专项训练04 辅助线构造相似三角形的问题（3种题型）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦辅助线构造相似三角形的三大核心方法，以模型为纲、以题型为目，系统构建“原理-模型-应用”的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作平行线构造|4题（含A字型/8字型）|过中点/等分点作平行，遇比例优先平行|从基础模型到动态比例问题，逐步深化| |作垂线构造|4题（射影定理模型）|直角/垂直场景用射影定理，无直角主动作垂线造等角|特殊直角模型到一般垂直构造，强化转化意识| |倍长线段构造|5题（倍长中线/比例型）|倍长中线造全等过渡，比例型倍长凑线段关系|静态中点问题到动态比例构造，提升模型迁移能力|

专项训练04 辅助线构造相似三角形的问题 【知识点1 作平行线构造相似三角形】 一、解题原理 平行于三角形一边的直线截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似。 二、两种基本模型 1. A 型（正 A） △ABC，DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC 比例： 1. 8 字型（反 A/沙漏） AB∥CD，AC、BD 交于 O ⇒ △AOB∽△COD 比例： 三、辅助线构造方法 · 过中点/等分点作底边平行线； · 遇线段比例、中点求证，优先作平行。 【知识点2 作垂线构造相似三角形】 一、核心模型：射影定理模型 Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D 1. △ABD∽△CAD∽△CBA 1. 结论： ，， 二、适用场景 · 题目含直角、高、垂直、面积、平方线段； · 无直角时，主动向某边作垂线，造出两组直角相等，再配一组公共角/等角证相似。 【知识点3 倍长线段相似三角形】 一、核心思路 延长短线段至两倍长度，或倍长中线，制造相等线段，结合对顶角/平行线，形成相似或全等过渡。 二、典型题型：倍长中线类 △ABC，D 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE=AD 1. 先证△ABD≌△ECD（SAS），转移等角、等线段； 1. 再利用平行/等角，构造新的相似三角形； 三、比例型倍长 已知 ，延长 AB 到 M，使 BM=AB，则 AM=2AB，直接凑出 2 倍线段，匹配比例式证相似。 【题型1 作平行线构造相似三角形】 1．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 2．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 【答案】（1）75；4；（2）CD=4． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【详解】解：（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB=∠OAC=75°． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴． 又∵AO=3， ∴OD=AO=， ∴AD=AO+OD=4． ∵∠BAD=30°，∠ADB=75°， ∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB， ∴AB=AD=4． 故答案为75，4 （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC=∠BEA=90°． ∵∠AOD=∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴． ∵BO：OD=1：3， ∴． ∵AO=3， ∴EO=， ∴AE=4． ∵∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠BAC=30°，AB=AC， ∴AB=2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， ∴AB=AC=8，AD=12． 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2， 解得：CD=4． 3．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．    （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ； （2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值； （3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵AF∥BC， ∴∠F=∠EBC， ∵∠AEF=∠BEC，AE=EC， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴AF=BC． 设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k， ∵AF∥BC， ∴△APF∽△DPB， ∴， 故答案是：； （2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F， 设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k． ∵E是AC中点， ∴AE=CE． ∵AF∥DB， ∴∠F=∠1． 在△AEF和△CEB中，， ∴△AEF≌△CEB， ∴EF=BE，AF=BC=2k． ∵AF∥DB， ∴△AFP∽△DBP， ∴； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB= ∴EF=BE=5，BF=10． ∵， ， ∴BP=BF=×10=6． 故答案为6． 4．【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，作出合适的辅助线是解题的关键． 知识储备：根据平行线分线段成比例，可得，即可得出答案； 类比探究：结合，可得到，再根据平行线分线段成比例，得到，即可得证； 拓展迁移：过点作，先证明点是的中点，那么，结合，得到，推出，再根据平行线分线段成比例，得到，那么，即可得出结论． 【详解】解：知识储备：∵点D是的中点，， ∴， ∴； 故答案为：； 类比探究： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展迁移： 过点作，如图所示： ∵，点D是边的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 作垂线构造相似三角形】 1．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 2．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：如图②，过点作，垂足为， AI∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 3．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 【答案】(1)4， (2)是， 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； 4．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得，，， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【题型3 倍长线段相似三角形】 1．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ． 【类比分析】 （3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长． 【答案】 （1）①小明同学方法：在上截取 ，连接，如下图： 在等腰中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ； ②小亮同学方法：过E作交的延长线于点 G， 在等腰中，， ， ， ， ， 在中，， ； （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ， 在中，，， ； 在中，， ； （3） 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用， （1）①证明即可证明结论，②证明即可证明结论； （2）在上截取，连接，先证明，即可证明，根据勾股定理得出结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，证明，设，则，根据相似三角形性质列方程并解方程即可解决． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）在上截取，连接，在上截取，连接， 在矩形中，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 在中，， ． 2．在△ABC中，P为边AB上一点． (1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：＝AP•AB； (2)若M为CP的中点，AC＝4． ①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长； ②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）①取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝7﹣x，根据三角形的中位线的性质得到MGAC，由平行线的性质得到∠BGM＝∠A，根据相似三角形的性质得到即，即可得到结论； ②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，解直角三角形得到根据勾股定理得出，相似三角形的性质得到列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， ∴， ∴； （2）①如图2，取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，， ∵M是PC的中点， ∴MGAC， ∴∠BGM＝∠A， ∵∠ACP＝∠PBM， ∴△APC∽△GMB， ∴， 即， ∴x＝， ∵AB＝7， ∴AP＝， ∴PB＝； ②如图3，过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP， 设BP＝x． ∵∠ABC＝45°，∠A＝60°， ∴CH＝， ∵， ∵PB＝BE，PM＝CM， ∴BMCE， ∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A， ∵∠E＝∠E， ∴△ECP∽△EAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【原题呈现】李老师和同学们一起探究数学教材上的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接），本题不用书写过程． 【迁移应用】 (1)如图，当点是边上任意一点时，其他条件不变，请判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，当四边形是矩形时，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，（1）中与的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 (3)如图，当四边形是边长为9的菱形时，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1) ，理由如下， 如图，在上取一点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ， 是正方形外角的平分线， ， ， ，在和中，， ， ； (2)发生改变，，理由如下， 如图，在上取一点，使，连接， 设，则， 点是边的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是矩形外角的平分线， ， ， ， ， ， ； (3)的长为或 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据正方形的性质和角之间的关系，易得，，再根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，可得，最后根据“”得，即可求解； （2）在上取一点，使，连接，，根据线段之间的数量关系，易得，，再根据矩形的性质和角之间的关系，易得，再根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，可得，最后利用“”得，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作，设，分两种情况讨论，当点在上时，根据菱形的性质得，，根据的直角三角形，易得，，，同（2）利用“”，可得，列出方程，求解即可；当点在的延长线上时，同上可得，，，利用相似三角形的性质，列出方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作，交于点， 设， 当点在上时， 四边形是边长为9的菱形，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ，则，， ，， 平分，， ， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ； 当点在的延长线上时， 如图， 同上可得，，，，， ，， ， ， ，即， 解得（舍去）或， ； 综上所述：的长为或． 1．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为或 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 2．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． (1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； (2)如图②，若，，，求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，本题核心是运用平行线构造相似三角形或等腰三角形，将线段比例与角度关系转化为可计算的形式． （1）过作交的延长线于E，由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，判定，推出得到； （2）延长到E，过D作交于F，得到，由平角的定义得到，因此，推出，判定，推出，由，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：过B作交的延长线于E， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长到E，过D作交于F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 4．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 5． (1)探索发现：如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，，求证：。    (2)尝试应用：如图，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，求的长．    (3)拓展提高：如图，在等腰中，，为中点，为中点，过点作直线交于，在直线上取一点，连接交于点；若当时，的值为定值，请直接写出该定值为_____．    【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点作与交于点，使，证明，得出，证明得出，求得，根据， 解方程可得，即可求得； （3）在的延长线上取一点，使 同方法证明，得出，证明，得出，则，代入数据即可求解． （1）证明：，，   ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作与交于点，使，   ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， （3）是， 如图，在的延长线上取一点，使     由， ，且 即       又由，得 ， ， 即 ， 依题意得：，， ， ， ， ， ， 即．          1．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 【答案】阅读理解，；解决问题，猜想：，理由见解析． 【分析】阅读理解，作，证明和，列比例式并根据，，可得结论； 解决问题，作，证明，得，设，则，再证明，得，代入可得结论． 【详解】解：阅读理解， 过点作交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，即， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴； 解决问题， 猜想：，理由是： 如图，作交于点M， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：． 问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________； 变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D； 问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2或8；（4）能， 【分析】（1）由，可得，证明即可； （2）由矩形的性质可知，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （3）由矩形的性质可知，，由题意知，，，证明， ∴，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （4）由菱形，，可得，，，如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，则，，证明，则，即，解得，，由，可求，则， 如图，作的延长线于，，，，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）解：由矩形的性质可知，，， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即，解得，， 故答案为：； （3）解：由矩形的性质可知，， 由题意知，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，或， 故答案为：2或8； （4）解：能，； ∵菱形，， ∴，，， 如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， ∵， ∴，解得，， ∴， 如图，作的延长线于， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴能，． 3．阅读材料 2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 (1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想． (2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______． (3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值． 【答案】(1)1；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可． （2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可． （3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解． 【详解】（1），理由为： 过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90° ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN ∴AM＝AN，即EG＝FH，∴； （2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形， ∴AM＝HF，AN＝EG， 在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN． ∴△ABM∽△ADN， ∴， ∵，，AM＝HF，AN＝EG， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴设， 过点，垂足为，交于点，则， 在中，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 4．问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 【答案】问题探究（1）；（2）；问题拓展： 【分析】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出； （2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到； 问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出． 【详解】解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）结论：； 理由：如图1中，在上截取，使，连接． ∵，， ． ∵， ， ． ∵，， ． ∵， ， ∴， ； 问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P． ∵，， ，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴在中，， ，， ∴． ∵， ∴由（2）知，， ∴， 又∵， ， ， ， ． 5．如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点．    (1)求证：； (2)如图②，当O为边的中点，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作，交的延长线于，推出，证明．再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作，交的延长线于．    ∵，即，是边的中点， ∴． 由（1）有， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又，． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练04 辅助线构造相似三角形的问题 【知识点1 作平行线构造相似三角形】 一、解题原理 平行于三角形一边的直线截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似。 二、两种基本模型 1. A 型（正 A） △ABC，DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC 比例： 1. 8 字型（反 A/沙漏） AB∥CD，AC、BD 交于 O ⇒ △AOB∽△COD 比例： 三、辅助线构造方法 · 过中点/等分点作底边平行线； · 遇线段比例、中点求证，优先作平行。 【知识点2 作垂线构造相似三角形】 一、核心模型：射影定理模型 Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D 1. △ABD∽△CAD∽△CBA 1. 结论： ，， 二、适用场景 · 题目含直角、高、垂直、面积、平方线段； · 无直角时，主动向某边作垂线，造出两组直角相等，再配一组公共角/等角证相似。 【知识点3 倍长线段相似三角形】 一、核心思路 延长短线段至两倍长度，或倍长中线，制造相等线段，结合对顶角/平行线，形成相似或全等过渡。 二、典型题型：倍长中线类 △ABC，D 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE=AD 1. 先证△ABD≌△ECD（SAS），转移等角、等线段； 1. 再利用平行/等角，构造新的相似三角形； 三、比例型倍长 已知 ，延长 AB 到 M，使 BM=AB，则 AM=2AB，直接凑出 2 倍线段，匹配比例式证相似。 【题型1 作平行线构造相似三角形】 1．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 2．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 3．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．    （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ； （2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 4．【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：． 小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程： 证明：如图③，过点D作，交于点F． ∵，点D是边的中点， ∴点F是的中点， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____． 【题型2 作垂线构造相似三角形】 1．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 2．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 3．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 4．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【题型3 倍长线段相似三角形】 1．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ． 【类比分析】 （3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长． 2．在△ABC中，P为边AB上一点． (1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：＝AP•AB； (2)若M为CP的中点，AC＝4． ①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长； ②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长． 3．【原题呈现】李老师和同学们一起探究数学教材上的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接），本题不用书写过程． 【迁移应用】 (1)如图，当点是边上任意一点时，其他条件不变，请判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，当四边形是矩形时，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，（1）中与的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 (3)如图，当四边形是边长为9的菱形时，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请求出的长． 1．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 2．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． (1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； (2)如图②，若，，，求的值． 3．综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 4．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 5． (1)探索发现：如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，，求证：。    (2)尝试应用：如图，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，求的长．    (3)拓展提高：如图，在等腰中，，为中点，为中点，过点作直线交于，在直线上取一点，连接交于点；若当时，的值为定值，请直接写出该定值为_____．    1．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 2．问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：． 问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________； 变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D； 问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 3．阅读材料 2．如图，在正方形ABCD中，．求证：． 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 (1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想． (2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______． (3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值． 4．问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 5．如图①，在中，，于点，点是边上一点，连接并交于．交边于点．    (1)求证：； (2)如图②，当O为边的中点，时，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $