1.2　空间两点间的距离公式 2026-2027学年高二上学期数学 北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习以“空间两点间的距离公式”为核心，通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从公式直接应用到空间几何综合问题的进阶，培养数学眼光中的空间观念与数学思维中的推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点距离计算、中线长、轨迹方程|选择填空为主，如比较两点距离（题1）、求z轴上满足条件的点（题7），直接巩固公式应用| |综合运用|对称点距离、最值问题、动态点距离|结合几何性质，如xOy平面反射距离（题4）、面面垂直中动态点距离（题13），提升推理能力| |拓展提高|空间几何体中距离|四面体距离问题（题14），需建模与综合运算，发展创新意识|

1.2　空间两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则(　　) A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD| C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD| 2.已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为(　　) A. B.2 C.11 D.3 3.与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　) A.10x＋2y＋10z－37＝0 B.5x－y＋5z－37＝0 C.10x－y＋10z＋37＝0 D.10x－2y＋10z＋37＝0 4.一束光线自点P(1，1，1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　) A. B.12 C. D.57 5.已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是(　　) A. B. C.3 D. 6.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的有(　　) A.(1，1，1) B.(1，2，2) C.(2，－3，5) D.(3，0，4) 7.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为　　　　.  8.已知三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为　　　　.  9.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝　　　　.  10.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 二、综合运用 11.(多选)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是(　　) A.该点到原点的距离是 B.该点到原点的距离是3 C.这样的点有4个 D.这样的点有8个 12.点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是　　　　，|PA|的最大值是　　　　.   13.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a<). (1)用a表示出|MN|的长; (2)当a为何值时，|MN|的长最小. 三、拓展提高 14.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|＝|PB|＝|PC|＝a，求点P到平面ABC的距离. 提示:若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心坐标为 . 1.2　空间两点间的距离公式 一、基础巩固 1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则(　　) A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD| C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD| 答案　D 解析　因为|AB|＝ ＝≥， |CD|＝，所以|AB|≥|CD|，故选D. 2.已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为(　　) A. B.2 C.11 D.3 答案　B 解析　由中点坐标公式得，D(4，1，－2)， 所以|AD|＝＝2，故选B. 3.与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　) A.10x＋2y＋10z－37＝0 B.5x－y＋5z－37＝0 C.10x－y＋10z＋37＝0 D.10x－2y＋10z＋37＝0 答案　A 解析　由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A. 4.一束光线自点P(1，1，1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　) A. B.12 C. D.57 答案　C 解析　由题意，点P(1，1，1)关于平面xOy的对称点为M(1，1，－1)， 则|QM|＝ ＝. 5.已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是(　　) A. B. C.3 D. 答案　B 解析　因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m，1－m，0)，由空间两点间的距离公式，得|AB|＝ ＝. 令t＝2m2－2m＋9＝2， 当m＝时，t的最小值为， 所以当m＝时，|AB|的最小值为 ， 即A，B两点的最短距离是. 6.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的有(　　) A.(1，1，1) B.(1，2，2) C.(2，－3，5) D.(3，0，4) 答案　CD 解析　由<5， <5，>5， ＝5， 可得，到原点的距离不小于5的为C，D， 又>3，＝4>3， 故满足到x轴的距离大于3，故选CD. 7.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为　　　　.  答案　(0，0，3) 解析　∵P在z轴上，可设P(0，0，z)， 由|PA|＝|PB|， ∴ ＝， 解得z＝3. 8.已知三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为　　　　.  答案　 解析　设AC的中点G， ∵三角形三个顶点为A(2，－1，4)， B(3，2，－6)，C(5，0，2)， ∴G， ∴|BG|＝. 9.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝　　　　.  答案　2 解析　由距离公式 |AB|＝; |AC|＝ ＝; |BC|＝ ＝; ∵∠BAC＝90°， ∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2， ∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1， 解得x＝2. 10.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 解　由空间两点的距离公式得|AB|＝ ＝ ＝ 当x＝时，|AB|有最小值. 此时A，B. 二、综合运用 11.(多选)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是(　　) A.该点到原点的距离是 B.该点到原点的距离是3 C.这样的点有4个 D.这样的点有8个 答案　AD 解析　在空间直角坐标系中，到三个坐标平面的距离都是1的点的坐标为(±1，±1，±1)，这样的点有8个，这些点到坐标原点的距离是，故选AD. 12.点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是　　　　，|PA|的最大值是　　　　.   答案　3　5 解析　因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面， |OA|＝＝4. 所以|PA|min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3， |PA|max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5. 13.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a<). (1)用a表示出|MN|的长; (2)当a为何值时，|MN|的长最小. 解　∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD， ∴AB，BC，BE两两垂直. 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC， 垂足分别为G，H， 连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a， ∴|CH|＝|MH|＝|BG| ＝|GN|＝a， 以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 则M，N. (1)|MN|＝ ＝. (2)由(1)得，当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N恰好为AC，BF的中点. 三、拓展提高 14.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|＝|PB|＝|PC|＝a，求点P到平面ABC的距离. 提示:若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心坐标为 . 解　根据题意，以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a). 过P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离. 因为|PA|＝|PB|＝|PC|， 所以|HA|＝|HB|＝|HC|， 所以H为△ABC的外心. 又因为△ABC为正三角形，所以H为△ABC的重心，可得H点的坐标为， 所以|PH|＝a， 所以点P到平面ABC的距离为a. 学科网（北京）股份有限公司 $