课时五十一 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 课后练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本课时同步练聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值，通过14道题实现基础巩固到综合应用的分层设计，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性判断、最值计算等单一知识点|以选择填空为主，如判断sin2>cos1，直接应用函数性质| |提升层|定义域值域综合、参数问题|含多选（第7题零点问题）和参数讨论（第8题存在性问题），深化逻辑推理| |综合层|性质综合应用、不等式恒成立|解答题融合多性质，如第14题结合单调性与恒成立求参数范围，培养综合思维|

课时五十一　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 课后练习 一、选择题 1.下列不等式成立的是(　　) A.sin>sin B.sin 3>sin 2 C.sinπ>sin D.sin 2>cos 1 2.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 3.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin 有(　　) A.最大值1,最小值-1 B.最大值1,最小值- C.最大值2,最小值-2 D.最大值2,最小值-1 4.函数y=sinπ的单调递增区间是(　　) A.[4kπ,(4k+1)π](k∈Z) B.[4k,4k+2](k∈Z) C.[2kπ,(2k+2)π](k∈Z) D.[2k,2k+2](k∈Z) 5.若函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于(　　) A. B. C.2π D.4π 6．函数f(x)＝sin πx对于任意x∈R的都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 7．(多选)若f(x)＝sin x－在只有一个零点，则a的可能取值是(　　) A.－1 B．1 C． D．0 8．已知函数f(x)＝2sin (x＋)，g(x)＝2k cos (x－)－1，若对任意t∈，都存在s∈(，)，使得等式f(t)＝g(s)成立，则实数k的可能取值是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 9.函数y=2cos,x∈的值域为　　　　　.  10.函数y=sin2x-4sin x的最大值为　　　　　.  11.已知函数y=3sin,x∈的单调递增区间为[0,m],则实数m的值为　　　　　.  12．已知函数f(x)＝cos (3x＋)，其中x∈，若f(x)的值域为，则m的取值范围为________． 三、解答题 13.已知函数f(x)=2sin(-<φ<),且f(x)的图象经过点(0,1). (1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值; (2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合; (3)求函数f(x)的单调递增区间. 14．已知函数f(x)＝2sin (2x－)＋1. (1)求函数f(x)的周期； (2)求函数f(x)在区间(0，π)内的单调区间； (3)若对x∈R，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，试求m的取值范围． 课时五十一　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 课后练习（答案） 一、选择题 1.下列不等式成立的是(　　) A.sin>sin B.sin 3>sin 2 C.sinπ>sin D.sin 2>cos 1 解析:∵sin 2=cos=cos, 且0<2-<1<π,∴cos>cos 1, 即sin 2>cos 1. 答案:D 2.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递减的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 解析:C,D两项中函数的周期都为2π,不符合题意,排除选项C,D;B项中y=cos2x+=-sin 2x,该函数在区间上单调递增,不符合题意;A项中y=sin=cos 2x,该函数符合题意,选A. 答案:A 3.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin 有(　　) A.最大值1,最小值-1 B.最大值1,最小值- C.最大值2,最小值-2 D.最大值2,最小值-1 解析:因为-≤x≤,所以-≤x+.所以-≤sin≤1.所以-1≤f(x)≤2. 答案:D 4.函数y=sinπ的单调递增区间是(　　) A.[4kπ,(4k+1)π](k∈Z) B.[4k,4k+2](k∈Z) C.[2kπ,(2k+2)π](k∈Z) D.[2k,2k+2](k∈Z) 解析:y=sinπ=sin,由-+2kπ≤+2kπ(k∈Z),得2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z).所以函数y=sinπ的单调递增区间是[4k,4k+2](k∈Z). 答案:B 5.若函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于(　　) A. B. C.2π D.4π 解析:作出y=sin x的一个简图如图所示.因为函数y=sin x在[a,b]上的值域为, 且sin=sin,sin =-1, 所以在定义域[a,b]上,b-a的最小值为, b-a的最大值为2π+, 所以b-a的最大值与最小值之和为2π. 答案:C 6．函数f(x)＝sin πx对于任意x∈R的都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：因为函数f(x)＝sin πx对于任意x∈R的都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立， 所以f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值， 所以|x2－x1|的最小值为半个周期，即·＝1.故选B. 答案：B 7．(多选)若f(x)＝sin x－在只有一个零点，则a的可能取值是(　　) A.－1 B．1 C． D．0 解析：由题知sin x－＝0在x∈上有一个解， 即y＝sin x，x∈与y＝有一个交点， 当x∈，有一个x满足sin x∈∪{1}，所以∈∪{1}，即得a∈(0，1]∪{－1}． 答案：ABC 8．已知函数f(x)＝2sin (x＋)，g(x)＝2k cos (x－)－1，若对任意t∈，都存在s∈(，)，使得等式f(t)＝g(s)成立，则实数k的可能取值是(　　) A． B． C． D． 解析：当x∈，有≤x＋≤，故≤sin (x＋)≤1，故f(x)的值域为[1，2]. 当x∈(，)，有－<x－<，故<cos (x－)≤1，所以1<2cos (x－)≤2， 当k>0时，g(x)的值域为(k－1，2k－1]， 因为任意t∈，都存在s∈(，)，使得等式f(t)＝g(s)成立， 故[1，2]⊆(k－1，2k－1]，故即≤k<2. 当k<0时，同理有[1，2]⊆[2k－1，k－1)，故此不等式组无解． 综上，≤k<2.故选B. 答案：B 二、填空题 9.函数y=2cos,x∈的值域为　　　　　.  解析:∵x∈,∴2x+, ∴cos, ∴函数y的值域为[-1,2]. 答案:[-1,2] 10.函数y=sin2x-4sin x的最大值为　　　　　.  解析:y=sin2x-4sin x=(sin x-2)2-4. ∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=-1时,y取最大值ymax=(-1-2)2-4=5. 答案:5 11.已知函数y=3sin,x∈的单调递增区间为[0,m],则实数m的值为　　　　　.  解析:由-+2kπ≤2x+ +2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 又因为0≤x≤,所以0≤x≤,即函数y=3sin,x∈的单调递增区间为. 所以m=. 答案: 12．已知函数f(x)＝cos (3x＋)，其中x∈，若f(x)的值域为，则m的取值范围为________． 解析：因x∈，则≤3x＋≤3m＋，而cos ＝－，cos π＝－1，且y＝cos x在上单调递减， 要使f(x)的值域为，必有3m＋≥π， 又y＝cos x在上单调递增，其值从－1增到0，f(x)最大值不超过－，且cos ＝－，则有3m＋≤，综上得π≤3m＋≤，解得≤m≤. 答案： 三、解答题 13.已知函数f(x)=2sin(-<φ<),且f(x)的图象经过点(0,1). (1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值; (2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合; (3)求函数f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数f(x)的最小正周期为T==π. 因为f(x)的图象经过点(0,1), 所以f(0)=2sin φ=1,即sin φ=. 又因为-<φ<,所以φ=. (2)由(1)可知f(x)=2sin,所以函数f(x)的最大值是2,此时2x++2kπ(k∈Z), 即x=+kπ(k∈Z), 所以f(x)取得最大值时x的取值集合是{x+kπ,k∈Z}. (3)由(1)可知f(x)=2sin. 由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 14．已知函数f(x)＝2sin (2x－)＋1. (1)求函数f(x)的周期； (2)求函数f(x)在区间(0，π)内的单调区间； (3)若对x∈R，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，试求m的取值范围． 解：(1)周期T＝＝π. (2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 当k＝0时，－≤x≤；当k＝1时，≤x≤. 又因为x∈(0，π)，所以f(x)在区间(0，π)内的单调递增区间是，；在区间(0，π)内的单调递减区间为. (3)因为f(x)＝2sin (2x－)＋1，所以f(x)＋2>0. 又因为mf(x)＋2m≥f(x)可化为m≥1－，所以m≥(1－)max.当f(x)取到最大值3时，1－取得最大值，故m≥. 学科网（北京）股份有限公司 $