第2章不等式与不等式组暑假自主巩固提升训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组全章核心，以“性质-解法-应用”为主线，融合函数、几何与实际情境，通过分层题型培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2、填空8-9|不等式性质辨析、解集概念理解|从性质公理到解集定义，构建概念生成链| |解法应用|单选3-5、填空10-12、解答15-16|数轴表示法、参数不等式组端点分析法|解法规则→含参问题→整数解应用，形成推理链条| |综合拓展|单选6-7、解答17-19|函数图象法解不等式、程序运算建模|不等式与一次函数、几何图形结合，体现知识迁移| |实际应用|填空13-14、解答18-20|方案设计、利润最大化模型|从生活情境抽象不等关系，培养模型意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第2章不等式与不等式组》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．若，根据不等式基本性质，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的解有无数个 3．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为 （    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知x的2倍减5的差不大于3，则可列不等式_____． 9．若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 10．关于x的不等式的最小整数解为______． 11．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为____，自变量x的取值范围为______． 12．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_______． 13．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 14．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 三、解答题 15．解不等式（组） (1)； (2)； (3)，并把它的解集表示在数轴上； (4)，并把它的解集表示在数轴上． 16．（1）已知不等式组无解，求的取值范围． （2）已知不等式组无解，求的取值范围． （3）已知不等式组的解是1，求的取值范围． 17．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 18．年，江西明确提出要加快江西农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商发展．一农企积极响应政策，在电商平台主推两款特色农产品：赣南脐橙和南丰蜜橘．经市场调研得知，一箱赣南脐橙比一箱南丰蜜橘贵元，某日线上订单显示卖出箱赣南脐橙和箱南丰蜜橘，总销售额为元． (1)求一箱赣南脐橙和一箱南丰蜜橘的售价各是多少元； (2)平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且赣南脐橙的销量为南丰蜜橘的倍，求南丰蜜橘至少需要卖出多少箱． 19．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 20．随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 参考答案 1．B 【分析】根据不等式的三条基本性质逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，A错误． 选项B：∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴，B正确． 选项C：∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，C错误． 选项D：∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴，D错误． 2．C 【详解】解：∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，A说法正确，不符合题意； ∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，两边同除以3，不等号方向不变，得解集为，不是，∴C说法错误，符合题意； ∵不等式包含所有小于6的数，因此解有无数个，∴D说法正确，不符合题意． 3．A 【详解】解：， ， ， 解得：， 把不等式的解集在数轴上表示为 4．C 【分析】根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负列不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得：． 5．D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 6．B 【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，关于x的不等式的解集为． 7．A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 8． 【详解】解：根据题意将文字描述转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，将题目描述的数量关系列出不等式． 由题意可列出不等式为：． 9． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 10． 【分析】先求出不等式的解集，根据解集确定最小整数解即可． 【详解】解：由可得， 则最小的整数解为． 11． 【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围． 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 12． 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 13． 【分析】温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个不等式的公共部分． 【详解】解：∵， ∴温箱里的温度应该设定的范围是． 14．21 【分析】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【详解】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 15．(1) (2) (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 16．（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数， （1）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （2）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （3）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； 【详解】解：（1）解得． 由不等式组无解得，得． （2）解得． 由不等式组无解得，得． （3）解得． 由不等式组的解是，得，解得． 17．(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 18．(1) 一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元 (2) 南丰蜜橘至少需要卖出箱 【分析】（1）根据“单价差”和“总销售额”两个等量关系设未知数列方程求解单价； （2）根据总销售额的要求，设未知数列不等式求解，结合箱数为正整数得到最小销量． 【详解】（1）解：设一箱南丰蜜橘售价为元，一箱赣南脐橙售价为元， 根据题意可得，，解得； 答：一箱赣南脐橙售价元，一箱南丰蜜橘售价元； （2）解：设南丰蜜橘需要卖出箱，则赣南脐橙卖出箱， 根据题意得：， 整理得， 解得， 的最小值为． 答：南丰蜜橘至少需要卖出箱． 19．(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 20．(1) (2)共有种进货方案，理由见解析 (3)该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元 【分析】（1）根据“购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双，然后根据“总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双”，列不等式求解，再根据鞋的数量是正整数解答即可； （3）设专卖店获得的利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：共有种进货方案．理由如下： 由（1）得，， 设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双， 根据题意，得， 解得， 为正整数， 共有种进货方案． （3）解：设专卖店获得的利润为， 根据题意，得， ，， 随的增大而减小，当时，取得最大值为元，此时（双）． 答：在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元． 学科网（北京）股份有限公司 $