第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试·提升卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 预备知识·提升通关（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C C A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1) (2) (3) 【详解】（1）由，， 得. （4分） （2）由，， 得；（8分） （3）由，得或，（10分） 又，所以.（13分） 16． （15分） (1)(2) 【详解】（1）时，，， 即，（3分） 由得，解得（6分） 又， 而，都为真命题，所以；（7分） （2），， （10分） 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为，（14分） 所以.（15分） 17． （15分） (1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立；（2分） 当时，，即，解得，（4分） 所以a的取值范围是.（5分） （2）不等式，（7分） 当时，不等式为，解得；（9分） 当时，不等式为，解得或；（11分） 当时，不等式为， 若，解得；（12分） 若，则无解；（13分） 若，解得，（14分） 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.（15分） 18． （17分） (1)，； (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 【详解】（1）由题意可知，，（3分） 因为时，，所以，解得：，（5分） 所以，；（6分） （2）因为，所以，，（8分） ，（14分） 当即时等号成立，（16分） 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由解得：，（2分） 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， （4分） 令，， 则， （6分） 解得：， 实数的范围为（8分） （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令，（10分） ，， 设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； （12分） ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．  （14分） 综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：，（16分） 原不等式的解集的区间长度之和为2.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 预备知识·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 4．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 5．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 7．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题：，则命题的否定为 C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．函数的最小值为 10．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，，则的取值范围是 13．已知实数，满足，，则范围是 14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 16． （15分） 设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 18．（17分） 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 19． （17分） 定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 预备知识·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 4．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 5．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 7．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题：，则命题的否定为 C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．函数的最小值为 10．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，，则的取值范围是 13．已知实数，满足，，则范围是 14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 16． （15分） 设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 18．（17分） 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 19． （17分） 定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 预备知识·提升通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】因为，所以， 故选:B． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B 3．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 4．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 5．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 6．已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值. 【详解】已知，，且， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 则. 故选：A. 7．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 8．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题：，则命题的否定为 C．不等式成立的一个充分不必要条件是或 D．函数的最小值为 【答案】ABC 【分析】由时，等价或，可判断A，由全称命题的否定为特称命题可判断B，由分式不等式求解可判断C，结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，当时，成立； 而当时，可得或，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确 对于B， ：的否定是，B正确 对于C，或， 而或 则或是成立的一个充分不必要条件，C正确 对于D， 根据不等式 则 当且仅当，即时取等号，最小值是不是，D错误 故选：ABC 10．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 11．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解特征即可求解A，根据一元二次解恒成立，即可分类讨论求解B，根据恒成立，利用一次函数的性质即可求解C，根据二次函数的图象特征即可求解D. 【详解】当时，由，解得，故A错误； 若不等式对恒成立，则当时，恒成立， 当时，，且，解得， 综上，， 则整数的取值集合为，故B正确； 若不等式对恒成立，则， 即解得，故C正确； 若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，且对称轴为，所以该整数解为， 结合二次函数的图象，可得即解得，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据和讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 13．已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 14．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助交集定义计算可得答案； （2）借助并集定义计算可得答案； （3）借助补集定义先计算出，再利用交集定义计算可得答案. 【详解】（1）由，， 得. （2）由，， 得； （3）由，得或， 又，所以. 16．（15分）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 17．（15分）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立列式求出范围. （2）原不等式化为，再按分类讨论求解不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立； 当时，，即，解得， 所以a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，若，解得； 若，则无解；若，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．（17分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值. 【答案】(1)，； (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 【分析】（1）根据条件列出函数关系式，再代入数值求，即可求解； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可知，， 因为时，，所以，解得：， 所以，； （2）因为，所以，， ， 当即时等号成立， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为. 19． （17分）定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解得，则不等式对任意恒成立，得，解之即可； （2）分类讨论当或、时，结合新定义解出对应的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $