0，］ B.［，） C.（，］ D.［，π） 12.若直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A.0°≤α＜180° B.45°≤α＜90°或90°＜α＜180° C.0°≤α≤45° D.0°≤α≤45°或90°＜α＜180° 13.（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1，则直线l1的倾斜角可能为（　　） A.α＋ B.α＋ C.α－ D.－α 14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　. 15.已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围； （2）求直线l的倾斜角α的取值范围. 16.已知点M（x，y）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，5]时，求的取值范围. 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 1.B　由题意知k＝＝－，∴直线的倾斜角为150°. 2.B　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 3.C　法一　由直线上的两点A（4，y），B（2，－3），得＝（－2，－3－y），又直线AB的一个方向向量为n＝（－1，－1），因此n∥，所以（－2）×（－1）－（－3－y）×（－1）＝0，解得y＝－1，故选C. 法二　由直线的一个方向向量为n＝（－1，－1）得，直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1，故选C. 4.D　由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D. 5.AC　由题意知直线l的一个方向向量为v＝（2－1，3－1）＝（1，2）＝2，故A、C正确. 6.AD　对于A，因0°≤α＜180°，且tan α＞0，则α为锐角，故A正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，显然D正确. 7.－　　解析：∵k＝＝－，∴tan α＝－，又∵0≤α＜π，∴α＝. 8.30°　解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，又因为l2⊥l1，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°. 9.（3，0）或（0，－3）　解析：若点P在x轴上，设点P的坐标为P（x，0），则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P（3，0）.若点P在y轴上，设点P的坐标为P（0，y），则k＝＝tan 45°＝1，∴y＝－3，即P（0，－3）. 10.解：由斜率公式得kAB＝＝－1. ∵C在l上，∴kAC＝－1，即＝－1， ∴a＋b－1＝0. 当a＝时，b＝1－a＝. 11.B　由直线的斜率公式、基本不等式得k＝＝＋t－1≥2－1＝1（当且仅当＝t，即t＝1时取等号），所以直线的倾斜角的取值范围是［，）. 12.D　过A（2，1），B（1，m2）两点的直线l的斜率为k＝tan α＝＝1－m2，因为m2≥0，所以1－m2≤1，因为0°≤α＜180°，所以0°≤α≤45°或90°＜α＜180°，故选D. 13.BC　因为直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以当≤α＜π时，直线l1的倾斜角为α－，当0≤α＜时，直线l1的倾斜角为π－（－α）＝＋α.故选B、C. 14.　－3　解析：设正方形为OABC，已知对角线为OB，设OB的倾斜角为θ，则kOB＝2，kOA＝tan（θ－45°）＝＝，kOC＝tan（θ＋45°）＝＝－3，所以两条邻边所在直线的斜率分别为和－3. 15.解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. （1）要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是{α｜45°≤α≤135°}. 16.解：＝的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率. ∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]， ∴设该线段为AB且A（2，4），B（5，－2）. ∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤. ∴的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $