21.2.1 配方法（第1课时）讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

L E S S O N   P L A N 21.2.1 配方法（第1课时） 直接开平方法与配方法的引入     学    科：初中数学 年    级：九年级（上册） 教材版本：人教版 章    节：第二十二章 第二节 第一课时 适用学年：2026—2027学年

一、学习目标

本节课是人教版九年级数学上册第二十二章第二节《降次——解一元二次方程》的第一课时，主要研究直接开平方法与配方法。直接开平方法是解一元二次方程最基础的方法，它源于平方根的定义；配方法则是直接开平方法的自然推广，是后续学习公式法和因式分解法的重要基础，更是中学代数中一种极为重要的恒等变形手段。通过本课时的学习，学生应理解降次思想，掌握将二次方程转化为一次方程的基本路径。

1. 理解直接开平方法的基本思想，能熟练求解形如 = p (p≥0) 与 = p (p≥0) 的一元二次方程。

2. 理解配方法的原理，掌握配方的基本步骤，能将一元二次方程 = 0 (a≠0) 配成 的形式。

3. 体会"转化"与"降次"的数学思想，感受由特殊到一般、由具体到抽象的研究方法。

4. 通过配方过程，进一步熟练完全平方公式 ±2ab+= 的逆用，提升代数变形能力。

重点与难点 重点：直接开平方法与配方法的基本步骤，能正确求解符合条件的一元二次方程。 难点：理解"配方"的本质——通过添加常数项构造完全平方式；掌握配方时"两边同时加上一次项系数一半的平方"这一关键步骤的由来。

二、知识梳理

知识点 1  直接开平方法

1. 问题引入

在上一节中，我们学习了什么是一元二次方程。例如方程 = 9，根据平方根的定义：如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 9 的平方根，即 x = ±3。这种直接利用平方根的定义求解的方法，就是本节课要研究的直接开平方法。

回顾平方根的定义：如果 = a (a≥0)，那么 x = ±，其中  是 a 的算术平方根。这一定义为我们解一类特殊的一元二次方程提供了直接的工具。

2. 直接开平方法的定义

【定义】如果一个一元二次方程能化为 = p (p≥0) 或 = p (p≥0) 的形式，那么根据平方根的定义，可以直接开平方求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

3. 两类基本形式详解

第一类： = p (p≥0)。根据平方根定义，得 x = ，即方程的两个根为 = ， = 。当 p = 0 时，两个根相等，均为 0，此时方程有且仅有一个解（重根）。

第二类： = p (p≥0)。把 x+n 看作一个整体，根据平方根定义得 x+n = ，进一步化为两个一元一次方程 x+n = 与 x+n = ，分别解得 = -n+， = -n-。这里体现了"换元"与"降次"的思想——把关于 x 的二次方程降为关于 (x+n) 的一次方程。

关键提醒 使用直接开平方法的前提是方程能化为 = p 或 = p 的形式，且 p ≥ 0。 若 p < 0，由于任何实数的平方都是非负数，方程无实数根。例如 = -4 无实数根。 开平方后必须取"±"号，切勿漏掉负根。这是直接开平方法最易出错之处。

4. 典型变形举例

并非所有方程都直接呈现 = p 的形式，有时需要先做适当变形。例如：

• 方程 2 = 8，两边同除以 2，得 = 4，再开平方得 x = ±2。

• 方程 3 = 27，两边同除以 3，得 = 9，开平方得 x-1 = ±3，故 x = 4 或 x = -2。

• 方程 = 25，把 2x+3 看作整体，开平方得 2x+3 = ±5，分别解得 x = 1 或 x = -4。

从以上例子可以看出，直接开平方法的核心是"识别"——只要方程一边是完全平方式，另一边是非负常数，就可以使用此法。

知识点 2  配方法

1. 问题引入

直接开平方法虽然简洁，但只能解决形如 = p 的特殊方程。对于一般的一元二次方程，如 +2x-48 = 0，左边不是完全平方式，无法直接开平方。那么，能