7.1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线拟合与一元线性回归方程，以恩格尔系数情境导入，通过散点图直观分析变量相关性，逐步过渡到最小二乘原理及回归方程求解，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于结合节能降耗、广告销售额等实例，通过自我诊断、典型例题及跟踪训练，渗透数学建模与数据分析核心素养，总结通性通法，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了 解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一 元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相 关的统计软件 数学抽象、 数学建模、 数据分析 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测 数学建模、 数学运算、 数据分析 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食品支出 占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标.其计算公式： 恩格尔系数＝食品支出金额÷总支出金额.一个家庭收入越少，家庭收 入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出 所占的比例就越大，随着家庭收入的增加， 家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食 品的支出所占比例将会下降. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个 变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　直线拟合 1. 散点图：在平面直角坐标系中，每个点对应的一对数据（ xi ， yi ） 称为 ，这些点构成的图称为散点图. 2. 曲线拟合与直线拟合 （1）曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种 关系，这些点会有一个大致趋势，这种 ⁠通常可以用 一条 的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为 曲线拟合； 成对数据　 趋势　 光滑　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）直线拟合：若在两个变量 X 和 Y 的散点图中，所有点看上去都 在 ⁠附近波动，此时就可以用一条直线来近似地 描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合. 【想一想】 　若两个变量 X 与 Y 的关系能用直线来拟合，则 X 与 Y 是函数 关系吗？ 提示：不一定是. 一条直线　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　一元线性回归方程 1. 最小二乘法：对于给定的两个变量 X 和 Y ，可以把其成对的观测值 （ x1， y1），（ x2， y2），…，（ xn ， yn ）表示为平面直角坐标系 中的 n 个点，现在希望找到一条直线 Y ＝ a ＋ bX ，使得对每一个 xi （ i ＝1，2，…， n ），由这个直线方程计算出来的值 a ＋ bxi 与实 际观测值 yi 的差异尽可能 .为此，希望[ y1－（ a ＋ bx1）]2＋ [ y2－（ a ＋ bx2）]2＋…＋[ yn －（ a ＋ bxn ）]2达到 .换句话 说，我们希望 a ， b 的取值能使上式达到最小，这个方法称为最小 二乘法. 小　 最小　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 线性回归方程、回归直线、线性回归方程的系数 若变量 X 和 Y 的 n 对观测值为（ x1， y1），（ x2， y2），…，（ xn ， yn ），使[ y1－（ a ＋ bx1）]2＋[ y2－（ a ＋ bx2）]2＋…＋[ yn －（ a ＋ bxn ）]2达到最小的 a ， b 取值为 ＝ ， ＝ ⁠. 　 － 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 其中， ＝ （ x1＋ x2＋…＋ xn ）， ＝ （ y1＋ y2＋…＋ yn ）.这时直线方程 Y ＝ ＋ X 称作 Y 关于 X 的线性回归方程， 相应的 称作 Y 关于 X 的回归直线， ⁠是这个线 性回归方程的系数. 直线　 ， 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 回归直线与样本点的中心（ ， ）之间有什么关系？（其中， ， 分别是变量 x1， x2，…， xn 和 y1， y2，…， yn 的平均数） 提示：由 ＝ － 可知，回归直线一定经过样本点的中心（ ， ）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性. （　√　） （2）选取一组数据的部分点得到的线性回归方程与由整组数据得 到的线性回归方程一定相同. （　×　） （3）根据线性回归方程得到的结论一定是可靠的. （　×　） √ × × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知 X ， Y 之间的一组数据： X 0 1 2 3 Y 1 2 4 5 Y 关于 X 的线性回归方程 Y ＝ X ＋ 必过点（　　） A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1，2） D. （1.5，3） 解析：　回归直线必过样本点的中心（ ， ），由表中数据可知 ＝1.5， ＝3. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 某地区近十年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 ＝0.8 x ＋0.1（单位：亿元），预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支 出估计是 亿元. 解析：∵ ＝0.8 x ＋0.1，∴ ＝0.8×15＋0.1＝12.1（亿元）. 12.1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求线性回归方程 【例1】　某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额与利润额的有 关数据如下表： 商店名称 A B C D E 销售额X/千万元 3 5 6 7 9 利润额Y/百万元 2 3 3 4 5 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）画出销售额和利润额的散点图； 解：散点图如下： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）试用最小二乘法求出 Y 关于 X 的线性回归方程. 解：数据如下表： i xi yi ​ xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合计 30 17 200 112 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 可以求得 ＝6， ＝ ， ＝ ＝0.5， ＝ － ＝0.4. 线性回归方程为 Y ＝0.5 X ＋0.4. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求线性回归方程的步骤 （1）画出成对样本数据对应点的散点图，确定两变量之间的关系. 若（ xi ， yi ）对应的点都在某一条直线附近，则两变量具有 线性关系； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）当两变量线性相关已确定，在此统计意义下，利用最小二乘法 公式 ＝ ，求 ；用 ＝ － ，求 ；得到线性回 归方程 Y ＝ ＋ X . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记 录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组 对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）画出散点图； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由题设所给数据，可得散点 图如图， y 与 x 成线性相关关系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归 方程 ＝ x ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由表中数据计算得 ＝86， ＝ ＝4.5， ＝ ＝3.5， xiyi ＝66.5， 所以由最小二乘法确定的线性回归方程的系数为 ＝ ＝ ＝0.7， ＝ － ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求线性回归方程为 ＝0.7 x ＋0.35. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 一元线性回归方程的应用 【例2】　为研究某城镇居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的 关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下： 月人均收入X/元 300 390 420 520 570 月人均生活费 支出Y/元 255 324 335 360 450 月人均收入X/元 700 760 800 850 1 080 月人均生活费 支出Y/元 520 580 600 630 750 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月 人均生活费支出. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：作出散点图（如图所示），由图可知，月人均生 活费支出与人均收入之间能用直线拟合. 通过计算可得 ＝639， ＝480.4， ＝4 610 300， ＝2 540 526， xiyi ＝3 417 560， ∴ ＝ ≈0.659 9， ＝ － ≈58.723 9. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∴线性回归方程为 Y ＝0.6599 X ＋58.723 9. 将 x1＝1 100代入得 y1≈784.61（元）；将 x2＝1 200代入得 y2≈850.60（元）.故预测月人均收入分别为1100元和1 200元的两家庭的月人均生活费支出分别为784.61元和850.60元. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 一元线性回归方程的应用 （1）可以利用一元线性回归方程 Y ＝ ＋ X 预测在 x0取某一个值 时， y0的估计值； （2）线性关系确立之后， Y ＝ ＋ X 具有了统计意义，可用线性回 归方程进行预测和控制. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某种产品的广告费用支出 X （单位：百万元）与销售额 Y （单 位：百万元）之间有如下的对应数据： 广告费用支出 X/百万元 2 4 5 6 8 销售额Y/百万元 30 40 60 50 70 （1）画出散点图； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：散点图如图所示. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）试用最小二乘法求出 Y 关于 X 的线性回归方程； 解：列出下表， i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 ​ 4 16 25 36 64 145 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 所以 ＝ ＝5， ＝ ＝50， ＝145， xiyi ＝1 380.于 是可得 ＝ ＝ ＝6.5， ＝ － ＝50－ 6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为 Y ＝6.5 X ＋17.5. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 解：根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万 元时，销售额估计为6.5×10＋17.5＝82.5（百万元）. 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是 （　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 解析：　①③中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 由变量 x 与 y 相对应的一组数据（1， y1），（5， y2），（7， y3），（13， y4），（19， y5）得到的线性回归方程为 ＝2 x ＋ 45，则 ＝（　　） A. 135 B. 90 C. 67 D. 63 解析：　∵ ＝ （1＋5＋7＋13＋19）＝9， ＝2 ＋45，∴ ＝ 2×9＋45＝63，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知 X ， Y 的取值如下表所示，若变量 Y 与 X 能用直线拟合，且 Y ＝ 0.95 X ＋ ，则 ＝（　　） X 0 1 3 4 Y 2.2 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.9 C. 2.8 D. 2.6 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由表格得 ＝ ×（0＋1＋3＋4）＝2， ＝ ×（2.2＋ 4.3＋4.8＋6.7）＝4.5，因为回归直线过样本点的中心（2，4.5）， 所以4.5＝0.95×2＋ ，所以 ＝2.6. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. （多选）下列有关线性回归方程 ＝ x ＋ 叙述正确的是（　　） A. 反映 与 x 之间的函数关系 B. 反映 y 与 x 之间的函数关系 C. 表示 与 x 之间不确定关系 D. 表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线 解析：　 ＝ x ＋ 表示 与 x 之间的函数关系，而不是 y 与 x 之 间的函数关系，但它反映的关系最接近 y 与 x 之间的真实关系，故选 A、D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 若根据5名儿童的年龄 x （岁）和体重 y （kg）的数据用最小二乘法 得到用年龄预报体重的线性回归方程是 ＝2 x ＋18，已知这5名儿 童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是 ⁠kg. 解析：由题意： ＝ ＝4，由于回归直线过样本的中心点 （ ， ），所以 ＝2 ＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿童的平均 体重是26 kg. 26　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如 果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有 线性相关关系，此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之 间的关系. 　非线性回归模型 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 非线性回归方程 当回归方程不是形如 ＝ x ＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性回 归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合 适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建 立两个变量间的非线性回归方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型 y ＝e bx＋ a ①函数 y ＝e bx＋ a 的图象，如图（ⅰ）； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ②处理方法：两边取对数得ln y ＝ln e bx＋ a ，即ln y ＝ bx ＋ a .令 z ＝ln y ，把原始数据（ x ， y ）转化为（ x ， z ），再根据求一 元线性回归模型的方法求出 a ， b . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）对数函数型 y ＝ b ln x ＋ a ①函数 y ＝ b ln x ＋ a 的图象，如图（ⅱ）； ②处理方法：设x'＝ln x ，原方程可化为 y ＝bx'＋ a ，再根据求 一元线性回归模型的方法求出 a ， b . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）二次函数型 y ＝ bx2＋ a 处理方法：设x'＝ x2，原方程可化为 y ＝bx'＋ a ，再根据求一 元线性回归模型的方法求出 a ， b . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【例】　下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 （1）作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：作出散点图如图， 从散点图可以看出 x 与 y 不 具有线性相关关系，数形 结合可猜测样本点分布在 某一指数型函数 y ＝ c1 的周围，其中 c1， c2为待定 的参数，即 x 与 y 之间的关 系为 y ＝ c1 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）通过 x 与 y 的关系，建立回归模型； 解：对（1）中猜测结果两边取对数把指数关系变为线性关 系，令 z ＝ln y ，则变换后的样本点应分布在直线 z ＝ bx ＋ a （ a ＝ln c1， b ＝ c2）的周围，这样就可以利用线性回归模型 来建立 y 与 x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得线性回归方程为 ＝0.272 x －3.849， ∴ ＝e0.272 x－3.849. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）利用所得模型，预测 x ＝40时 y 的值. 解：当 x ＝40时， ＝e0.272×40－3.849≈1 131. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 解非线性回归分析问题的一般步骤 　　有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知 数据画出散点图，与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数 等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适 当的变量进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决. 一般步骤为： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【迁移应用】 　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上 的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、 每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，不重复.数独爱好者小明打 算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独 APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度 y （秒）与训练天 数 x （天）有关，经统计得到如表的数据： x （天） 1 2 3 4 5 6 7 y （秒） 990 990 450 320 300 240 210 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）现用 y ＝ a ＋ 作为回归模型，请利用表中数据，求出该回 归方程； 解：由题意得 ＝ ×（990＋990＋450＋320＋300＋240 ＋210）＝500， 令 t ＝ ，设 y 关于 t 的线性回归方程为 ＝ t ＋ ， 则有 ＝ ＝ ＝1 000， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝500－1 000×0.37＝130， 所以 ＝1 000 t ＋130， 又 t ＝ ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 ＝ ＋130. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题 的平均速度 y 约为多少秒？ 参考数据 ： tiyi ＝1 845， ＝0.37， －7 ＝0.55. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 参考公式：对于一组数据（ u1， v1），（ u2， v2），…，（ un ， vn ），其回归直线 ＝ ＋ u 的斜率和截距分别为： ＝ ， ＝ － · . 解：当 x ＝100时， ＝140， 所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $