1.3 矩形的性质与判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，通过复习矩形定义、性质导入，结合平行四边形活动框架的探索活动，搭建从性质到判定的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动和问题链引导学生经历判定定理的发现与证明，如通过“三个角是直角的四边形”“对角线相等的平行四边形”的推理过程培养推理能力，小结分类明确，例题与练习强化应用，帮助学生发展几何直观与空间观念，教师可高效开展判定教学。

1.3 矩形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第2课时 矩形的判定 1 创设情境，复习导入 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 1. 矩形的定义是什么？ 2. 矩形的性质有哪些？ 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等 矩形的两条对角线相等且互相平分 矩形的四个角都是直角 3. 根据上节课所学内容，如何判定一个四边形是矩形呢？ 探究新知，经历过程 探索活动 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击播放 几何语言： 矩形的判定方法 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ADC = 90° ∴四边形 ABCD 是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 A B D C 思考·交流 A B D C 矩形的角具有怎样的性质？你能写出它的逆命题吗？它是真命题吗？为什么？ 性质：矩形的四个角都是直角 逆命题：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是矩形。 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流。 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 思考 已知：如图，在四边形 ABCD，∠A =∠B =∠C = 90°。 求证：四边形 ABCD 是矩形。 证明：∵∠A =∠B =∠C= 90°, ∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C = 180°。 ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴四边形 ABCD 是矩形。 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 定理 有三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90° ∴四边形 ABCD 是矩形。 几何语言： （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 思考 已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB。求证：□ ABCD 是矩形。 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC ≌ △DCB。∴∠ABC =∠DCB。 ∵AB∥DC，∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴∠ABC =∠DCB = ×180°= 90°。 ∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理 对角线相等的平行四边形是矩形。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC = BD ∴四边形 ABCD 是矩形。 几何语言： 例2 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 □ ABCD 的面积。 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC，OB = OD。 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4。 ∴OA = OB = OC = OD = 4。 ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。 ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC = 。 ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = 。 课堂小结 四边形 有三个角是直角 矩形 对角线互相平分且相等 矩形 平行 四边形 对角线相等 矩形 有一个角是直角 矩形 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定. 1. 在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，下列最符合条件的 图形是（　C　） C —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 如图，在△ABC中，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，当∠B＝ °时，四边形BEDF是矩形。 第2题图　　　　 90　 A层基础练 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加 下列条件后，不能判定▱ABCD为矩形的是（　C　） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD＝AB D. ∠BAD＝∠ADC C A层基础练 4. 如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO， 连接AD，CD。四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。 解：四边形ABCD是矩形。理由如下： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BO＝ AC，AO＝CO＝ AC。 ∴BO＝AO＝CO。又∵DO＝BO， ∴DO＝BO＝AO＝CO。∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵BD＝DO＋BO，AC＝AO＋CO，∴BD＝AC。 ∴▱ABCD是矩形。 解：四边形ABCD是矩形。理由如下： ∵BO是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BO＝ AC，AO＝CO＝ AC。 ∴BO＝AO＝CO。 ∴DO＝BO＝AO＝CO。∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵BD＝DO＋BO，AC＝AO＋CO，∴BD＝AC。 ∴▱ABCD是矩形。 又∵DO＝BO， A层基础练 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点B作 BE∥AC，且BE＝ AC，连接CE。求证：四边形BECO是矩形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝ AC。∴∠BOC＝90°。 ∵BE＝ AC，∴BE＝OC。又∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形。 ∵∠BOC＝90°，∴▱BECO是矩形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝ AC。∴∠BOC＝90°。 ∵BE＝ AC，∴BE＝OC。 ∴四边形BECO是平行四边形。 ∵∠BOC＝90°，∴▱BECO是矩形。 又∵BE∥AC， A层基础练 6. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为150 cm， 宽为80 cm，对角线为170 cm，那么这个桌面 （填 “合格”或“不合格”）。 合格　 B层 提升练 7. 如图是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD ＝6 cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝ 时， ▱ABCD的面积最大，此时▱ABCD是 形，面积为 。 90°　 矩　 48cm2 B层 提升练 8. （教材P15习题T5）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线， 分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D。试判断四边形ACBD 的形状，并证明你的结论。 解：四边形ACBD是矩形。证明如下： ∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM。∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。 同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。 ∵O是AB的中点，∴OA＝OB。 ∴四边形ACBD是平行四边形。 ∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD， ∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。 解：四边形ACBD是矩形。证明如下： ∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。 ∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM。 同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。 ∵O是AB的中点，∴OA＝OB。 ∴四边形ACBD是平行四边形。 ∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD， ∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。 ∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。 B层 提升练 9. （思想方法·辅助线）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，E是▱ABCD外一点，且∠AEC＝∠BED＝90°。求证：四边形 ABCD是矩形。 证明：如图，连接OE。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC，BD的中点。 ∴在Rt△AEC中，OE＝ AC， 在Rt△EBD中，OE＝ BD。 ∴AC＝BD。∴▱ABCD是矩形。 答图 ∵∠AEC＝∠BED＝90°， C层 拓展练 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $