暑假作业02 等腰三角形与等边三角形问题（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以等腰三角形定义为起点，构建“性质-判定-特殊化-辅助线”四层方法体系，通过9类典型题型培养抽象能力与推理能力，实现知识逻辑与解题能力统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个核心知识点|构造全等证等边对等角、三线合一等价转化、辅助线“两线合一”识别法|从定义到性质（等边对等角/三线合一），到判定（等角对等边），特殊化为等边三角形，形成完整逻辑链| |题型|9类中考题型|折叠问题对称应用、含30°角直角三角形转化、动态问题最小值求解|覆盖性质应用（题型1-2）、判定证明（题型4-6）、特殊三角形综合（题型3/7-8），实现方法迁移与高频考点突破|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 等腰三角形与等边三角形问题 【知识点1 等腰三角形的定义与基本元素】 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 (1) 相等的两边叫腰，第三边叫底边； (2) 两腰的夹角叫顶角，腰与底边构成的角叫底角（两个底角互为对应角）。 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等），所以等腰三角形的一切性质等边三角形都具备。 【知识点2 等腰三角形的性质定理】 1. 性质1：等边对等角 (1) 定理：等腰三角形的两个底角相等。 (2) 几何语言：在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C。 (3) 这是等腰三角形最重要、最基础的性质，也是后续“三线合一”证明的依据。 (4) 证明路径：作顶角平分线AD，用SAS证△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C。（典型思路：构造全等） 2. 性质2：三线合一（核心推论） (1) 推论（三线合一）：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（实为同一条线段）。 (2) 三种等价表述（设△ABC中AB＝AC，AD所在直线交BC于D）： (3) 已知其中一个条件，可推出的另外两个 1 AD平分∠BAC（顶角平分线）⇒BD＝CD（D为BC中点）且AD⊥BC 2 AD⊥BC（底边上的高）⇒BD＝CD且AD平分∠BAC 3 BD＝CD（底边上的中线）⇒AD⊥BC且AD平分∠BAC 3. 性质3：轴对称性 (1) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（即底边上的高线/底边上的中线）所在的直线。 (2) 等边三角形有三条对称轴（每条边上的“高线/中线/顶角平分线”所在直线）。 【知识点3 等腰三角形的判定定理】 1. 判定1：等角对等边（定理级，需证明） (1) 定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即： (2) 在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC。（该三角形为等腰三角形） (3) 证明常用方法：作BC边上的高AD（或作∠A的平分线），用AAS证全等⇒对应边相等。 (4) 前提强调：两个角必须是同一个三角形的内角（“在同一个三角形中，等角对等边”）。 2. 判定2：定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（直接使用，多用于选择题/填空题识别） 【知识点4 等边三角形：特殊的等腰三角形】 1. 等边三角形的性质 (1) 三条边都相等：AB＝BC＝CA (2) 三个内角都相等，且每个角＝60° (3) 具备等腰三角形的一切性质（等边对等角✓、三线合一✓、轴对称✓） (4) 有三条对称轴；任意一条边上的中线/高/所对角的平分线都“三线合一” 2. 等边三角形的判定（三条路径） (1) 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形 (2) 三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形（⇒每个角＝60°） (3) 60°＋等腰法（最常用）：有一个角＝60°的等腰三角形是等边三角形 (4) 注意区分：单独知道“一个三角形有一个角＝60°”不能推出等边，必须先确认它是等腰三角形（或再配合另一个60°/边等条件）。 【知识点5 等腰三角形常见辅助线】 1. 作顶角平分线（最经典）→同时得到全等＋底边平分＋垂直（三线合一的证明框架） 2. 作底边上的高/底边上的中线→同样走全等路线 3. 遇“两线合一”条件时，反向识别等腰三角形（如：已知一条线既是角平分线又是高⇒等腰） 4. 遇等边±平行线组合→产生新的等角关系，进而推出新等腰（见下方"隐形等腰"模型） 题型01 等边对等角 1．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】/72度 【分析】首先求出，然后由全等得到，，然后利用等边对等角求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 题型02 三线合一 1．（2026·陕西西安·三模）如图，以正五边形的边为边长向其内部作正三角形，连接，则的大小为______． 【答案】/度 【分析】由五边形是正五边形，可得，由是正三角形，可得，则可求的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，． ． 是正三角形， ． ． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 【答案】/ 【分析】根据翻折的性质可知，根据勾股定理得，再根据等角对等边得，然后利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：根据两次翻折可知：，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 等边三角形的性质 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，等腰直角中，，D为中点，P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接、，由轴对称可知：，，，得出，，即为最小值，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接、， 由轴对称可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时取最小值， ∴． 2．（2026·陕西西安·三模）如图四边形中，于点，，连接、交于点，若点是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意可得，，进一步可推得，再根据等腰三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型04 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（2026·福建福州·二模）如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）按要求解答问题： (1)如图，、都是等腰直角三角形，，，，连，，当、、三点共线时，与的数量关系为______． (2)如图2，、都是等边三角形，连接，，延长线与交于点，则的度数是多少? (3)如图3，公园里有一块等边三角形绿地，绿地中央有两条景观小路、，其中点，，分别在绿地边沿，，上，两条小路交于凉亭．已知，且两条小路的夹角，，．为改善公园景观，管理部门计划在绿地右侧空地修建一个等边三角形花坛，并铺设一条从凉亭到花坛顶点的直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道的长度． 【答案】(1) (2) (3)直线步道的长度为 【分析】（1）利用等腰直角三角形的边和角的关系，通过 证明，直接得到； （2）先证，再利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和，算出； （3）作辅助线构造等边，通过两次证明全等三角形，推导出，代入数值得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ． （2）解：∵、都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴． （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型05 根据等角对等边证明与求值 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，于点，于点，与相交于点，连接并延长交于点，交的平分线于点，连接．则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义和三角形内角和定理求出，判断选项A；根据角平分线定义求出，利用同位角相等判断平行，判断选项B；证明得到，证明得到，并结合线段和差关系判断C和D． 【详解】解：∵， ∴，即，故A正确，不符合题意； ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； ∵点在的延长线上， ∴，故C错误，符合题意． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若等边三角形的边长为，则线段长度的最小值为______．（提示：在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半） 【答案】 【分析】在线段上取点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，，根据等腰三角形的判定和性质，可知，为等腰三角形，求出，设的平分线与边交于点，则的运动轨迹为线段，当时，长度最短，求出，即可． 【详解】解：在线段上取点，使得，连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 即射线为的角平分线，设的平分线与边交于点，则的运动轨迹为线段， 当时，长度最短，如图2． 在中，，， ∴． 题型06 等腰三角形的性质和判定 1．（2026·浙江宁波·二模）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，由作图可知，是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型07 等边三角形的判定 1．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，锐角的两条高、相交于点O，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的平分线上，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，即可证明； （2）连接，证明，得到，即点O在的角平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵锐角的两条高、相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：点O在的平分线上．理由如下： 连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 2．（2026·重庆渝中·三模）如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴_①_， 为的中点， ∴_②_， ． 在与中， ， ． ． ． 【答案】(1) (2)； ； 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，解答即可；用圆规采用画弧法截取即可； （2）根据角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可； 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ，， ， ∴， ； 为的中点， ∴， ． 在与中， ， ． ． ． 题型08 等边三角形的性质 1．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，勾股定理等内容，解题的关键是画出图形，利用平行线的性质得到，再利用勾股定理求解． 根据题意，画出图形，根据折叠的性质以及平行线的性质得到，利用等面积法求得，从而得到，勾股定理求得，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 2．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型09 含30度角的直角三角形 1．（2026·宁夏吴忠·二模）为探究平行线的有关性质，小明用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，的大小为______． 【答案】/15度 【分析】先说明，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：，， 平分， ， 又， 是等边三角形； (2) (3)证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的度数，结合，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形； （2）先利用等腰三角形的性质求出的度数，再结合等边三角形的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度，进而得到的长； （3）先根据角的和差关系推出，再利用等边三角形和等腰三角形的性质得到对应边、角相等，通过证明，结合全等三角形的性质与线段的和差关系证明． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）得，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，于点D．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用角所对直角边等于斜边一半及勾股定理，用表示出和，再结合及列方程求解即可； 【详解】解：∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 3．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点． 将向上平移一个小正方形的边长到，连接，设每个小正方形的边长为，通过证明，得到，通过证明是等腰直角三角形，得到，进而得到． 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 4．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图所示，已知，点P在上，，点M，N在上．，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过P作垂足为C，由等腰三角形三线合一的性质可得，再利用含30度直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：过P作垂足为C， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在边上，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，从而得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， 在中，， ． 6．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，若，则___________度． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，由，得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，点D、E分别是的三等分点，连接，与相交于点M．那么：①是等腰三角形；②点M在的平分线上；③．以上结论正确的有__________． 【答案】①②/②① 【分析】连接，根据证明得，进而可证，可判断①正确；根据证明得，可判断②正确；由三等分点定义得，结合与同高，可判断③不正确． 【详解】解：如图，连接， ∵点D、E分别是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上，故②正确； ∵点D是的三等分点， ∴， ∵与同高， ∴，故③不正确． 综上可知，正确的有①②． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 9．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 10．（2026·河南三门峡·二模）对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． (1)已知在中，，，，为边上的高，求的长． (2)如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（     ） A．    B． C．        D．． (3)如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据等面积法求出结果即可； （2）根据阴影部分面积相等进行求解即可； （3）根据等边三角形的性质和勾股定理，求出的面积，再根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，且， 为边上的高，， ， ∴． （2）解：图和图都是边长为的正方形，且都含有四个全等的直角三角形，所以它们的阴影部分的面积相等． 图中，， 图中，， ． （3）解：如图，过点A作，垂足为G， 是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 如图，连接，，， ， ． ． 1．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）如图，在中，，，点E在边上，点D在边上，当时，正方形的顶点G恰好落在边上，则正方形的面积是________． 【答案】 【分析】过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交于点．若 则的长为____________． 【答案】3或5 【分析】先作，再利用旋转和等腰直角三角形性质，证，接着由，在等腰直角中算出，得，最后分点在左侧，右侧两种情况，求出的长为3或5． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且, ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时，同理可得， ∴， 综上所述，的长为3或5． 【点睛】通过辅助线构造全等，把旋转条件转化为边的等量关系，再结合分类讨论避免漏解． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）解决问题 (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数； (2)拓展探究 ①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； ②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先证明，那么，根据全等三角形证明，求出，得出，从而得到； （2）证明，得出，进一步得到；②设的面积为，的面积为，由，可得与的面积相等，推出，进而得到为的面积，再根据，均为等腰直角三角形，且，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴； ②设的面积为，的面积为， ∵， ∴与的面积相等， ∵为面积，为面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图恩 暑假作业02等腰三角形与等边三角形问题 知识复盘卡 【知识点1等腰三角形的定义与基本元素】 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 (1)相等的两边叫腰，第三边叫底边； (2)两腰的夹角叫顶角，腰与底边构成的角叫底角（两个底角互为对应角）。 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等），所以等腰三角形的一切性质等边三角形都具 备。 【知识点2等腰三角形的性质启理】 B 1.性质1：等边对等角 (1)定理：等腰三角形的两个底角相等。 (2)几何语言：在△ABC中，若AB=AC,则∠B=∠C。 (3)这是等腰三角形最重要、最基础的性质，也是后续“三线合一”证明的依据。 (4)证明路径：作顶角平分线AD,用SAS证△ABD≌△ACD=∠B=∠C。（典型思路：构造全等) 2.性质2：三线合一（核心推论）》 (1)推论（三线合一）：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（实为 同一条线段)。 (2)三种等价表述（设△ABC中AB=AC,AD所在直线交BC于D): (3)已知其中一个条件，可推出的另外两个 ①AD平分∠BAC(顶角平分线)→BD=CD(D为BC中点)且AD⊥BC 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ② AD⊥BC(底边上的高)→BD=CD且AD平分∠BAC ® BD=CD(底边上的中线)→AD⊥BC且AD平分∠BAC 3. 性质3：轴对称性 (1) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（即底边上的高线/底边上的中线）所在的直线。 (2)等边三角形有三条对称轴（每条边上的“高线/中线/顶角平分线”所在直线）。 【知识点3等腰三角形的销判定定理】 1.判定1：等角对等边（定理级，需证明） (①)定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即： (2)在△ABC中，若∠B=∠C,则AB=AC。(该三角形为等腰三角形) (3)证明常用方法：作BC边上的高AD(或作∠A的平分线)，用AAS证全等-对应边相等。 (4)前提强调：两个角必须是同一个三角形的内角(“在同一个三角形中，等角对等边”)。 2.判定2：定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（直接使用，多用于选择题/填空题识别） 【知识点4等边三角形：特殊的等腰三角形】 1. 等边三角形的性质 (I)三条边都相等：AB=BC=CA (2)三个内角都相等，且每个角=60° (3)具备等腰三角形的一切性质（等边对等角√、三线合一√、轴对称√） (4)有三条对称轴；任意一条边上的中线/高/所对角的平分线都“三线合一” 2.等边三角形的判定（三条路径） (①)定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形（一每个角=60°） (3)60°+等腰法（最常用）：有一个角=60°的等腰三角形是等边三角形 (④)注意区分：单独知道“一个三角形有一个角=60°”不能推出等边，必须先确认它是等腰三角形 (或再配合另一个60°边等条件)。 【知识点5等腰三角形常见辅助线】 1.作顶角平分线（最经典）→同时得到全等十底边平分十垂直（三线合一的证明框架）》 2. 作底边上的高/底边上的中线→同样走全等路线 3.遇“两线合一”条件时，反向识别等腰三角形（如：已知一条线既是角平分线又是高等腰） 4.遇等边士平行线组合→产生新的等角关系，进而推出新等腰（见下方"隐形等腰"模型） 培优拓展训练 ★巩固提升练 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01等边对等角 1.(2026河南三门峡·二模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，过点C作CD∥AB,连接 AD交BC于点E,若LD=23°，则∠1的度数为() D B A.63 B.67° C.68° D.70° 2.(25-26七年级下广东深圳期中)如图，己知△ABC≌△ADE,点D恰好在BC边上，若∠EDC=36°， 则∠B的度数是 A D 题型02三线合一 1.(2026陕西西安·三模)如图，以正五边形ABCDE的AB边为边长向其内部作正三角形ABP,连接AC, 则∠PAC的大小为· D E A B 2.(2026四川绵阳二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=3,将边AC沿CE翻折，使 点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点M处，两条折痕与 斜边AB分别交于点E、F,则线段EF的长为 题型03等边三角形的性质 1.(25-26八年级下·北京期中)如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,D为BC中点，P 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为 C P 2.(2026陕西西安·三模)如图四边形ABCD中，AE⊥BC于点E,∠EAD=90°，连接AC、BD交于点O ,若点O是BD的中点，AB=AC.求证：AD=2BE. 题型04根据等角对等边证明等腰三角形 1.(2026福建福州二模)如图，己知Rt△ABC,∠BAC=90°，AB=AC，AD是中线. B D (I)尺规作图：求作线段BE,使得BC平分∠ABE,且BE=BD,连接ED并延长交BA延长线于点F(保 留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：AD=AF. 2.（25-26七年级下陕西西安期中)按要求解答问题： (I)如图1，ABC、△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC,连AD, BE,当A、D、E三点共线时，AD与BE的数量关系为· B 图1 (2)如图2，ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,BE延长线与AD交于点F,则∠AFB的度 数是多少？ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 (3)如图3，公园里有一块等边三角形绿地ABC,绿地中央有两条景观小路DF、BE,其中点D,E, F分别在绿地边沿BC,AC，AB上，两条小路交于凉亭G.已知BD=BE,且两条小路的夹角 ∠BGF=60°，DG=80m,，AE=60m,为改善公园景观，管理部门计划在绿地右侧空地修建一个等边 三角形花坛△DB!,并铺设一条从凉亭G到花坛顶点I的直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道 G的长度. G 分 分 图3 题型05根据等角对等边证明与求值 1.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC 于点E,AD与BE相交于点F,连接CF并延长交AB于点G,交∠AEB的平分线EH于点H,连接 AH.则下列结论错误的是() H G D A.∠EBD=45°B.HE∥BC C.CH=AB-AH D.AH=HF 2.(25-26七年级下陕西西安期中)如图，在等边ABC中，D、E两点分别是边AB、AC上的动点， 且BD=2AE,将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF,连接BF,若等边三角形的边长为10， 则线段BF长度的最小值为·（提示：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半） 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A E 题型06等腰三角形的性质和判定 1.(2026浙江宁波·二模)如图，∠ACB=90°，在射线CA上取一点D,以点C为圆心，CD长为半径画弧； 再以点D为圆心，CD长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部相交于点E,连接DE并延长交射线CB于点 F,设CD=3,则CF的长是 A D FB 2.(25-26八年级下·陕西渭南期中)如图，在ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点 E,连接CD,DE平分∠ADC,在BC边上取点F,连接DF,∠DFC=45°，过点D作DM⊥BC于 点M. D B F M (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若BC=12,BF=2,，求DM的长. 题型07等边三角形的判定 1.(25-26八年级下·广东清远期中)如图，锐角ABC的两条高BE、CD相交于点O,且0B=OC. D (I)求证：ABC是等腰三角形； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由. 2.(2026重庆渝中.三模)如图，在ABC中，LABC=2LC,点E为BC边的中点. A B E (I)用尺规完成基本作图：作∠ABC的平分线交AC于点F,连接EF,在AB边上截取BG=BE,连接 FG.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：FG L AB,请根据以下思路完成填空： 证明：：BF平分∠ABC, ∠ABF=∠FBC,∠ABC=2∠FBC. :∠ABC=2∠C, ①_， .FB=FC. :E为BC的中点， ②_， .∠BEF=90°. 在△BFG与△BFE中， 「BG=BE ③， BF=BF △BFG≌△BFE SAS）. ∠BGF=∠BEF=90°. FG⊥AB. 题型08等边三角形的性质 1.(2026河南周口·二模)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8.点D是BC边上一点，将 △ABD沿AD折叠，点B的对应点为B.若B'D∥AC,则BD的长为 B D 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下·上海阶段检测)如图，在ABC中，点D、E是边BC上两点，且 AD=AE,∠BAE=∠CAD. B D (I)求证：△ABE≌△ACD: (2)如果∠BAE=∠CAD=90°且AD=BD,试判断ADE的形状，并说明理由. 题型09含30度角的值角三角形 1.(2026宁夏吴忠二模)为探究平行线的有关性质，小明用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点 A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时， ∠ADE的大小为· D F 2.(25-26八年级下·四川达州期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为 G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交AB,AC于点E,F. B (I)求证：△ABD是等边三角形； (2)若DG=2,求AC的长； (3)求证：AB=AE+AF· ★能力培优练 1.(2026安微合肥模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=30°，BD⊥AC于点D.若CD=1, 则BD的长为() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B A.3 B./ C.2+5 D.3+V5 2.(25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测)下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是() 409 6 40° A B 6 6 70 人70° 6 6 40° 70°V D 70° 709 6 3.(25-26八年级下·河北邢台阶段检测)如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=(). A.30 B.45° C.60° D.75° 4.(25-26八年级下·广东河源阶段检测)如图所示，已知∠A0B=60°，点P在0A上，0P=12,点M, N在OB上.PM=PN,若MN=1,则OM的长为(). A 060° MN B A.5cm B.5.5cm C.6cm D.7cm 5.(25-26七年级下·山西临汾期末)如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE,∠EAC=40°，∠B=∠ADB, 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则∠ADE的度数为· B D 6.(25-26七年级下·上海阶段检测)如图，已知AB∥CD,AB=AC,若∠BCD=65°，则∠BAC= 度 CD 7.(25-26八年级下.宁夏银川期中)如图，己知AB=AC,点D、E分别是AB、AC的三等分点，连接 BE、CD、DE,BE与CD相交于点M.那么：①△MDE是等腰三角形；②点M在∠A的平分线上；③ S.ADE=3SBDE·以上结论正确的有 D B 8.(25-26七年级下·广东深圳期中)如图，已知ABC和ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个角 都是60°的三角形)，且点D在CB的延长线上，连接BE与AD相交于点P. E A P B D (I)求证：△ACD≌△ABE; (2)求∠EBD. 9.(25-26八年级下·江西九江阶段检测)如图，在ABC中，AB=BC,点D在AB的延长线上，过点D 作DE⊥AC于点E,交BC于点F. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (I)求证：BDF是等腰三角形. @若BD=号4B,求证：EF=DF。 10.(2026河南三门峡·二模)对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由 此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法.请据此解答下列问题. (I)已知在ABC中，BC=5,AC=I2,AB=13,CD为AB边上的高，求CD的长. (2)如图1-1,1-2所示都是边长为a+b)的正方形，这两个图直观地证明了（) b b 0 6 图1-1 图1-2 A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.（a-b12=a2-2ab+b2 C.a2+b2=c2D.(a+b)(a-b)=a2-b2. (3)如图2，已知ABC是等边三角形，AB=6,点P是ABC外一点，过点P作三边所在直线的垂线： PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.直接写出PD+PE-PF的值， 图2 ★7创新拓展练 1.(25-26七年级下·山东淄博·阶段检测)如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC=5,点E在边BC上， 点D在边AC上，当CD=2CE时，正方形DEFG的顶点G恰好落在边AB上，则正方形DEFG的面积 是 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D .∠DGH+∠HDG=90°， B E 2.(2026河南周口·二模)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在射线BC上，将线段 AD绕点A逆时针旋转45得到线段AE,过点E作EF∥BC,交AB于点F.若EF=√2，则BD的长 为 A D 3.(25-26七年级下·广东佛山期中)解决问题 图1 图2 (1)问题发现 如图I,△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数； (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、 E在同一直线上，连接BE.求∠AEB的度数； ②如图2，记S为△AOC面积，S2为△B0E面积，设S=S,-S2,CE=n,求S关于n的数量关系式