21.2.1 配方法（第1课时）讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，前者基于平方根定义解决特殊形式方程，后者通过构造完全平方式实现一般方程转化，为后续公式法学习搭建从特殊到一般的知识支架。 资料以几何直观阐释配方法本质，用口诀与表格归纳步骤，结合分层例题和易错警示培养推理意识与模型意识。课中助力教师高效授课，课后通过练习与作业帮助学生巩固提升，查漏补缺。

21.2.1 配方法（第1课时）讲义 · 人教版九年级数学上册 L E S S O N P L A N 21.2.1 配方法（第1课时） 直接开平方法与配方法的引入 学 科：初中数学 年 级：九年级（上册） 教材版本：人教版 章 节：第二十二章 第二节 第一课时 适用学年：2026—2027学年 一、学习目标 本节课是人教版九年级数学上册第二十二章第二节《降次——解一元二次方程》的第一课时，主要研究直接开平方法与配方法。直接开平方法是解一元二次方程最基础的方法，它源于平方根的定义；配方法则是直接开平方法的自然推广，是后续学习公式法和因式分解法的重要基础，更是中学代数中一种极为重要的恒等变形手段。通过本课时的学习，学生应理解降次思想，掌握将二次方程转化为一次方程的基本路径。 1. 理解直接开平方法的基本思想，能熟练求解形如 = p (p≥0) 与 = p (p≥0) 的一元二次方程。 2. 理解配方法的原理，掌握配方的基本步骤，能将一元二次方程 = 0 (a≠0) 配成 的形式。 3. 体会"转化"与"降次"的数学思想，感受由特殊到一般、由具体到抽象的研究方法。 4. 通过配方过程，进一步熟练完全平方公式 ±2ab+= 的逆用，提升代数变形能力。 重点与难点 重点：直接开平方法与配方法的基本步骤，能正确求解符合条件的一元二次方程。 难点：理解"配方"的本质——通过添加常数项构造完全平方式；掌握配方时"两边同时加上一次项系数一半的平方"这一关键步骤的由来。 二、知识梳理 知识点 1 直接开平方法 1. 问题引入 在上一节中，我们学习了什么是一元二次方程。例如方程 = 9，根据平方根的定义：如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 9 的平方根，即 x = ±3。这种直接利用平方根的定义求解的方法，就是本节课要研究的直接开平方法。 回顾平方根的定义：如果 = a (a≥0)，那么 x = ±，其中 是 a 的算术平方根。这一定义为我们解一类特殊的一元二次方程提供了直接的工具。 2. 直接开平方法的定义 【定义】如果一个一元二次方程能化为 = p (p≥0) 或 = p (p≥0) 的形式，那么根据平方根的定义，可以直接开平方求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 3. 两类基本形式详解 第一类： = p (p≥0)。根据平方根定义，得 x = ，即方程的两个根为 = ， = 。当 p = 0 时，两个根相等，均为 0，此时方程有且仅有一个解（重根）。 第二类： = p (p≥0)。把 x+n 看作一个整体，根据平方根定义得 x+n = ，进一步化为两个一元一次方程 x+n = 与 x+n = ，分别解得 = -n+， = -n-。这里体现了"换元"与"降次"的思想——把关于 x 的二次方程降为关于 (x+n) 的一次方程。 关键提醒 使用直接开平方法的前提是方程能化为 = p 或 = p 的形式，且 p ≥ 0。 若 p < 0，由于任何实数的平方都是非负数，方程无实数根。例如 = -4 无实数根。 开平方后必须取"±"号，切勿漏掉负根。这是直接开平方法最易出错之处。 4. 典型变形举例 并非所有方程都直接呈现 = p 的形式，有时需要先做适当变形。例如： • 方程 2 = 8，两边同除以 2，得 = 4，再开平方得 x = ±2。 • 方程 3 = 27，两边同除以 3，得 = 9，开平方得 x-1 = ±3，故 x = 4 或 x = -2。 • 方程 = 25，把 2x+3 看作整体，开平方得 2x+3 = ±5，分别解得 x = 1 或 x = -4。 从以上例子可以看出，直接开平方法的核心是"识别"——只要方程一边是完全平方式，另一边是非负常数，就可以使用此法。 知识点 2 配方法 1. 问题引入 直接开平方法虽然简洁，但只能解决形如 = p 的特殊方程。对于一般的一元二次方程，如 +2x-48 = 0，左边不是完全平方式，无法直接开平方。那么，能否通过某种变形，把左边凑成一个完全平方式呢？这就是配方法要解决的问题。 2. 配方法的理论基础 配方法的核心依据是完全平方公式的逆用。回顾完全平方公式： 反过来，对于二次三项式 +2px，只要再加上 ，就能凑成完全平方式 +2px+ = 。这里 p 是一次项系数的一半。这就是"配方"的精髓——通过添加适当的常数项，把二次三项式构造成完全平方式。 3. 配方的基本步骤 以方程 +6x-7 = 0 为例，详细演示配方过程： ① 移项：把常数项移到等号右边，得 +6x = 7。 ② 配方：在等号两边同时加上"一次项系数一半的平方"。一次项系数为 6，一半为 3，平方为 9。两边加 9，得 +6x+9 = 7+9，即 = 16。 ③ 开方：根据直接开平方法，得 x+3 = ±4。 ④ 求解：分别解两个一元一次方程，得 x = 1 或 x = -7。 配方口诀 一移：把常数项移到右边； 二配：两边同加"一次项系数一半的平方"； 三开：直接开平方； 四解：解两个一元一次方程。 4. 二次项系数不为 1 时的处理 当二次项系数不为 1 时，需要先在方程两边同除以二次项系数，将其化为 1，再按上述步骤配方。例如解方程 2-4x-1 = 0： ① 两边同除以 2，得 -2x-1/2 = 0。 ② 移项，得 -2x = 1/2。 ③ 配方：一次项系数为 -2，一半为 -1，平方为 1。两边加 1，得 -2x+1 = 1/2+1，即 = 3/2。 ④ 开方，得 x-1 = = 。 ⑤ 求解，得 x = 1。 5. 配方法的几何解释（选学） 配方过程有直观的几何意义。考虑一个边长为 x 的正方形，其面积为 。在它的一边接上一个长为 x、宽为 p 的长方形（面积为 px），再在另一边接上一个相同的长方形，此时图形缺一个边长为 p 的小正方形。补上这个小正方形（面积为 ），整个图形就成为一个边长为 (x+p) 的大正方形，面积为 。这正是 +2px+ = 的几何直观。理解这一几何背景，有助于加深对"配方"本质的认识。 知识点 3 配方法的一般化与归纳 1. 一般一元二次方程的配方 对于一般形式的一元二次方程 = 0 (a≠0)，按以下步骤配方： ① 两边同除以 a（a≠0），得 +(b/a)x+(c/a) = 0。 ② 移项，得 +(b/a)x = -c/a。 ③ 配方：两边同加 ，得 +(b/a)x+ = -c/a。 ④ 整理，得 = 。 这一结果非常重要：它把任意一元二次方程都化为了 的形式，为下一课时推导求根公式奠定了基础。注意右边 的符号取决于 -4ac，这正是下一节"判别式"的雏形。 2. 三种方法的对比与联系 方法 适用形式 核心思想 局限性 直接开平方法 =p 或 =p (p≥0) 利用平方根定义直接降次 仅适用于特殊形式 配方法 所有一元二次方程 构造完全平方式，转化为直接开平方 计算量较大，易出错 （后续）公式法 所有一元二次方程 由配方法归纳出通用公式 需记忆公式 从直接开平方法到配方法，再到下一课时的公式法，体现了数学中"由特殊到一般"的研究路径。直接开平方法是配方法的特例（左边已是完全平方式），配方法是公式法的推导工具，三者一脉相承。 三、典型例题 例 1 直接开平方法（基础型） 解方程：-25 = 0。 分析：将方程变形为 = 25 的形式，符合直接开平方法的特征。 解：移项，得 = 25。开平方，得 x = ±5。所以 = 5， = -5。 【方法归纳】对于 = p (p≥0) 型方程，直接开平方得 x = 。注意 p≥0 是有实数根的前提。 例 2 直接开平方法（含括号型） 解方程： = 9。 分析：左边 是完全平方式，右边 9>0，可直接开平方。把 2x-1 看作一个整体。 解：开平方，得 2x-1 = ±3。 分两种情况讨论： • 当 2x-1 = 3 时，2x = 4，x = 2； • 当 2x-1 = -3 时，2x = -2，x = -1。 所以原方程的根为 = 2， = -1。 【方法归纳】对于 = p (p≥0) 型方程，开平方后得到两个一元一次方程 mx+n = 与 mx+n = ，分别求解即可。整体思想是关键。 例 3 配方法（二次项系数为 1） 解方程：-8x+15 = 0。 分析：二次项系数已是 1，移项后配方。一次项系数为 -8，一半为 -4，平方为 16。 解：移项，得 -8x = -15。 两边同加 16（即一次项系数一半的平方），得 -8x+16 = -15+16，即 = 1。 开平方，得 x-4 = ±1。 所以 x = 4±1，即 = 5， = 3。 【方法归纳】配方时，所加的常数 = (一次项系数÷2)。这一步是配方法的核心，必须熟练掌握。配方后务必保证等号两边同时加上这个常数，保持等式成立。 例 4 配方法（二次项系数不为 1） 解方程：3-6x-2 = 0。 分析：二次项系数为 3，需先两边同除以 3 化为 1，再配方。 解：两边同除以 3，得 -2x-2/3 = 0。 移项，得 -2x = 2/3。 配方：一次项系数为 -2，一半为 -1，平方为 1。两边同加 1，得 -2x+1 = 2/3+1，即 = 5/3。 开平方，得 x-1 = = 。 所以 x = 1，即 = 1， = 1。 【方法归纳】二次项系数不为 1 时，第一步必须化为 1。这一步常涉及分数运算，要细心。配方后若右边为正数，开平方时注意化简根式（如 = ）。 例 5 配方法的应用（求最值） 已知实数 x、y 满足 -4x++6y+13 = 0，求 x、y 的值。 分析：一个方程含两个未知数，通常需要通过"配方"化为"若干非负数之和等于 0"的形式，再利用非负数性质求解。 解：对 x、y 分别配方： -4x = (-4x+4)-4 = -4； +6y = (+6y+9)-9 = -9。 代入原方程，得 -4+-9+13 = 0，整理得 + = 0。 由于 ≥0 且 ≥0，两个非负数之和为 0，必须同时为 0。 所以 = 0 且 = 0，解得 x = 2，y = -3。 【方法归纳】配方法是处理"多个平方项之和等于常数"问题的利器。核心技巧：把含每个变量的部分分别配方，凑成"完全平方式之和 = 0"的形式，再利用非负数性质。这一方法在求最值、证明不等式、解多元方程中都有广泛应用。 四、易错警示 配方法是本节课的难点，学生在初学时容易出现以下几类典型错误。下面逐一剖析，帮助同学们规避陷阱。 易错点 1 开平方时漏掉负根 解方程 = 16 时，部分同学只写 x = 4，漏掉 x = -4。原因是把"平方根"与"算术平方根"混淆。正数 16 的平方根有两个：4 和 -4，它们互为相反数。 【警示】开平方后必须写"±"号。牢记： = p (p>0) 的解是 x = ，而不是 x = 。 易错点 2 配方时只在一边加常数 解方程 +4x-5 = 0 时，有同学这样写：+4x+4 = 5， = 5。这是错误的——只在左边加了 4，右边没加，等式不再成立。 【警示】配方时，等号两边必须同时加上"一次项系数一半的平方"，保持等式成立。这是配方法最关键的等式变形规则。 易错点 3 一次项系数一半的平方算错 一次项系数为 -6 时，一半应为 -3，平方为 9。但有同学误算为 (-6/2) = (-3) = -9（符号错误），或误算为 6 = 36（忘记除以 2）。 【警示】所加常数 = (一次项系数÷2)。注意：先除以 2，再平方。系数的负号在平方后自动消失，结果恒为正。 易错点 4 忽略 p<0 时无实数根 解方程 = -4 时，有同学直接写 x+1 = ±，这是错误的。任何实数的平方都是非负数，不可能等于 -4，因此方程无实数根。 【警示】开平方前先判断右边 p 的符号：p>0 有两个不等实根；p=0 有两个相等实根（重根）；p<0 无实数根。 易错点 5 二次项系数未化为 1 就配方 解方程 2+4x-1 = 0 时，有同学直接配方：2+4x = 1，2(+2x+1) = 1+2，2 = 3。虽然结果正确，但步骤不规范，且容易在"两边加什么"上出错（应加 2×1=2 而非 1=1）。 【警示】规范做法：先两边同除以二次项系数化为 1，再按"一次项系数一半的平方"配方。这样不易出错，且步骤清晰。 五、课堂练习 以下练习供课堂限时训练使用，建议用时 12—15 分钟。完成后当堂核对答案，重点关注配方步骤的规范性。 A 组 基础巩固 1. 用直接开平方法解下列方程： ① = 64； ② = 16； ③ 2-18 = 0； ④ = 25。 2. 填空： ① +6x+____ = ； ② -10x+____ = ； ③ +5x+____ = 。 3. 用配方法解方程 +4x-5 = 0。 B 组 能力提升 4. 用配方法解方程 2-4x-1 = 0。 5. 用配方法解方程 -3x-1 = 0（结果保留根号）。 6. 已知实数 x、y 满足 +2x+-6y+10 = 0，求 x、y 的值。 7. 试说明：无论 x 取何实数，代数式 -4x+5 的值恒为正数。 参考答案 1. ① x = ±8；② x = 7 或 x = -1；③ x = ±3；④ x = 2 或 x = -3 2. ① 9，3；② 25，5；③ 25/4，5/2 3. = 9，x = 1 或 x = -5 4. = 3/2，x = 1 5. = 13/4，x = 6. + = 0，x = -1，y = 3 7. -4x+5 = +1 ≥ 1 > 0 六、课堂小结 本节课我们学习了解一元二次方程的两种基本方法——直接开平方法和配方法，它们都体现了"降次"这一核心思想，即把二次方程通过变形转化为一次方程来求解。下面通过表格梳理本节要点。 要点 内容 直接开平方法 适用于 =p 或 =p (p≥0) 型；开平方得 x=± 或 x+n=±；p<0 时无实数根 配方法步骤 ①二次项系数化为 1；②移项；③两边同加"一次项系数一半的平方"；④化为 =n；⑤直接开平方求解 配方关键 所加常数 = (一次项系数÷2)；两边同时加，保持等式成立 数学思想 转化思想（二次→一次）、降次思想、整体思想、配凑思想 几何背景 配方对应"补全正方形"的几何操作，+2px+= 从思想方法上看，本节课的核心是"转化"——把不会解的二次方程，通过配方转化为会解的 形式，再用直接开平方法求解。这种"化未知为已知"的转化思想，是中学数学最重要的思想之一，将在后续学习公式法、因式分解法以及二次函数等内容中反复出现。 从知识结构上看，直接开平方法是配方法的基础，配方法是公式法的推导工具。三者层层递进，构成了解一元二次方程的完整方法体系。建议同学们课后多加练习，特别是配方法的步骤要烂熟于心，为下一课时学习公式法做好准备。 七、课后作业 请同学们独立完成以下作业，下节课课前提交。要求书写工整、过程完整，配方法题目必须写出每一步变形依据。 必做题 1. 教材第 9 页练习第 1、2 题。 2. 用直接开平方法解下列方程： ① 3-27 = 0； ② = 49； ③ = 36； ④ = 2。 3. 用配方法解下列方程： ① +6x-7 = 0； ② -5x+6 = 0； ③ 2+6x-3 = 0； ④ 3-2x-4 = 0。 4. 已知 -4x++2y+5 = 0，求 x、y 的值。 选做题 5. 试用配方法说明：对于任意实数 x，代数式 -+4x-3 的最大值是 1。 6. 已知关于 x 的方程 -(k+2)x++1 = 0 的左边可以配方成 = n 的形式，求 k、m、n 之间的关系。 拓展思考 本节课我们通过配方，把一般一元二次方程 = 0 (a≠0) 化为了 = 的形式。请思考：当 -4ac 的符号不同时（大于 0、等于 0、小于 0），方程的根分别有几种情况？带着这个问题预习下一课时"公式法"，看看你的判断是否与求根公式一致。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $