山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 山西大学附中高二期末数学试卷，以数学节、电商推送、乒乓球赛制等真实情境为载体，融合函数、概率统计、导数等核心知识，考查数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、函数性质等|基础概念辨析，如偶函数性质与单调性关系| |多选题|3/18|函数图像、正态分布、概率|多选项分层考查，如正态分布图像对称性分析| |填空题|3/15|不等式、排列组合、函数奇偶性|情境化设计，如甲、乙不相邻排列问题| |解答题|5/77|概率统计（电商推送、昆虫产卵回归）、随机变量（质点移动）、导数应用、独立性检验|真实数据驱动（如昆虫产卵回归分析），探究性强（如乒乓球赛制概率比较），体现模型观念与推理能力|

山西大学附中 2025～2026学年第二学期高二期末考试 数 学 试 题 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知偶函数的定义域为R，则“在R上有最小值”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6． 2026年6月4日是山西大学附中第二届数学节，现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 7．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 8．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中． （a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为． 则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．不等式的解集为 ． 13．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有 ．（用数字作答） 14．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． （1）在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； （2）求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 16．（15分）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，线性回归模型的残差平方和，，其中，分别为观测数据中的温度和产卵数，． （1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到，按的近似值计算即可） （2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且决定系数． 试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好． 用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）． 附：一组数据,，,，，,，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数． 17．（15分）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置. （1）求随机变量的概率分布列及和； （2）当时，指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 18．（17分）已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）若，对任意的,恒成立，求的最小值． 19．（17分）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知在某个赛季甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜有影响. 甲获胜 乙获胜 合计 5局3胜 7局4胜 合计 （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 参考数据：，， 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 试卷第1页，共3页 高二数学期末试题 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第二学期高二期末考试 数 学 试 题 1、 选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】集合的交运算，集合与集合间的基本关系 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故 故选：D. 2．已知复数，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】解：，则. 故选：A. 3．已知偶函数的定义域为R，则“在R上有最小值”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由偶函数的性质和单调性可得，可判断必要性成立；举例可说明充分性不成立. 【详解】必要性：若在上单调递增， 是定义在R上的偶函数，， 在处取得最小值，故必要性成立； 充分性：若在R上有最小值， 如是偶函数，且在R上有最小值， 但在上有增有减，故充分性不成立， 故“在上单调递增”是“在R上有最小值”的必要不充分条件. 故选：B. 4．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 故选：B. 5．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 6．2026年6月4日是山西大学附中第二届数学节，现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】D 【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案. 【详解】法一：根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组， 安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 法二：去甲活动场地共有（种）情况， 去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况， 所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）． 故选：D． （本题改编为更改活动背景） 7．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 故选：C． 8．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】易知方程有两个异号实根，不妨令， 对于，若对任意有意义，则，即． 当时，若对任意恒成立，则； 当时，对于恒成立， 则当时，，与已知矛盾； 当时，在上单调递增， 则要使得在时恒成立，必有成立． 所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 10．已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，因为，所以，， 所以，又， 所以，即， 所以，即的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD． 11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中． （a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的均值 【详解】法一：（特值法）取进行计算，比较即可． 法二：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能取值为0，1， 则， 所以，所以； 从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为，则的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以，所以， 所以，所以A正确，B错误． 从乙盒中取个球时，取出的红球的个数记为，则服从超几何分布，，所以，所以，所以C正确，D错误． 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 13．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 14．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、分组（并项）法求和 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． （1）在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； （2）求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 16．（15分）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，线性回归模型的残差平方和，，其中，分别为观测数据中的温度和产卵数，． （1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到，按的近似值计算即可） （2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且决定系数． 试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好． 用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）． 附：一组数据,，,，，,，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数． 【详解】（1）由题意则， ， ， ， y关于x的线性回归方程为. 备注：也算对，对应的y关于x的线性回归方程为. （2）（i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当，时（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 17．（15分）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置. （1）求随机变量的概率分布列及和； （2）当时，指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 【详解】（1）设质点次移动中向右移动的次数为，则， ， 当时，可能取值为， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 2 4 P 因为，且， 所以，． （2）由（1）知，， 则，其中， 令，即， 解得 所以当为6或7时，最大，即最大， 所以质点最有可能位于或的位置 18．（17分）已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）若，对任意的,恒成立，求的最小值． 【详解】（1），. 当时，，. 曲线在点处的切线方程为. 令时，;令时，; 该切线与坐标轴围成的三角形的面积，由题意知，即， 解得或 （2）函数的定义域为；由，解得. 令，则函数不单调的充要条件是其导函数变号， 这等价于大于的最小值. 由，令，解得 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ，即， 解得.的取值范围是 （3），函数的定义域为，， 设，则 在上单调递减 又，当时， ，使得，即，得 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ,恒成立， ,,，解得 令， 则 令，解得或 ∵ ，∴ ，故 舍去，解得 ” 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 的最小值为. 19．（17分）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知在某个赛季甲、乙两人采用两种赛制各共进行了场比赛，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜有影响. 甲获胜 乙获胜 合计 5局3胜 7局4胜 合计 （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：． （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 参考数据：，， 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）设零假设：赛制对甲获胜无影响，则列联表如下， 甲获胜 乙获胜 合计 5局3胜 7局4胜 合计 所以，若， 当时，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为赛制对甲获胜有影响，此推断犯错误的概率不超过； 当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为赛制对甲获胜无影响． （2）由题意， ， ， 综上，，得证. （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局， 设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况： 第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为， 则，得， 若第一阶段甲获胜，即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况， 甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜； 甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为， 所以， 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得， 所以， 则 ， 由，所以，得. 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $