第二章 函数（单元测试·基础卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第二章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式及分式的性质，列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意，，解得且，的定义域是． 故选：C． 2．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 3．下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，且， 即为奇函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数在上为增函数，符合题意； 对于C，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D，的定义域为R，， 即函数不是偶函数，不符合题意， 故选：B 4．已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， 则， 解得. 故选：A. 6．函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 7．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 8．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据同一函数的定义，对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断. 【详解】对于选项. 函数，定义域为，化简得. 函数，定义域为. 两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为，化简得. 两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为，值域为. 函数，定义域为，值域为. 即对，有.故两函数是同一函数.选项正确. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为. 对，有，故两函数是同一函数.选项正确. 故选： 10．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B，求出函数的定义域、从而求出值域，即可判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A：函数，在上单调递增，又，， 所以，的值域为，故A正确； 对于B：函数在上单调递减，又，， 所以，故B正确； 对于C：函数，令，解得， 即函数的定义域为，则，则，， 所以，故C正确； 对于D：因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以，故D错误； 故选：ABC 11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D. 【详解】设幂函数 将点代入函数得：，则， 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确； 因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确； 当时，，即，所以C正确； 时， ， 所以，又， 所以成立，所以D不正确. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由，化简得到，从而判断出选项D的正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是一次函数且，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 13． 已知的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 14． 已知表示不超过的最大的整数，如，，若方程的正实数根为，则 ．（参考数据：）. 【答案】 【分析】由题意可得，再代入化简求解即可. 【详解】方程的正实数根为，则，，则. 故 . 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式. 【答案】(1)​，； (2)当时，. 【分析】（1）求出时的函数，结合奇函数性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. 【详解】（1）函数，则当时，，， ………（3分） 由函数是定义在R上的奇函数，得. ………（5分） （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. ………（7分） 则.. ………（13分） 16．（15分） 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． .【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，结合可求得，； （2）根据函数单调性的定义,任取，且，计算推得,即得函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，得，所以，. ………（2分） 又得：，得，. ………（4分） 此时函数满足,是奇函数，. ………（5分） 故，.. ………（6分） （2）由，得， ，，且，有. ………（7分） ，. ………（11分） 由于，所以，，. ………（13分） 所以，即，. ………（14分） 所以函数在区间上单调递增.. ………（15分） 17．（15分） 已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，. ………（2分） 所以，解得，. ………（4分） 又因为，则m的值为，. ………（5分） 函数为偶函数，所以为偶数，所以．. ………（7分） （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，. ………（9分） 所以不等式，即为，. ………（12分） 解得或，即的取值范围是．. ………（15分） 18．（17分） 设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别作出的图象，进而可得的图象，结合图象得到值域； （2）若对任意，总存在，使得成立， 则在上的值域为的子集即可. 【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故，. ………（2分） 由图可知：的值域为；. ………（4分） （2）函数，. ………（5分） 由于，所以，故，. ………（6分） 当时，， 在单调递减，在单调递增，. ………（8分） 且，故在取最大值，在取最小值， 故，. ………（10分） 当时，，在单调递增，，. ………（12分） 若对任意，总存在，使得成立， 则在上的值域为的子集即可，. ………（14分） 故，即，解得， 或者，解得. ………（16分） 综上，所求的范围为；. ………（17分） 19．（17分） 设函数对任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令，求得， （2）令即可证明； （3）利用定义可判断在上为减函数，再由题可将不等式化为，由函数单调性可得，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）由于函数对任意，，都有， 设，，则可求得.. ………（2分） （2）证明：设，则，. ………（3分） 即，又因为定义域为关于原点对称， 所以为奇函数．. ………（5分） （3）任取，则，根据， 可得，即，所以为减函数，. ………（7分） ，即为，. ………（9分） 即，即有，. ………（11分） 由于在上是减函数，则，即为，. ………（13分） 即有，. ………（14分） 当时，即有，因为，则. ………（15分） ①当时，，此时解集为，. ………（16分） ②当时，，此时解集为.. ………（17分） 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用定义证明得到函数的单调性，将不等式转化为求解. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第二章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 3．下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是一次函数且，则的解析式 ． 13．已知的定义域为，则的定义域为 . 14．已知表示不超过的最大的整数，如，，若方程的正实数根为，则 ．（参考数据：）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式. 16．（15分） 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增．. 17．（15分） 已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 18．（17分） 设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 设函数对任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)解关于的不等式：. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第二章 函数·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B A A D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD ABC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)​，； (2)当时，. 【分析】（1）求出时的函数，结合奇函数性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. 【详解】（1）函数，则当时，，， ………（3分） 由函数是定义在R上的奇函数，得. ………（5分） （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. ………（7分） 则.. ………（13分） 16．（15分） .【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，结合可求得，； （2）根据函数单调性的定义,任取，且，计算推得,即得函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，得，所以，. ………（2分） 又得：，得，. ………（4分） 此时函数满足,是奇函数，. ………（5分） 故，.. ………（6分） （2）由，得， ，，且，有. ………（7分） ，. ………（11分） 由于，所以，，. ………（13分） 所以，即，. ………（14分） 所以函数在区间上单调递增.. ………（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，. ………（2分） 所以，解得，. ………（4分） 又因为，则m的值为，. ………（5分） 函数为偶函数，所以为偶数，所以．. ………（7分） （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，. ………（9分） 所以不等式，即为，. ………（12分） 解得或，即的取值范围是．. ………（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别作出的图象，进而可得的图象，结合图象得到值域； （2）若对任意，总存在，使得成立， 则在上的值域为的子集即可. 【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故，. ………（2分） 由图可知：的值域为；. ………（4分） （2）函数，. ………（5分） 由于，所以，故，. ………（6分） 当时，， 在单调递减，在单调递增，. ………（8分） 且，故在取最大值，在取最小值， 故，. ………（10分） 当时，，在单调递增，，. ………（12分） 若对任意，总存在，使得成立， 则在上的值域为的子集即可，. ………（14分） 故，即，解得， 或者，解得. ………（16分） 综上，所求的范围为；. ………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令，求得， （2）令即可证明； （3）利用定义可判断在上为减函数，再由题可将不等式化为，由函数单调性可得，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）由于函数对任意，，都有， 设，，则可求得.. ………（2分） （2）证明：设，则，. ………（3分） 即，又因为定义域为关于原点对称， 所以为奇函数．. ………（5分） （3）任取，则，根据， 可得，即，所以为减函数，. ………（7分） ，即为，. ………（9分） 即，即有，. ………（11分） 由于在上是减函数，则，即为，. ………（13分） 即有，. ………（14分） 当时，即有，因为，则. ………（15分） ①当时，，此时解集为，. ………（16分） ②当时，，此时解集为.. ………（17分） 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用定义证明得到函数的单调性，将不等式转化为求解. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第二章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 3．下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是一次函数且，则的解析式 ． 13．已知的定义域为，则的定义域为 . 14．已知表示不超过的最大的整数，如，，若方程的正实数根为，则 ．（参考数据：）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式. 16．（15分） 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． . 17．（15分） 已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 18．（17分） 设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 设函数对任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)解关于的不等式：. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $