1.4《正方形的性质与判定》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过生活中正方形宣传展板、七巧板等实例导入，对比矩形、菱形的边、角、对角线性质表格，构建从平行四边形到特殊化的知识支架，衔接旧知。 其亮点在于情境化设计与一题多变，结合社会主义核心价值观宣传展板情境，通过定理证明、例1及变式训练发展推理思维，实际检验方案（用卷尺测边和对角线）提升应用意识。帮助学生掌握解题方法，教师教学有结构化流程支持。

第一章 特殊的平行四边形 第4课 正方形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 正方形的性质 学习目标 1.通过对比正方形与矩形、菱形的定义与性质,经历猜想、证明正方形独有性质的过程,掌握正方形的特殊性质,能精准运用性质解决几何问题. 2.通过对课本例1的深度拆解与一题多变拓展探究,掌握正方形中线段数量与位置关系的通用解题方法,提升与逆向思维能力. 3.通过探究课本“尝试・交流”问题,深化对正方形与其他四边形从属关系的理解,建立“从一般到特殊”的几何研究思维,在解决现实问题的过程中,体会数学与生活的紧密联系,增强数学应用意识,涵养家国情怀与集体荣誉感. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 问题1 同学们,学校要制作一批正方形的社会主义核心价值观宣传展板,生活中我们随处可见正方形的应用,你能举出哪些例子？正方形相比长方形、菱形,给你最直观的特殊感受是什么？ 七巧板、地砖、桌面、魔方等;正方形不仅方正规整,同时兼具了长方形的直角特征和菱形的等边特征,比两者更特殊. 问题构建 问题2 回顾旧知,我们已经学过平行四边形、矩形、菱形的定义与核心性质,请你完成下表的对比,明确矩形、菱形分别是平行四边形在哪方面的特殊化？ 图形 边的核心性质 角的核心性质 对角线的核心性质 平行四边形 矩形 菱形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 对边平行且相等 四个角都是直角 相等且互相平分 四条边都相等，对边平行 对角相等 互相垂直平分，平分内角 矩形是平行四边形角的特殊化,菱形是平行四边形边的特殊化 问题构建 问题3 结合宣传展板的制作需求,你认为正方形是平行四边形经过怎样的特殊化得到的？它和矩形、菱形有什么从属关系？ 正方形既是有一组邻边相等的矩形（边的特殊化），也是有一个角是直角的菱形（角的特殊化）；因此正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是最特殊的平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 问题构建 问题4 结合正方形与矩形、菱形的从属关系,请你尝试提炼:正方形相比矩形,有哪些独有的性质？相比菱形,又有哪些独有的性质？ 对比矩形（共有性质:四个角为直角、对边相等、对角线相等且平分）, 正方形的独有性质:四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角； 对比菱形（共有性质：四条边相等、对边平行、对角线互相垂直平分、平分内角） 正方形的独有性质:四个角都是直角、对角线相等 问题构建 定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等 定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分 定理1 证明:∵正方形是有一组邻边相等的矩形,矩形的四个角都是直角、对边相等 ∴正方形四个角为直角,且邻边相等+对边相等→四条边全部相等 同时,正方形是有一个角为直角的菱形,菱形四条边相等 ∴正方形四条边相等,且一个直角可推导出四个角均为直角 定理2 证明:∵正方形是特殊的矩形,矩形对角线相等且互相平分;正方形是特殊的菱形,菱形对角线互相垂直且平分 ∴正方形的对角线同时具备两者的核心特征,即相等且互相垂直平分 问题构建 问题6 回到我们的思政宣传展板场景,如图,在正方形宣传展板ABCD中,E为 CD边上的加固点,F为BC延长线上的固定点,且CE=CF,我们要在BE、DF的位置安装金属支架,请问这两个支架的长度有什么关系？位置有什么关系？请你用本节课所学的正方形独有性质说明理由. 解（1）BE=DF ∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形四条边相等，四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°，∴∠BCE=∠DCF 又∵CE=CF ∴△BCE≌△DCF（SAS） ∴BE=DF 问题构建 问题6 回到我们的思政宣传展板场景,如图,在正方形宣传展板ABCD中,E为 CD边上的加固点,F为BC延长线上的固定点,且CE=CF,我们要在BE、DF的位置安装金属支架,请问这两个支架的长度有什么关系？位置有什么关系？请你用本节课所学的正方形独有性质说明理由. （2）BE⊥DF 延长BE,交DF于点M ∵△BCE≌△DCF ∴∠CBE=∠CDF ∵∠DCF=90° ∴∠CDF+∠F=90° ∴∠CBE+∠F=90° ∴∠BMF=90° ∴ BE⊥DF 协作破冰 问题7 回顾例1的解题过程,我们解决这个问题的核心步骤是什么？用到了正方形的哪些性质？ 核心步骤:①利用正方形的边、角独有性质,证明两个三角形全等；②利用全等三角形的性质得到线段相等； ③利用直角三角形的两锐角互余,推导角度关系,证明垂直.用到的正方形性质:四条边相等、四个角都是直角 变式1:在正方形宣传展板ABCD中，将点E移动到CD的延长线上,点F移动到BC延长上,仍然保持CE=CF,请问例1的结论BE=DF,且BE⊥DF还成立吗？请说明理由. 协作破冰 变式2:在正方形宣传展板ABCD中,点E在CD边上,点F在BC边上,仍然保持CE=CF,请问BE 和DF的数量关系还成立吗？位置关系还成立吗？请说明理由 变式3:在正方形宣传展板ABCD中,点E在CD 边上,点F在BC延长线上,已知BE⊥DF,且 BE=DF,求证:CE=CF 教师示范 变式4:在例1的条件下,连接EF,①请判断△ECF的形状,并说明理由；②若正方形 ABCD的边长为10cm,CE=4cm,求EF、BE的长度 变式5:在正方形宣传展板ABCD中,要在边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,使得 EG⊥FH,且EG=FH,请问这四个点需要满足什么条件？请你结合例1的探究方法,动手画一画,并说明理由. 教师示范 问题8 我们要在正方形宣传展板上,以展板的对角顶点A、C为两个顶点,设计一个菱形装饰图案,请问这个菱形的另外两个顶点需要满足什么条件？请你动手画一画,并说明画图的理由. 另外两个顶点必须在正方形另一条对角线 BD所在的直线上,且到AC中点的距离相等. 理由:菱形的核心性质是对角线互相垂直平分,AC作为菱形的一条对角线,另一条对角线必须与AC垂直且平分;而正方形的对角线 BD 恰好与AC垂直且互相平分（正方形对角线的独有性质）,因此另两个顶点在BD所在直线上,且关于AC的中点对称,即可保证四条边相等,构成菱形. 巩固拓展 问题9:在图中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E、F、G、H依次在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上,则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试,并与同伴交流你画图的理由. 问题10 木工师傅完成了正方形思政宣传展板的制作,现有测量工具只有卷尺,你能利用本节课学的正方形独有性质,帮师傅检验制作的展板是不是标准的正方形吗？请说出你的检验方案和对应的依据. 核心方案: ①先用卷尺测量展板的四条边 ②再测量两条对角线的长度 依据:对角线相等是正方形区别于普通菱形的性质,四条边相等是正方形区别于普通矩形的独有性质. 当堂检测 1.下列关于正方形的性质,说法错误的是（ ） A.正方形的四条边相等,四个角都是直角 B.正方形的对角线相等且互相垂直平分 C.正方形的对角线平分内角，每个内角被平分为30°的角 D.正方形既是特殊的矩形,也是特殊的菱形 C 解析:对角线平分内角,每个内角90°,被平分为45°的角,而非30°,其余选项均为正方形的正确性质与从属关系. 当堂检测 2.如图,在正方形ABCD中,BE⊥DF,BE=DF,若CE=3cm,正方形的边长为8cm,则CF的长度为______cm,BE的长度为______cm. 解析:由例1的逆向变式结论,可证△BCE≌△DCF,∴CF=CE=3cm；在Rt△BCE中，BC=8cm,CE=3cm,由勾股定理得BE=cm. 3 当堂检测 3.如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,点F在CD边上,且AE=BF,求证：AE⊥BF 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90° 在Rt△ABE和Rt△BCF中,AE=BF,AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL） ∴∠BAE=∠CBF ∵∠BAE+∠AEB=90° ∴∠CBF+∠AEB=90° ∴AE与BF的夹角为90°,即AE⊥BF 当堂检测 4.如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,连接BE、DE,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠ADE的度数. 解:∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠BAE=∠DAE=45° 又∵AE=AE ∴△ABE≌△ADE（SAS） ∴∠CEB=∠CED=∠DEB=70° ∵∠CED是△ADE的外角 ∴∠CED=∠EAD+∠ADE ∵∠EAD=45° ∴∠ADE=70°-45°=25° 反思总结 1.本节课我们探究的正方形,它区别于矩形、菱形的核心独有性质有哪些？请你用最简洁的语言梳理出来. 2.围绕课本例1,我们做了多组一题多变的探究,你发现解决正方形中线段关系问题的通用核心方法是什么？用到了正方形的哪些独有性质？ 3.回顾本节课“生活-数学-生活”的探究过程,这种“从一般到特殊、从基础到变式”的几何研究方法,对你后续学习特殊平行四边形有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第18页 第1,2题 二、素养类作业 课本第22页 第7题(正方形性质的拓展学习) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $