1.5《问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形》 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形内接正八边形作图，通过情境启航回顾正方形边、角、对称性及正八边形性质，搭建新旧知识支架，引导学生从定义拆解到顶点分布情形探究，逐步深化特殊平行四边形与正多边形关系理解。 其亮点在于以“特殊到一般”思想引导探究，结合几何直观与推理意识，利用正方形对称性简化作图步骤，类比迁移至菱形内接正六边形培养应用意识。学生能提升逻辑推理与创新能力，教师可借助分层作业与当堂检测优化教学效果。

第一章 特殊的平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 新版北师大数学九年级上册数学 学习目标 1.通过探究正方形内接正八边形的定义与图形特征,深化正方形的边、角、轴对称核心性质,掌握正八边形的内角、边长特征,能准确画出正方形内接正八边形的不同情形草图. 2.通过分析正方形内接正八边形的边角数量关系,探究尺规作图的可行路径,掌握尺规作等长线段、等腰直角三角形的基本方法,能独立完成内接于正方形的正八边形的规范尺规作图. 3.通过对作图依据的推理证明与作图过程的复盘反思,提升几何直观与逻辑推理能力,积累特殊平行四边形内接正多边形的探究经验，能迁移解决同类几何作图与推理问题. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 问题1:本章我们学习了特殊平行四边形,其中正方形有哪些核心的边、角、对角线、对称性性质？请你结合下面边的图形描述. 问题2:我们之前了解过正多边形,正八边形有哪些基本性质？ 问题构建 问题3:我们学过的基本尺规作图有哪些？要作出45°角,可通过哪些尺规方法实现？ 基本尺规作图:作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角 拓展作图:作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线 45°角作法: ①先作直角,再作直角的角平分线，即可得到45°角; ②通过作等腰直角三角形,得到 45°角 问题构建 问题4:根据题目给出的“正八边形内接于正方形”的定义,核心关键信息有哪些？你如何理解这个定义？结合课本中的图片进行描述. 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形,且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上,那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 关键信息：①正方形内嵌套正八边形；②正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上；③正八边形整体在正方形内部（含边上） 理解：正方形的四条边，每条边上至少有1 个正八边形的顶点，正八边形无超出正方形的部分，完整嵌套在正方形内部 问题构建 问题5：正八边形内接于正方形，可能有哪些情形？请描述每种情形的顶点分布特点，并说明对应草图的核心特征. 八个顶点都在边上 四个顶点在边的中点上 四个顶点在边的非中点上 从特殊到一般的数学思想 问题构建 问题6：以上3种情形中,哪种符合题目“古建筑藻井图案”的实际场景？为什么？ 数学抽象 原因:古建筑藻井是正方形内嵌套完整正八边形,正方形四个角为完整直角,正八边形八个顶点都在正方形边上,正八边形有四条边与正方形的边完全重合重合,完美匹配“嵌套”的视觉效果,与题目给出的藻井实物图一致. 问题构建 问题7:结合正方形与正八边形的性质,内接于正方形的正八边形,必须满足哪些核心的边角特征？从特殊图形开始研究. 正八边形固有特征:8条边长度相等,8个内角均为135°. 正方形四个角截出的三角形均为全等的等腰直角三角形 正方形的边被正八边形的顶点分为两段,短段（等腰直角三角形直角边）与正八边形边长的比为 1: 图形关于正方形的4条对称轴完全对称,顶点分布符合轴对称特征 问题构建 问题8:你能尝试用尺规作出8个顶点都在正方形边上的正八边形吗？ 1.用尺规作出任意位置的等腰直角三角形,如右图所示等腰直角三角形BOE. 2.作∠BOE的角平分线交AB于H 3.以点E为圆心，EH为半径画弧交AB与K，连接KH 4.以K为圆心KH为半径画弧交于AB边，依次截取即可完成作图. 协作破冰 问题9:你能尝试用尺规作出4个顶点都在正方形边中点上的正八边形吗？ 1.作正方形ABCD四个边的中点,分别为E、F、G、H. 2.连接AC交EH于点I 3.作∠AEI的角平分线AM交AC于M,连接MH 4.分别以E、F、G、H为圆心,以EM为半径画圆，得到正八边形其余的顶点 协作破冰 追问:经历刚才的画图步骤，你有没有发现更简单的作图方法？ 1.作出正方形的对角线 2.以交点为圆心，以边长一半为半径画圆 3.连接所得的交点即可得到正八边形. 协作破冰 问题10:观察老师制作的图案和动画,说说你有怎样的发现？ 4个顶点位于正方形边上的正八边形有无数个. 教师示范 问题11:刚才我们从形的角度对内嵌正八边形进行了细致的研究，你能从数的角度找一找制作图形时需要满足怎样的条件？我们从正八边形的边长与正方形边长关系入手进行研究. 教师示范 假设正方形边长为m,正八边形边长为n（同学们可以课下研究谈论，和同伴老师交流.） m：n== m:n= 对于任意一点的情况，边长介于两种特殊情况之间 巩固拓展 问题12：通过本节课的探究，你总结出了几种作内接于正方形的正八边形的尺规作图方法？这些方法各自的核心特点是什么？ 核心画法： 1.先制作45°角，再借助角平分线制作八边形内角135°,最后借助正八边形边长都相等顺次作一条线段等于已知线段. 2.对称轴法：利用正方形4条对称轴,将正方形分为8个全等等腰直角三角形,在对称轴上截取等长线段得到顶点成图. 巩固拓展 问题13：在探究过程中,我们用到了本章特殊平行四边形（正方形）的哪些性质？这些性质分别起到了什么作用？ 1.正方形四边相等、四角为直角的性质：是推导截出的三角形为全等等腰直角三角形的核心依据,也是证明正八边形边相等、角为135°的基础,是整个探究的逻辑起点. 2.正方形的轴对称性（4条对称轴）：保证了正八边形顶点的对称分布，只需确定一条边上的顶点位置,即可通过对称性得到其余顶点,大幅简化作图步骤. 3.正方形对角线长度为边长倍的性质：是推导顶点位置数量关系的关键,让我们可以通过尺规直接截取所需线段长度,实现了无计算的精准作图. 巩固拓展 问题14：通过本节课的探究,你积累了哪些解决“特殊平行四边形内接正多边形”这类问题的通用经验？ 核心经验： 1.先明确定义,拆解核心特征,拆解特殊平行四边形与正多边形的核心性质,找到两者结合的关键边角关系、对称特征 2.先推导数量关系,化繁为简 3.充分利用图形的对称性,特殊平行四边形与正多边形均具备对称性,利用对称性可快速定位顶点位置,简化作图步骤. 4.作图后严谨验证说理,完成作图后,需紧扣正多边形的定义，从边、角两个维度通过几何推理证明作图的正确性，而非仅靠直观观察.培养严谨的逻辑推理能力. 当堂检测 1.如果要在边长为10cm的正方形里作一个内接正八边形(8个顶点都在边上),这个正八边形的边长是多少？（精确到 0.1cm） 根据所学关系： 正方形边长：正八边形边长= 所以：=≈4.1cm 当堂检测 2.本章我们还学习了菱形，你能类比本节课的方法，说出在内角为 60° 和 120° 的菱形中，作内接正六边形的核心思路吗？ 核心思路： ① 明确正六边形的性质：6条边相等，每个内角 120°，与菱形的120°内角匹配； ② 利用菱形四条边相等、轴对称的性质,推导正六边形顶点在菱形边上的位置,确定等长线段的截取长度； ③ 作菱形的2条对称轴,以菱形钝角顶点为圆心,以较短对角线一半为半径画圆，在菱形四条边+菱形的顶点得到6个顶点； ④顺次连接得到正六边形. 反思总结 1.通过本节课的探究,你总结出了几种作内接于正方形的正八边形的尺规作图方法？这些方法各自的核心特点是什么？ 2.在探究过程中,我们用到了本章特殊平行四边形（正方形）的哪些性质？这些性质分别起到了什么作用？ 3.通过本节课的探究,你积累了哪些解决“特殊平行四边形内接正多边形”这类问题的通用经验？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第25页 第1题 二、素养类作业 课本第25页 第2题 动手操作作品展示 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $