第一章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程的点斜式与斜截式，通过射击手托枪定点与瞄准方向的生活实例导入，从斜率公式推导点斜式，再结合y轴定点引出斜截式，构建从已知斜率到方程形式的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动引导自主推导，如通过问题链推导点斜式方程，体现“会用数学思维思考现实世界”，含参数直线过定点探究（例3）培养逻辑推理能力。分层训练（基础到拓广）结合课堂小结的知识清单与方法归纳，学生能深化概念理解，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第1课时 第一章 <<< 直线方程的点斜式 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线方程的点斜式与斜截式. 3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关的问题. 学习目标 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作 要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定 点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向. 导 语 一、直线方程的点斜式 二、直线方程的斜截式 课时对点练 三、含参数的直线方程的几何特征 随堂演练 内容索引 直线方程的点斜式 一 已知直线l经过点P(0,3)，且斜率k＝2，Q(x，y)为直线l上的任意一点，试推导x，y满足的关系式. 问题1 提示　当Q与P不重合时，有2＝ ，即y＝2x＋3；当Q与P重合时，把P(0,3)代入上式也成立，故x，y满足的关系式为y＝2x＋3. 提示　设Q(x，y)满足y＝2x＋3，则y－3＝2x， 若满足问题1中的结论，则以(x，y)为坐标的点是否都在直线l上？ 问题2 当x＝0时，则y＝3， 此时点Q与点P重合，Q也在直线l上. 故若满足问题1中的结论，则以(x，y)为坐标的点都在直线l上. 1.直线的方程：一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 方程y－y0＝k(x－x0)是经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程. 方程y－y0＝k(x－x0)称为直线方程的 . 点斜式 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用直线方程的点斜式.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 注 意 点 <<< 9 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； 例 1 由点斜式方程可知， 所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]. 10 (2)过点B(－1,4)，倾斜角为135°； 由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]. 11 (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； ∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. 12 (4)过点D(2,1)和E(3，－4). ∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)， 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2). 13 (1)求直线方程的点斜式的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 求直线方程的点斜式的步骤及注意点 反 思 感 悟 14 求满足下列条件的直线方程： 跟踪训练 1 15 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 16 (3)经过点(1,1)，且直线的一个方向向量为(1,2). 由题意知，直线的斜率为2，又直线过点(1,1)， ∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，化简得2x－y－1＝0. 17 二 直线方程的斜截式 提示　由点斜式方程得y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题3 称方程 为直线方程的斜截式，该方程中 为直线l的斜率，__为直线l在y轴上的截距. y＝kx＋b k b 知识梳理 20 (1)直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线方程的斜截式可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. 注 意 点 <<< 21 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为5； 例 2 由题意得k＝2，b＝5. 由直线方程的斜截式得y＝2x＋5. 22 所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°. 23 因为直线的倾斜角为60°， (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为b＝3或b＝－3， 24 本例(2)中条件改为“斜率与直线y＝ x＋1互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程. 因为在x轴上的截距为－2， 延伸探究 25 反 思 感 悟 (1)斜截式的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 求直线方程的斜截式的策略 已知斜率为 的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6， 求直线l的方程. 跟踪训练 2 令x＝0，得y＝b； ∴b2＝16，∴b＝±4. 27 含参数的直线方程的几何特征 三 已知直线l：y＝ax＋ (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； 例 3 所以直线l必经过第一象限. 29 (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 30 反 思 感 悟 对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点 (x0，y0). (1)方程y＝k(x－1)(k∈R)表示 A.过点(－1,0)的一切直线 B.过点(1,0)的一切直线 C.过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线 y＝k(x－1)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线. 跟踪训练 3 √ 32 √ 33 1.知识清单： (1)直线方程的点斜式. (2)直线方程的斜截式. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合思想. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则 A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B.直线经过点(－1,2)，斜率为1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为1 √ 由点斜式的定义可得，选项C正确. 1 2 3 4 2.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为 √ 1 2 3 4 √ ∴l在y轴上的截距为－9. 1 2 3 4 4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有 A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 √ ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 课时对点练 五 1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为 A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 √ ∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知直线l经过点A(－1,3)，B(0,5)两点，则直线l的方程为 A.2x－y－5＝0 B.2x－y＋5＝0 C.x－2y＋5＝0 D.x＋2y＋5＝0 √ 由经过两点的直线的斜率公式， 所以该直线方程的点斜式为y－5＝2(x－0)， 即2x－y＋5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) √ 直线kx－y＋1－3k＝0变形为 y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 √ 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为 y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为 y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3. √ 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 又因为在y轴上的截距为－6， 7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式是 _________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为 y＝(m－1)x＋2m－1， 所以2m－1＝7，解得m＝4. 4 9.求倾斜角为直线y＝ 的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的 直线方程. (1)经过点(－4,1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线过点(－4,1)， (2)在y轴上的截距为－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线在y轴上的截距为－10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝0，得y＝b； 10.求斜率为 ，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得b＝±5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线l的一个方向向量为(cos 45°，－sin 45°)，且过点(1,2)，则直线l在y轴上的截距为 A.3 B.－3 C.1 D.－1 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l的一个方向向量为 (cos 45°，－sin 45°)， 又直线过点(1,2)， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3， ∴直线l在y轴上的截距为3. 12.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如果直线l过点(2,1)，且在y轴上的截距的取值范围为(－1,2)，那么直 线l的斜率k的取值范围是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示. 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 14.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交， 则k的取值范围是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，给出下列四个命题，其中真命题有 A.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条 B.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条 C.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条 D.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点坐标分别是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当S△AOB＝m>0时，在k>0时，k有两个值； 当k<0时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当S△AOB＝m>12时，在k<0时，k有两个值；当m＝12时，在k<0时，k有1个值；当0<m<12时，在k<0时，没有满足条件的k值. 综上所述，当0<m<12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，故B正确； 当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，故C正确； 当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1). (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   当x≠0时，则2＝，此时Q(x，y)在直线l上； ∴斜率k＝＝－5. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. 所以k＝tan 30°＝，又b＝－2， 所以直线方程为y＝x－2. 因为y＝x＋1的斜率为， (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； 所以其斜率k＝tan 60°＝， 所以所求直线的方程为y＝x＋3或y＝x－3. ∴直线方程为y＝－x－2. 由题意知，所求直线的斜率为－， 可设直线方程为y＝－x＋b， ∴0＝－×(－2)＋b，得b＝－2. 故直线l的方程为y＝－x±4. － 设l：y＝－x＋b， 令y＝0，得x＝b. 由题意，得·|b|·＝6， 因为点位于第一象限， 因为y＝ax＋＝a＋， . 所以直线l恒过定点. 设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. (2)直线y＝ax－的图象可能是 直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号，故选B. ∴直线l的方程为y＝x－2. A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝， 3.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.－9 C. D.－ 由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， 可知直线的斜率k＝＝2， 3.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为 A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 直线方程y－2＝－(x＋1)可化为  y＝－x＋2－， 故直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 4.与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为 A.y－3＝－(x＋4) B.y＋3＝(x－4) C.y－3＝(x＋4) D.y＋3＝－(x－4) 由点斜式可得所求直线方程为y－3＝(x＋4). 所以直线的斜率为或－， 所以直线的斜截式为y＝x－6或y＝－x－6.  y＝x－6或y＝－x－6 所以该直线方程的点斜式为y－1＝(x＋4)， 由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. －x＋1 即y＝x＋4＋1. 所以该直线方程的斜截式为y＝x－10. 设所求直线的方程为y＝x＋b， 令y＝0，得x＝－b. 由已知，得|b|＋＋＝20. 即|b|＋|b|＋|b|＝20， 故所求直线的方程为y＝x±5. ∴直线l的斜率k＝＝－1， 设直线l的斜率为k，当直线l经过点(0，－1)时，斜率为＝1；当直线l经过点(0,2)时，斜率为＝－，故所求直线l的斜率k的取值范围是－<k<1. 因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，所以－2≤k≤. ∵4k＋≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，  A，B(0,3－2k)， ∴S△AOB＝××|3－2k|＝×，当k>0时， S△AOB＝×＝×， ∵－4k＋≥2＝12，当且仅当k＝－时取等号， ∴S△AOB≥0，当且仅当k＝时取等号， S△AOB＝×＝×＝×， ∴S△AOB≥12，当且仅当k＝－时取等号， 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 需满足即 $