25.2.1配方法（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，系统讲解形如\(x^2 = p\)和\((mx + n)^2 = p\)的方程解法。课堂从复习一元二次方程定义切入，通过问题链引导学生从具体方程（如\(x^2 = 4\)）探究到一般形式，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动为主线，通过操作尝试和概括新知培养抽象能力（数学眼光），类比迁移发展推理意识（数学思维），例题练习强化模型意识（数学语言）。如探究2用整体思想将\((x + 3)^2 = 5\)降次转化，帮助学生掌握转化方法，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法（第1课时） 学习目标 1 2 会用直接开平方法解一元二次方程. 在探究如何解一元二次方程的过程中，体会降次和化归的数学思想． 【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 【操作尝试】 (3)x2+1=0. 解:整理,得x2=-1,∵负数没有平方根,∴原方程无实数根. 问题1:解下列方程: (1)x2=4; (2)9x2-6=3; 解:根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2. 解:移项,并将二次项系数化为1,得x2=1. 根据平方根的意义,得x1=1,x2=-1. 助力教学 (authorId_373264932) - 设置问题2,通过对一些复杂问题的探究,帮助学生体会换元思想及类比的学习方法,同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程. 【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 【概括新知】 一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不等的实数根x1= ,x2= ;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根. 1 ．什么是一元二次方程？ 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2 ．什么是一元二次方程的根？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“”的形式. 与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. 本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 6 2 合作探究 解方程：x2=4. 解：根据平方根的意义，得 x=±2， 即 x1=2，x2=−2. 一般化 解方程：x2=p. 解：根据平方根的意义，得 x=±， 即 x1=，x2=−. p≥0 问题：解一元二次方程 解：根据平方根的意义，得 即 把4换成0呢？ x1＝x2＝0 把4换成呢？ 一般地，对于方程 (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根; (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 【理解应用】 例1 解下列方程: (1)x2-900=0;　(2)2x2-8=0;　(3)4x2-3=0. 方法点拨:通过移项把方程化为x2=p的形式,然后直接开平方求解即可. 解:(1)移项,得x2=900. 直接开平方,得x=±30,即x1=30,x2=-30. 解:(2)移项,并将系数化为1,得x2=4. 由此可得x=±2,即x1=2,x2=-2. 解:(3)移项,并将二次项系数化为1,得x2= . 由此可得x=± ,即x1= ,x2=- . 方程 的根为( ) C A., B., C., D.无实数根 【解析】 原方程可化为，, . 避坑指南 将原方程化为后，由，得，避免直接对负数 开方，错选A.开方后的结果为，而不是 ，不要错选B. 【跟踪练习 11 2 合作探究 解方程：x2=4. 解：根据平方根的意义，得 x=±2， 即 x1=2，x2=−2. 类比 解方程：(x+3)2=5. 解：根据平方根的意义，得 x+3=±， ① 即 x+3=或x+3=−，② x1=−3+，x2=−3−. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义． 探究：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程? 在解方程时，由方程得.由此想到：由方程 ① 得 即 ② 于是，方程的两个根为 【尝试交流】 方程(3x+1)2=2呢?试一试. 【探究2】 解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 问题2:(1) 由方程x2=25得x=±5，因此想到： 由（x+3）2=25 ， 得 即 一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系? 类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗? x+3= ±5 ， x+3= 5 ，x+3= -5 【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 【尝试交流】 (2)对于(nx+m)2=p型的方程，你能说说它的基本解法吗? 【概括新知】 运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”. 开平方 降次转化 二次变一次 4 巩固练习 1. 方程x2−4=0的解是（    ） A．x=±2 B．x=±4 C．x=2 D．x=−2 A 4 巩固练习 2. 一元二次方程2x2+4=0的根是（    ） A．x1=2，x2=−2 B．x=2 C．无实数根 D．以上均不正确 C ① ② 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 降次 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(2)移项，得 由此可得 即 　解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的关于x的一元二次方程时，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝± ，再求解． 【理解应用】 例2 解下列方程: (1) (x+2)2－9 = 0 ； (2)3(x+1)2－27 = 0. 解：移项，得 (x+2)2=9. 直接开平方，得 x+2=±3. ∴x1=1, x2=－5. 即x1=2，x2=-4. 解：移项，得3(x+1)2=27. 系数化为1，得(x+1)2=9. 直接开平方，得 x+1=±3. 【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 【概括新知】 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 助力教学 (authorId_373264932) - 让学生进一步明确二次根式有意义的条件,以及在不同情况下如何确定二次根式有意义的条件. 解一元二次方程 形如 x2＝p(p≥0) 型方程 形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)型方程 直接开平方 $