第2章《一元二次方程》达标测试卷 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，通过几何镶边（第6题）、古代数学文化（第8题《方图注》）、头盔销售（第16题）等情境，融合抽象能力、模型意识与运算能力，实现基础巩固与创新应用统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、系数、解法|基础概念辨析，如第3题配方法转化| |填空题|5/15|根的判别式、实际问题|流感传染（第11题）考查建模| |解答题|6/55|动态几何、利润计算、新定义|动态几何（第13题）与“和美数”（第19题）体现分层与创新|

第2章《一元二次方程》达标测试卷 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.下列方程属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的一次项系数是    A. 5 B. C. 2 D. 0 3.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为(    ) A. B. 2026 C. D. 1 4.关于x的一元二次方程的一个根为2，则b的值为(    ) A. B. 2 C. D. 1 5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是     A. B. 且 C. D. 且 6.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30 cm、宽为20 cm的长方形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程      A. B. C. D. 7.已知等腰三角形的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为      A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则      A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.将一元二次方程化成一般式为          . 10.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是          . 11.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了          人． 12.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为          . 13.如图，在直角三角形ABC中，，，，点P从点B开始沿BA以的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以的速度向点C运动.当          s时，四边形ACQP的面积为面积的 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 14.解方程： 四、解答题：本大题共6小题，共55分。 15.关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根; 若方程有一个根大于0，求k的取值范围. 16.公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个. 求该品牌头盔销售量的月均增长率; 此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 17.学习的本质是自学.周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答. 求代数式的最小值; 求代数式的最值. 18.如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙不包括门的总长为 ①设AB的长为x m，用含x的代数式表示BC的长;②若建成的饲养室总占地面积为，求AB的长; 假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡? 19.配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.我们定义：一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“和美数”.例如，10是“和美数”.理由：因为再如，是整数，所以M也是“和美数”. 解决问题： 请你再写一个小于10的“和美数”：          ，判断40是否为“和美数”：          ; 若二次三项式是整数是“和美数”，可配方成为常数，则mn的值为          . 探究问题： 已知“和美数”是整数的值为0，则的值为          ; 已知是整数，k是常数，要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值. 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值. 20.如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动. 若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是 若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为 答案和解析 1.【答案】A  2.【答案】B  3.【答案】D  4.【答案】D  5.【答案】B  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故选： 本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根． 由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，知且，解之可得答案． 6.【答案】D  7.【答案】C  8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意画出图形，得出，，即可得出答案. 【解答】 解：如图， 由题意得：，， 解得：， 故选： 9.【答案】  10.【答案】且  11.【答案】12  【解析】解：设平均一人传染了x人， 或舍去 平均一人传染12人． 故答案为： 设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解． 本题考查一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 12.【答案】7  13.【答案】3  【解析】当运动时间为ts时，， 由题意，四边形ACQP的面积为面积的，的面积是面积的， ，整理，得，解得，不符合题意，舍去， 即当时，四边形ACQP的面积为面积的 14.【答案】【小题1】 解：， ， 或， 所以， 【小题2】 ，， ，这里，，， 因为， 所以， 即，   15.【答案】【小题1】 证明：由题意可知，， 方程总有两个实数根. 【小题2】 解：，， 或 方程有一个根大于0，，   16.【答案】【小题1】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为 【小题2】 设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得 ， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去.故 答：该品牌头盔的销售价应定为50元. 17.【答案】【小题1】 解：由， 的最小值是1，此时 【小题2】 由， 的最大值是5，此时   18.【答案】【小题1】 解：①可建围墙不包括门的总长为52m，且AB边长为x m， 边长为 ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：饲养室总占地面积为时，AB的长为8m或 【小题2】 设每天传染中1只鸡传染了x只鸡，则第一天传染中有x只鸡被传染，第二天传染中有只鸡被传染， 依题意，得， 整理，得， 解得，不符合题意，舍去 答：每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡.   19.【答案】【小题1】 4 / 答案不唯一 是 2 【小题2】 ， 由题意得， 拓展结论：， ， 当时，最小，最小值为   【解析】  解：是“和美数”，理由：答案不唯一 40是“和美数”，理由： 故答案为答案不唯一是. ， ，，， 故答案为2   ， ，，故答案为 20.【答案】【小题1】 解：如图，过点P作于点E，设x s后，点P和点Q的距离是 则， ， 经过或，P，Q两点之间的距离是 【小题2】 设经过y s后的面积为 ①当时， 则，即，解得 ②当时，， 则，即，解得，舍去 ③当时， 则，即，解得舍去 综上所述，经过4s或6s，的面积为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $