暑假复习巩固2 2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

**基本信息** 北师大版八年级下学期暑假复习卷，通过几何图形性质、代数运算及实际应用问题，融合抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、不等式性质、分式计算|基础概念辨析，如第1题图形对称判断| |填空题|5/15|分式方程求解、函数取值范围、解直角三角形|结合实际情境，如第13题景区方位计算| |解答题（一）|3/21|不等式组解法、分式化简求值、分式方程纠错|注重运算规范，如第18题解题过程辨析| |解答题（二）|3/27|三角形全等证明、角平分线性质、等边三角形综合|突出推理能力，如第21题等边三角形动态问题| |解答题（三）|2/27|新定义“相伴方程”、几何综合证明与计算|体现创新应用，如第22题方程与不等式组关联|

暑假复习巩固2 2025-2026学年北师大版八年级下学期 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如果，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．计算的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 7．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 9．对于正数，规定，例如：，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2023.5 D．2022.5 10．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（   ）度． A．30或60 B．45或60 C．60 D．30或45 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程的解为_______． 12．函数中，自变量的取值范围是______． 13．如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为_________．    14．如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°． 15．如图，在中，过点C作于点E，以为边作等腰，，点B与点D在直线异侧，且，连接．若，，则的长为_________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解不等式组并把解集表示在数轴上． 17．先化简，再求值：，其中 18．以下是小明解分式方程的解答过程： 解：① ② ∴③ 经检验是方程的解 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在和中，点在上，，，，求证：． 20．如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 21．如图，点C在线段上，（点C不与A、B重合），分别以为边在同侧作等边和等边，连接交于点P． (1)猜想并证明：线段与的数量关系为___________． 证明： (2)求证：； (3)求的度数． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 23．在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段上时，求证：平分： (3)如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C C D A C D 11． 12．且 13． 14． 15．12 16．， 其解集在数轴上表示如图所示． 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先分别解两个不等式，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解了”取解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 17．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 根据分式的混合计算法则化简后再代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 18． 不正确，从第①步开始错， 正确步骤如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：， 检验：当时，， 故是增根，原方程无解． 【分析】本题考查解分式方程，先去分母再解整式方程，最后要检验． 根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】略 19． 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．由可得，再结合已知条件用两角夹边证即可． 【详解】略 20．(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出． （1））由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，由三角形的外角性质即可求出的度数； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 21．(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及角平分线的判定等知识． （1）由已知可得，然后根据证明≌，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可得； （3）过点作于点，于点，利用面积法可得可得，由角平分线的判定可得． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）证明：，理由如下： 和为等边三角形， ，，． ，， ． 在和中， ， ， ∴； （2）解：∵≌，得到， 又，， ； （3）解：∵， ， 过点作于点，于点．    ∵， ，， ， ， 平分． ． 22．(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 23．(1) 证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分． (3) 【分析】（1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $