精品解析：北京市东城区东直门中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可. 【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， ∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 5. 已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵与点关于直线对称，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 6. 如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 7. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 8. 我们将满足等式的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，①“心形”图形是轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积一定大于2；③“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于．其中正确结论有（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标、完全平方公式及两点距离公式，熟练掌握图形与坐标及两点距离公式是解题的关键；如图，根据题意得，然后可得五边形的面积为，由可知当时，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，当时，则有，即， 当时，则有，即， ∴由图可知． 观察图象可知，“心形”图形是轴对称图形，故①正确， 由图可知五边形的面积为， ∵“心形”图形所围成的面积＞五边形的面积， ∴“心形”图形所围成的面积，故②正确， 由可知即， ∴当时，， ∴， ∴“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于等于，故③错误， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在_________．（填“内”、“上”或“外”） 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系的判断，掌握判断二者位置关系的方法是解题的关键；根据点到圆心的距离和半径的大小关系，即可判断求解． 【详解】解：因为的半径为2，点A到圆心O距离是4， ， 点A在外． 故答案为：外． 10. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，图像和性质，熟练掌握二次函数的概念，图像和性质是解题的关键；根据开口方向及经过点的坐标，即可求解． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向下，且经过点， 所以二次项系数， 所以该函数图像可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 二次函数的图象可以由函数向_____平移_____个单位得到． 【答案】 ①. 右 ②. 1 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用二次函数的平移规律得出答案即可． 【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知： 函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位得到； 故答案为：右，1． 12. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则的度数为_____°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查旋转和三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据旋转和三角形外角的性质，结合题意即可求解． 【详解】解：因为将绕点C顺时针旋转得到， ， 又, ． 故答案为：70． 13. 如图，在中，若，，，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为12． 14. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理，结合已知条件，可得为等边三角形，继而求得的长度，结合切线的性质定理与圆周角定理，利用解直角三角形即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质定理，圆周角定理，等边三角形性质，解直角三角形的知识点，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 15. 下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2． ①抛物线的开口方向向下； ②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）； ③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧； ④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点． 其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论． 【详解】∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口方向向上． ∴①说法错误； 令x＝0则y＝﹣2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）． ∴②说法正确； ∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣， ∴当b＞0时，﹣＜0， ∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧． ∴③说法错误； 令y＝0，则x2+bx﹣2＝0， ∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0， ∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点． ∴④说法正确； 综上，说法正确的有：②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键． 16. 已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当的值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 三、解答题（共68分：17题至22题，每题5分；23题至26题，每题6分；27、28题每题7分） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； （2）画出绕原点O顺时针旋转的； （3）外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】（1） （2） 如图所示，分别作绕原点O顺时针旋转后对应的点 ,顺次连接，即可得到； （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点成中心对称的两点坐标之间的关系，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可根据点B的坐标求得点的坐标； （2）根据旋转的性质，分别求得三点对应的点的坐标，顺次连接，即可求解； （3）根据三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，结合顶点坐标，即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 因为点B的坐标为， 故点B关于原点O中心对称的点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为关于直线对称， 又关于直线对称， 所以外接圆圆心即直线与的交点， 即外接圆圆心的坐标为． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作法，成中心对称的点的坐标之间的关系，坐标的旋转变换及三角形外接圆圆心，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标的变换是解题的关键． 19. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】0.8m 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接， ∵，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴水的最大深度为0.8m． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 20. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵ ① ∴点在上， ∴是的直径． ∴ ② ．（ ③ ） ∴ ④ ． ∵是的半径， ∴是的切线．（ ⑤ ） 【答案】；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】根据画法得，则点C在上，即是的直径即可得，即可得，根据是的半径即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴．（直径所对的圆周角是直角） ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解； （2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根． 【小问1详解】 解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 所以符合条件的最大整数为2， 即， 此时方程为， 分解因式得， 解得． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． （1）求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练应用二次函数关系式解决实际问题是解题的关键； （1）根据题意，表示出矩形的长和宽，结合矩形的面积公式即可求解； （2）根据题意，利用配方法求函数的最值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 与x的关系式为； 【小问2详解】 由（1）得， ∵， 当时，有最大值，最大值为196， 即当时，矩形的面积最大，最大面积是． 23. 已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可利用待定系数法，将点的坐标代入解析式，即可求该二次函数解析式； （2）根据二次函数的图像和性质，利用函数值等于的两点得横坐标，即可求解； （3）根据题意，关于x的一元二次方程 有实根，等价于二次函数与直线有交点，故可求得时，函数值得范围，即是参数t的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，二次函数的图像过点和 ， 所以可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由表格数据可知，二次函数在时，取得最小值， 故该二次函数开口向上，对称轴为直线， 又函数图像过点， 所以当时，或； 【小问3详解】 由（1）知，函数解析式为， 所以当时，， 又函数图像开口向上，过点，对称轴为直线， 故该二次函数在时，随的增大而减小； 在时，随的增大而增大； 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，关于x的一元二次方程 有实根， 即二次函数与直线有交点， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，含参数的一元二次方程有实根转化成函数图像与直线的交点问题，熟练掌握二次函数的定义，图像和性质是解题的关键． 24. 如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的判定定理，结合已知即可求证； （２）连接，根据圆内接四边形的性质，结合已知条件，易证,继而求得，根据相似三角形对应边成比例，列式代入即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 直线是的切线． 【小问2详解】 连接，则， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， , ， ， 即， 解得, 所以或（舍去）， 所以的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定定理及性质定理，熟练掌握这些性质和定理，是解题的关键． 25. 广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为米，距地面的高度为米．测量得到如表数值： 米 0 1 2 3 4 4.4 米 2.5 3.3 3.3 2.5 0.9 0 小庆根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图像； （2）结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______米； （3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）______米（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）见解析 （2）2.5，1.5 （3）降低，1.8 【解析】 【分析】(1)根据对应点描点、连线，即可画出图象即可； (2)由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，设y与x的关系式为，根据对应点求出y与x的关系式，可得顶点坐标，据此即可得到答案； (3)把x=3.5代入关系式得到y的值，可得出水口要降低的高度． 【小问1详解】 解：描点、连线，作图如下： 【小问2详解】 解：由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米， 设y与x的关系式为， 把点、、代入解析式，得 解得 故y与x的关系式为， 故顶点坐标为， 故水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米； 故答案为：2.5，1.5； 【小问3详解】 解：圆形喷水池半径为5米，水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米， x的最大值为5-1.5=3.5(米)， 当x=3.5时，， 所以，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，估计出水口至少需要降低1.8米． 故答案为：降低，1.8． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象及求出关系式是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7 ②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 27. 已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． （1）喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． （2）当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； （3）如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 【答案】（1）= （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于点E，证明，推出，得到，再证明，得到； （2）①根据已知补图即可，根据余角性质得到，，即可推出；②过作，交延长线于点H，证明，得到，再证明，得到； （3）过作，交延长线于点M，证明，得到，，推出，过点C作，交的延长线于N，得到四边形是矩形，推出，，根据勾股定理得到，进而推出． 【小问1详解】 解：， 如图1，过作于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：=； 【小问2详解】 ①补图如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②成立，即， 证明：过作，交延长线于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【小问3详解】 如图，过作，交延长线于点M， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 过点C作，交的延长线于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． （1）已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； （2）已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先通过勾股定理求得，，，，，，利用勾股定理逆定理，判断是否构成直角三角形即可； （2）因为，点在以为直径的圆上（，两点除外），以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点，通过，，可求得和坐标，从而求得的范围； （3）由题意可知，正方形边长为，在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时；当正方形位于正方形②的位置时，此时，利用，求得；当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时，解得；当正方形位于正方形③的位置时，此时，利用，解得，从而推出的范围． 【小问1详解】 解：如图 ，，， ， ， 是点的“直角点”； ，， ， ， 不是点的“直角点”； ， 是点的“直角点”． 综上，，是点的“直角点”． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点是线段的“直角点”，为线段上的点， ， 点在以为直径的圆上（，两点除外）， 如图，以，为直径作和，过点作，点在点的左侧，过点作，点在点的右侧，则点，为点的左右临界点． ， ， ，， ， 点的横坐标为． ， ，， ， 点的横坐标为， 点的横坐标的取值范围为． 【小问3详解】 解：，， ， 正方形的边长为1． 在（2）的条件下作出正方形，分别以，为直径作圆，如图， 当时，即，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形①的位置为最左侧临界值，此时； 当正方形位于正方形②的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得：（正数不合题意，舍去）， ． ； 当时，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，正方形位于正方形④的位置为最右侧临界值，此时， ； 当正方形位于正方形③的位置时，此时， 正方形上的所有点均为线段的“直角点”， ， ， ， 解得： （负数不合题意，舍去）， ． ． 综上，若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义直角点，勾股定理，勾股定理逆定理，直径所对的圆周角为，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 抛物线的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 8. 我们将满足等式的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，①“心形”图形是轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积一定大于2；③“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于．其中正确结论有（　　） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在_________．（填“内”、“上”或“外”） 10. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 11. 二次函数的图象可以由函数向_____平移_____个单位得到． 12. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则的度数为_____°． 13. 如图，在中，若，，，则的长为______． 14. 如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为______． 15. 下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2． ①抛物线的开口方向向下； ②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）； ③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧； ④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点． 其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号） 16. 已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为_______． 三、解答题（共68分：17题至22题，每题5分；23题至26题，每题6分；27、28题每题7分） 17. 解方程． 18. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； （2）画出绕原点O顺时针旋转的； （3）外接圆圆心的坐标为 ． 19. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 20. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵ ① ∴点在上， ∴是的直径． ∴ ② ．（ ③ ） ∴ ④ ． ∵是的半径， ∴是的切线．（ ⑤ ） 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． （1）求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 23. 已知二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）当时，关于x的一元二次方程 有实根，则t的取值范围是 ． 24. 如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 25. 广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为米，距地面的高度为米．测量得到如表数值： 米 0 1 2 3 4 4.4 米 2.5 3.3 3.3 2.5 0.9 0 小庆根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图像； （2）结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______米； （3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）______米（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 27. 已知：中，，直线上取一点D，连接，线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接交直线于G． （1）喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当D在边上的时候的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是_________(填＞，＝，＜中选一个)． （2）当D在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①并在你补全的图2中找出与相等的角___________________________ ②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； （3）如图3，当D在边的反向延长线上时，直接写出的数量关系(用等式表示)． 28. 对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”． （1）已知点，在点，，中， 是点的“直角点”； （2）已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形．若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $