第三章 图形的相似单元评价 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 第三章图形的相似单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖相似比、位似、相似三角形判定与性质等核心知识，结合实际情境与动态问题，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相似比计算（第1题）、相似多边形性质（第2题）|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|5/15|实际测量（第9题旗杆高度）、坐标与相似（第12题）|联系生活情境，培养量感| |解答题|7/61|基础证明（14题相似判定）、动态综合（20题正方形与相似）|分层设计，20题动态探究发展推理能力与创新意识|

第三章图形的相似单元评价 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 长子则支的值为】 1.若义-3 X 43 2.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最 短边长为() A.6 B.8 C.12 D.10 3.如图，△ABC与△i位似，点O为位似中心，已知OA:AD=2:3,则△ABC与△就的面积比为() A.2:3 B.4:6 C.2:5 D.4:25 4.已知△ABC一△曾乙，面积比为16：1，则下列说法正确的是() A.相似比为16：1 B.周长比为16：1 C.对应中线的比为16：1 D.对应角的比为1：1 5.在下列条件中，不能判断△ABC与△乙相似的是() A.∠A=∠D,∠B=∠E B.BC-AC且∠B=∠E EF DE C.AB=BC_AC DE EF DE DAB-AC且∠A=∠D ·DEDF 第1页，共1页 6如图，11Il2/Il3,DE=6,EF=7,AB=5,则BC的长为() D C A. 35 89 C.4 D.6 6 7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形阴影部分)与图中△ABC相似的是() B. 8.如图，一张底边长为20c、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 4C的矩形纸条.若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是() ←一第2张 ←-第1张 A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 第2页，共1页 9.在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为20m,那么这根旗杆 的高度为m. 10.如图，在△ABC中，DE11BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AC的长为一 C EF 1,已知菱形ABCD和菱形ABCR,点B,B,R,D在同一直线上，且∠EAF=∠ABC,设BD=y, AE AB =x,则y关于x的函数解析式为一 12.如图，Rt△ABC放置在第二象限内，AC⊥x轴，已知∠ABC=90°，OC=3,OB=4.则点A的纵 坐标是一 0 第3页，共1页 13.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm,台阶部分铺红地毯的 长度为140c,支撑钢梁DE⊥AC,且点D为BC的中点，则钢梁DE的长为一 舞台 台阶 E B D 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14.如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，BC=6,AC=4,CE=2,AD=1.求证： △ABC一△EDC. A B 15.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC,建立平面直角坐标系后，点O的坐标是 (0,0 (1)以点O为位似中心，作△A'B'C'一△ABC,相似比为1：2，且保证△A'B'C'在第三象限， (2)点B'的坐标为一 第4页，共1页 16.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F,大树顶端E在同一条直线上，己知此人的眼睛到地面的距离 AB=1.6m,标杆FC=2.2m,且BC=1m,CD=5m,标杆FC,ED垂直于地面，求大树的高ED, D 17.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上靠近点A的三等分点，连接DE交对角线AC于点F, C F E B (1)求证：△AEF一△CDF (2)若AB=12,AD=5,求CF的长 18.如图，在矩形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，过点P作PE//DC交BC于点E,作PF//BC 交CD于点F. D B E (1)求证：△BPE一△PDF. (2)已知AB=6,AD=8,当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长. 第5页，共1页 19.如图，在△ABC中，点D,G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC,EG/IAB,AE,BD交于点 F,BF=AG. (1)求证：△BFE△CGE (2)当∠AEG=∠C时，求证：AB=AG·AC. 20.在△ABC中，∠ACB=45°.点D(与点B,C不重合)为射线BC上的一动点，连接AD,以AD为一边 且在AD的右侧作正方形ADEF. 图1 图2 (1)如果AB=AC,如图1，且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你 的结论 (2)如果AB>AC,如图2，且点D在线段BC上运动，(1)中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4V2,BC=3,CD=X, 求线段CP的长.（用含x的式子表示） 第6页，共1页 答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】【分析】 直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案. 此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法： (1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似： (2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似： (3两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； (4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似， 【解答】 解：A、∠A=∠D,∠B=∠E,可以得出△ABC∽△，故此选项不合题意； BC_AC EF DE' 且∠B=∠E,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意： c、 ABBCAC DE EF DE 可以得出△ABC∽△就，故此选项不合题意； D、 AB-AC且∠A=∠D,可以得出△ABC∽△(，故此选项不合题意： DEDE 故选：B. 6.【答案】A 7.【答案】A 8.【答案】C 第7页，共1页 9.【答案】10 10.【答案】8 11.【答案】y=x2 2【答】空 13.【答案】24cm 14.【答案】证明：.BC=6,AC=4,CE=2,AD=1, .∴.CD=AC-AD=4-1=3. …器恶子器器 .∠C=∠C,∴.△ABC一△EDC. 15.【答案】【小题1】 解：如图，△ABC即为所求 【小题2】 （-2,-1 16.【答案】解：如图，过点A作AH⊥ED交FC于点G,交ED于点H. 第8页，共1页 B D .FC⊥BD,ED⊥BD,∴.FG//EH. 易得AH=BD,AG=BC. .AB=1.6m,FC=2.2m,BC=1m,CD=5m, ∴.FG=2.2-1.6=0.6m,BD=1+5=6m. :FG/IEH,△AFG-△AEH.:.FC=AG EH AH 即0.6、1 Em6解得EH=3.6.ED=3.6+1.6=5.2m. 答：大树的高ED是5.2m. 17.【答案】【小题1】 解：证明：在矩形ABCD中，AB//CD, ∴.∠EAF=∠DCF,∠AEF=∠CDF.∴.△AEF一△CDF. 【小题2】 ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=5,AB=CD=12,∠B=90°. .AC=VAB2+BC2=13. ,点E是边AB的三等分点，∴.AE=4. i1,用△AEr-△cDr告告GF=3Ar AF+CF=AC=13..AF=45...cF=39 4 18.【答案】【小题1】 解：证明：：PEI1DC,∴∠BPE=∠PDF .'PF//BC,∴.∠PBE=∠DPF..△BPE一△PDF. 第9页，共1页 【小题2】 当四边形PCF是正方形，设此正方形的边长为x, 则PE=PF=CE=CF=X, 在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, .∴BE=8-X,DF=6-X. 1△BPE-△PDF、小距-能 :8-X= ,解得X= 24 x6-x 7 .当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为 24 7 19.【答案】【小题1】 证明：.DB=DC,.∠DBC=∠DCB. CE_CG EG/1AB,∴. BE AG BF=AG, CECG BEBE:△BFE一△CGE 【小题2】 由(1，得△BFE一△CGE,∴.∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE. .'∠AEG=∠C,∠GEB=∠AEG+∠AEB=∠C+∠EGC,∴.∠AEB=∠EGC. .∴.∠BEF=∠GEC=∠BFE=∠EGC.∴.BE=BF,EC=GC. .∴.BE=AG..∴.BE+EC=AG+GC,即BC=AC. .≥/IAB,∴.∠AEG=∠BAE.∴.∠BAE=∠C. 又'∠ABE=∠ABC,∴.△ABE一△CBA. 208器AB-BCBE=ACAG 20.【答案】【小题1】 解：CF⊥BD证明如下： 第10页，共1页 四边形ADEF是正方形， ∴.∠DAF=90'AD=AF. ,AB=AC'∠ACB=451 ∴.∠BAC=90°. .∴.∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°. .∴.∠BAD=∠CAF. AB=AC, 在△BAD和△CAF中，∠BAD=∠CAF, AD=AF, ∴△BAD≌△CAF(SAS). .∴.CF=BD'∠B=∠ACF. .∠B+∠BCA=90' ∴.∠BCA+∠ACF=90°. .∴.∠BCF=90°. .∴.CF⊥BD. 【小题2】 AB>AC时，CF⊥BD的结论成立理由如下： 如图1，过点A作GA⊥AC交BC于点G. 图1 第11页，共1页 则∠GAD=∠CAF=90°-∠CAD .∠ACB=45 ∴.∠AGD=45. ∴.AC=AG. AG=AC, 在△GAD和△CAF中， ∠GAD=∠CAF, AD=AF, .△GAD≌△CAF(SAS). .∠ACF=∠AGD=45°. ∴.∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°. CF⊥BD. 【小题3】 如图2，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q.易证FC⊥BD. P OB CVD QBD C p 图2 ①当点D在线段BC上运动时. .∠BCA=45°，AC=4V2, ∴.AQ=CQ=4. .DQ=4-x. ,.四边形ADEF是正方形， ∴.∠ADE=90°. 第12页，共1顶 .∴.∠ADB+∠EDC=90°. .∠EDC+∠DPC=90' ∴.∠ADB=∠DPC. .AQ⊥BC'∠DCP=90 ∴.△AQD~△DCP .QD=AQ 即4-x=4 ·CP-DC CP x' ..CP=-x2 X; ②当点D在线段BC的延长线上运动时. :∠BCA=45 .∴.AQ=CQ=4. .DQ=4+X. .CF⊥BD' .∴.∠P+∠PDC=90°. .∠PDC+∠ADQ=90 .∴.∠ADQ=∠P. .∠Q=∠PCD=90' .∴.△AQD~△DCP. 0瓷即带 CP x 第13页，共1页 CP= +x. 4 综上所述，CP的长为二龙七 4 十X 第14页，共1页