第1章 特殊平行四边形 单元测试卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过基础概念辨析、动态几何探究及综合证明题，全面覆盖单元核心知识，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|逆命题、矩形判定、菱形性质等|第3题结合平行四边形判定与特殊四边形性质，考查几何直观| |填空题|6/24|菱形周长、正方形重叠面积、矩形动态问题等|第6题以n个正方形重叠面积规律，体现模型意识| |解答题|8/86|矩形证明、动态点最值、旋转构造等|第8题通过旋转构造求角度与最小值，发展推理能力与创新意识|

第1章 特殊平行四边形 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个角是直角，那么它们相等 C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等 2．（5分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC 3．（5分）如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列说法不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四边形AEDF是菱形 4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD，点E为线段BC上异于端点的一动点，DH⊥AE于点F，交AB于点H，AE、BD交于点P，FG平分∠DFE交DB于点G．下列结论正确的有（　　） ①若∠BAE＝∠HDB，则S△BHD； ②若CE＝3BE，则DGPG； ③若S△ABF＝S△BDF，则BE＝2CE； ④若AB＝10，DP＝2BP，则FG． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（　　） A．3 B．6 C．24 D．48 6．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　） A． B．2 C．2 D． 7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BAD＝60°，E，F是对角线AC上的动点且EFAC，连接DE，BF，则DE+BF的最小值为（　　） A． B． C．8 D．6 8．（5分）下列判断错误的是（　　） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性质 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　 　 ． 2．（4分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　 　 ． 3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝5，则四边形OCED的周长为 　 　 ． 4．（4分）在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点，下列说法正确的是 　 　 ． ①存在无数个平行四边形MENF； ②当，且四边形MENF是矩形，AM的长为4； ③当四边形MENF是菱形时，AM的长度为3； ④不存在正方形MENF． 5．（4分）摆一摆，找规律． （1）摆第7个图形需要 　 　 根小棒． （2）有19根小棒的是第 　 　 个图形． 6．（4分）将n个边长都为2的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则2027个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分86分） 1．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 2．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 3．（10分）如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF． 4．（10分）已知：矩形ABCD中，点E在BC边上，AD＝DE，AF⊥DE于点F． （1）如图1，求证：AF＝DC； （2）如图2，连接CF，若CD＝CF，CE＝2，求线段BE的长． 5．（10分）如图，在正方形ABCD的内部作等边△ABE，连接DE、CE，对角线BD交AE于点F． （1）求∠DAE的度数； （2）求证：△CDE是等腰三角形． 6．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，一动点P从A点出发沿射线AE方向移动，连接BP，问： （1）如图（1），将BP绕点B顺时针旋转90°，点P到达点F，连接CF，当△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半时，求PA的长； （2）如图（2），将△ABP沿BP翻折，点A到达点G，连接CG，当BG＝CG时，求PA的长． 7．（12分）如图，从①BE 平分∠ABC、②CE平分∠ACD、③∠A＝2∠E中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这3个命题中，真命题的个数为　 　 ； （2）选择一个真命题并证明． 如图，已知　 　 ， 求证：　 　 ． 证明： 8．（12分）如图1，在等边三角形ABC内有一点P． （1）若PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数； （2）若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图2，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC＝1，求正方形ABCD的边长． 答案 一、选择题 1．【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意； B、如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意； D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意； 故选：A． 2．【解答】解：A、由AB＝CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； B、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项正确，符合题意； C、由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； D、由AB∥CD，AB＝BC，AC＝BD，无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形； 又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确； 如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确； 如果AD⊥BC且AB≠AC，无法判断四边形AEDF是菱形．故D错误． 故选：D． 4．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD，∠DAH＝∠ABE＝90°，∠ABD＝45°， ∵DH⊥AE， ∴∠DAE+∠ADH＝∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH， ∵∠BAE＝∠HDB， ∴∠ADH＝∠HDB， 过点H作HK⊥BD于K，如图1， 则HA＝HK，∠BKH＝90°，DK＝AD， ∴BK＝HK，BHHKAH， 设AH＝HK＝BK＝x，则BHx， ∴AD＝AB＝DK＝（1）x， ∴DH2＝AH2+AD2＝x2+（1）2x2＝（4+2）x2， ∵S△BHDBH•ADx（1）xx2， ∴S△BHDDH2，故①正确； ②∵CE＝3BE，设BE＝a，则CE＝3a， ∴正方形ABCD的边长为4a，BDAB＝4a， 在△ADH和△BAE中， ， ∴△ADH≌△BAE（ASA）， ∴AH＝BE＝a，DH＝AE， ∴DHa， ∵∠DFA＝∠DAH，∠ADF＝∠HDA， ∴△ADF∽△HDA， ∴，即， ∴DFa，AFa， ∵AD∥BC， ∴△ADP∽△EBP， ∴4， ∴DPBDa，APAEa， ∵FG平分∠DFE， ∴∠DFG∠DFE＝45°， ∴∠DFG＝∠DBH， ∵∠FDG＝∠BDH， ∴△DFG∽△DBH， ∴，即， ∴DG＝2a， ∴PG＝DP﹣DGa﹣2aa， ∴， ∴DGPG，故②错误； ③如图2，延长BF交AD于K，分别过点A，D作BF的垂线，垂足分别为M，N， ∵S△ABF＝S△BDF， ∴AM＝DN， 在△AKM和△DKN中， ， ∴△AKM≌△DKN（AAS）， ∴AK＝DKAD，设AK＝DK＝b，则正方形ABCD的边长为2b， ∴BKb， ∵∠AFD＝90°， ∴FKAD＝b， ∴BF＝BK﹣FK＝（1）b， ∵AK＝FK， ∴∠DAF＝∠AFK， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BEF， ∵∠AFK＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF＝（1）b， ∴CE＝BC﹣BE＝2b﹣（1）b＝（3）b， ∴， ∴BECE，故③错误； ④∵AB＝10，DP＝2BP， ∴BD＝10，DP， ∵AD∥BC， ∴△ADP∽△EBP， ∴， ∴BEAD＝5， ∴AH＝BE＝BH＝5，DH＝AE＝5， ∵△ADF∽△HDA， ∴，即， ∴DF＝4，AF＝2， 由②知△DFG∽△DBH， ∴，即， ∴FG，故④正确； 故选：B． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABC＝S△ACDS菱形＝6，AO＝CO， ∴S△ABO＝S△CBOS△ABC＝3， 故选：A． 6．【解答】解：设EF＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BDAB＝2，EF＝BF＝x， ∴BEx， ∵∠BAE＝22.5°， ∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴BD＝BE+EDx+2＝2， 解得：x＝2， 即EF＝2； 故选：B． 7．【解答】解：过点E作EG∥BF，使EG＝BF，连接BG，DB，DG， ∵AB＝AD＝6，∠BAD＝60°， ∴DB＝6，DE＝DB＝3， ∴AC＝6， ∴EFAC＝2， ∵EG∥BF，EG＝BF， ∴四边形EGBF是平行四边形， ∴EF＝BG＝2， ∵EG＝BF， ∴DE+BF＝DE+EG， ∵DE+EG≥DG， ∴DE+EG＝DG时，有最小值， ∴DG4， 故选：A． 8．【解答】解：A、四个角都相等的四边形是矩形， 故A选项正确，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形， 故B选项错误，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故C选项正确，不符合题意； D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质， 故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 二、填空题 1．【解答】解：相邻两个内角的度数之比是1：2， ∴两个相邻角度分别为60°、120°， ∵较长的对角线所对的角为120°， ∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形， 那么较短的对角线长为30÷4＝7.5（cm）． 故答案为：7.5cm． 2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AB＝AD， ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA， ∴△ABF≌△DAE（SAS） ∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8， ∴EF＝AF+AE＝13， 故答案为：13． 3．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵ABCD是矩形， ∴ ∴四边形OCED是菱形， ∴四边形OCED的周长为2.5×4＝10． 故答案为：10． 4．【解答】解：如图1所示，连接MN与EF交于点O，连接ME、EN、NF、MF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OB＝OD， 又∵BE＝DF， ∴EO＝FO， 只需使OM＝ON，即可使四边形MENF为平行四边形， 又∵E，F是对角线BD上的动点， 故存在无数个平行四边形MENF，故①正确； ∵AD＝2AB＝8， ∴AB＝4，BD＝AC． 当时，如图2所示， ∴EO＝OF＝BO﹣BE2， 又∵四边形MENF是矩形， 则OM＝ON＝2，MN＝4＝AB，此时易知MN⊥AD， 故∠AMO＝90°，此时AM4， 故②正确； 当四边形MENF是菱形时，如图3所示， 由菱形性质可得∠MOD＝90°， ∴tan∠MDO＝tan∠BDA， 即， ∴MO． 在Rt△MDO中，由勾股定理可得DM5， 故AM＝AD﹣DM＝8﹣5＝3，故③正确； 只需使MN＝EF，MN⊥EF，ON＝OM，则四边形MENF为正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④错误． 综上，正确的序号有：①②③． 故答案为：①②③． 5．【解答】解：由题意可得：第n个图形需要小棒的数量为： 3+2x（n﹣1） ＝3+2n﹣2 ＝2n+3﹣2 ＝（2n+1）根； （1）当 n＝7 时， 2n+1 ＝2x7+1 ＝14+1 ＝15， 故答案为：15； （2）2n+1＝19， 解得：n＝9， 故答案为：9． 6．【解答】解：作A1E⊥A2G于点E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E＝∠HA1G＝90°， ∴∠FA1H＝∠GA1E， 在△A1HF和△A1GE中，， ∴△A1HF≌△A1GE（ASA）， ∴四边形A2HA1G的面积＝四边形A1EA2F的面积4＝1， 同理，各个重合部分的面积都是1， 则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n﹣1）＝n﹣1， ∴2027个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2027﹣1＝2026． 故选：2026． 三、解答题 1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． AB∥CD． ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴AC＝BE， ∴BD＝BE． （2）解：在矩形ABCD中，BO＝1， ∴2×1＝2， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴CD＝OD＝1． ∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2． 在Rt△BCD中，， ∴四边形ABED的面积． 2．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵BE＝CF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）； （2）四边形ABCD是矩形； 证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠B＝∠C， ∵在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 3．【解答】解：如图，连接AC， 在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°， ∠CAF+∠EAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠B＝∠ACF＝60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， 由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE， ∴60°+∠CEF＝60°+20°， 解得∠CEF＝20°． 4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADF＝∠DEC， ∵AF⊥DE于点F ∴∠AFD＝90°， 又∵AD＝DE， ∴△ADF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC． （2）解：作CH⊥DE于点H，连接AE，设BE＝x， ∵△ADF≌△DEC，CE＝2， ∴EC＝FD＝2， ∵CD＝CF， ∴， ∵AD＝DE，EC＝FD＝2，BE＝x， ∴BE＝EF＝x， ∵∠DEC＝∠DEC，∠CHE＝∠BCD＝90°， ∴△EHC∽△ECD， ∴，即EC2＝EH×ED， ∵EC＝FD＝2，，BE＝EF＝x， ∴代入上式可得：4＝（x+1）（x+2），即x2+3x﹣2＝0， 解得：，（舍）， ∴． 5．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠EAB＝60°， ∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°； （2）证明：同（1）可得∠ABC＝90°，∠ABE＝60°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， ∴∠DAE＝∠EBC， ∵在正方形ABCD中，AD＝BC， 在等边△ABE中，AE＝BE， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴DE＝CE， ∴△CDE是等腰三角形． 6．【解答】解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，∠A＝∠ABC＝90°， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×8＝40， ∵△BCF的面积是矩形ABCD面积的一半， ∴S△BCF＝20， ∴BC•FH＝20， ∴8×FH＝20， ∴FH＝5， 由旋转性质得：BF＝BP，∠PBF＝90°， ∴∠PBF＝∠ABC＝90°， ∴∠PBF﹣∠PBC＝∠ABC-∠PBC， 即∠FBH＝∠PBD， ∵FH⊥BC于点H，∠A＝90°， ∴∠FHB＝∠A＝90°， 在△AHF和△BPA中， ， ∴△AHF≌△BPA（AAS）， ∴FH＝PA＝5； （2）∵四边形ABCD是矩形，且AB＝5，BC＝8， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝90°， ∵动点P从A点出发沿射线AE方向移动， ∴有以下两种情况： ①当点P在线段AD上时，点G在BC的上方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点N，如图2所示， ∴∠BMN＝∠A＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABMN是矩形， ∴MN＝AB＝5，AN＝BM， ∵BG＝CG，GM⊥BC于点M， ∴BM＝CMBC＝4， ∴AN＝BM＝4， 设PA＝a，则PN＝AN﹣PA＝4﹣a， 由翻折性质得：PG＝PA＝a，GB＝AB＝5， 在Rt△BGM中，由勾股定理得：MG3， ∴GN＝MN﹣MG＝5﹣3＝2， 在Rt△PGN中，由勾股定理得：PG2＝PN2+NG2， ∴a2＝（4﹣a）2+22， 解得：a＝2.5， ∴PA＝a＝2.5； ②当点P在AD的延长线上时，点G在BC的下方，过点G作直线GM⊥BC于点M，交AD于点K，交BP于点K，如图3所示， 同①得：四边形ABMN是矩形，MG＝3，BM＝CM＝4， ∴MN＝AB＝5，AN＝BM＝4，AB∥MN， ∴∠ABK＝∠GKB， 由翻折性质得：∠GBK＝∠ABK，GB＝AB＝5， ∴∠GKB＝∠GBK， ∴GK＝GB＝5， ∴MK＝GK﹣GM＝2， ∴KN＝MN﹣MK＝3， ∵AB∥CD， ∴△PKN∽△BKM， ∴， ∴， ∴PN＝6， ∴PA＝PN+AN＝6+4＝10， 综上所述：PA的长为2.5或10． 7．【解答】（1）解：利用角平分线定义和三角形外角性质，进行判定，可知真命题的个数为3， 故答案为：3； （2）证明如下：（答案不唯一） 已知：①②，求证：③． ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A． 同理∠4＝∠2+∠E， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4， ∴2∠4＝2∠2+∠A． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴2∠2+∠A＝2∠2+2∠E， ∴∠A＝2∠E． 已知：①③，求证：②．证明如下： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A， 同理∠4＝∠2+∠E， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠2． ∵∠A＝2∠E， ∴∠ACD＝2∠2+2∠E． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴∠ACD＝2∠4， ∴CE平分∠ACD． 已知：②③，求证：①． 证明如下： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A． 同理∠4＝∠2+∠E， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠4． ∵∠A＝2∠E， ∴2∠4＝∠ABC+2∠E． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴∠ABC+2∠E＝2∠2+2∠E， ∴∠ABC＝2∠2， ∴BE平分∠ABC． 8．【解答】解：（1）如图所示， 将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′， ∴△BPC≌△BP′A， ∴BP＝BP′，AP′＝PC＝1，∠PBP′＝60°，∠AP′B＝∠BPC， ∴△BP′P是等边三角形， ∴∠BP′P＝∠PBP′＝60°，PP′＝BP， ∵AP′2+PP′2＝1+3＝4＝AP2， ∴△AP′P是直角三角形，∠AP′P＝90°， ∴∠AP′B＝∠APP′+∠BP′P＝150°， ∴∠BPC＝150°， （2）如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD， 则△ABP≌△ACD，PA＝DA，∠PAD＝60°，则△APD是等边三角形， ∴AP＝PD， 再将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE， ∴PC＝DE，∠CAE＝60°，CA＝EA， ∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE≥BE， 当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长， 设BE，AC交于点F， ∵AB＝AC＝AE，∠BAF＝∠EAF，∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝120°， ∴BE⊥AF，， ∴∠ABF＝30°， ∴， 在Rt△ABF中，， ∴， 即PA+PB+PC的最小值为； （3）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA， ∴△BPC≌△BEA， ∴BE＝BP，AE＝PC＝1，∠PBE＝90°，∠AEB＝∠BPC， ∴△BEP是等腰直角三角形， ∴∠BEP＝∠EPB＝45°，， ∵AE2+PE2＝1+4＝5＝AP2， ∴△AEP是直角三角形，∠AEP＝90°， 如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F＝90°， ∵∠AEP＝90°，∠BEP＝45°， ∴∠BEF＝45°＝∠EBF， ∴BF＝EF＝1， ∴AF＝AE+EF＝2， ∴，即正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $