1.3《矩形的性质与判定》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定定理，通过制作校园文化节矩形展板的实际问题导入，类比菱形判定方法，从矩形特殊性质逆命题出发，经猜想证明形成“性质逆命题-逻辑证明-应用拓展”的探究支架，衔接平行四边形知识。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理发展数学思维，一题多解多变训练数学语言表达。如用卷尺检验展板对应定理2，提升学生几何直观与运算能力，为教师提供结构化教学流程和实践素材。

第一章 特殊的平行四边形 第3课 矩形的性质与判定 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 矩形的判定 学习目标 1.通过回顾矩形的定义与特殊性质、菱形判定的探究方法，猜想并证明矩形的判定定理. 2.通过递进式问题链探究与一题多变训练,能根据题目已知条件，灵活选择最优的矩形判定定理完成证明与计算,提升几何直观与数学运算能力. 3.梳理矩形判定的知识体系,形成“性质逆命题猜想-逻辑证明-应用拓展”的特殊几何图形探究方法,提升自主归纳与知识迁移能力 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 为迎接校园文化节,咱们班要制作一块矩形宣传展板,木工师傅完成四边形框架后,我们如何利用已学的几何知识,科学、严谨地检验这个框架是否为标准矩形？ 四边形 矩形 平行四边形 问题构建 问题1:同学们,咱们班要制作校园文化节的矩形宣传展板,木工师傅做好了四边形框架,如果你是质检员,结合已学知识,你初步打算怎么检验这个框架是不是标准的矩形？ 最直接的方法是用矩形的定义,用直角尺检验有没有一个角是直角,同时用卷尺检验两组对边是否分别相等,有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.. 问题构建 如果我们没有直角尺,只有卷尺,还能完成检验吗？带着这个问题,我们今天一起探究矩形的判定方法. 问题2:我们之前学习了菱形的判定,大家回忆一下,我们是怎么一步步得到菱形的判定定理的？ ①回顾菱形的特殊性质②写出性质定理的逆命题③猜想逆命题是否为真命题④通过逻辑推理证明猜想⑤得到菱形的判定定理 追问1:矩形区别于一般平行四边形的特殊性质有哪些？ ① 矩形的四个角都是直角；② 矩形的对角线相等 问题构建 追问2:类比菱形判定的探究方法,要得到矩形的判定定理,我们接下来要做什么？ 写出矩形特殊性质定理的逆命题,猜想逆命题的真假,再通过逻辑推理证明猜想. 问题3:矩形的性质“四个角都是直角”的逆命题是什么？这个逆命题的条件能不能简化？为什么？ 命题是“四个角都是直角的四边形是矩形”.可以简化,因为四边形内角和为360°,如果三个角是直角,第四个角必然也是直角,因此简化为“有三个角是直角的四边形是矩形”. 问题构建 已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° ∴AD∥BC，AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行） ∴四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 又∵∠A=90° ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义） 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 问题构建 问题4：矩形的性质“对角线相等”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？给出你的判断理由. 逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”.这是假命题,比如等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形. 追问1:类比菱形判定的修改方式,我们给这个逆命题加什么前提，能让它成为真命题？ 加上“平行四边形”的前提,得到新的逆命题“对角线相等的平行四边形是矩形”. 问题构建 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 已知:在平行四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC=BD.求证:平行四边形 ABCD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC,AB∥DC ∴∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补） 在△ABC和△DCB中 AB=DC，BC=CB，AC=BD ∴△ABC≌△DCB（SSS） ∴∠ABC=∠DCB ∴∠ABC=∠DCB=90° ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义） 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 协作破冰 追问2:我们知道“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,结合判定定理2,你能不能得到一个直接判定任意四边形是矩形的定理？ 对角线互相平分说明四边形是平行四边形，再加上对角线相等,即可判定为矩形,因此得到:对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 追问3:请你总结3个判定定理的适用场景,分别在什么情况下选择对应的定理？ 定理1:已知条件聚焦四边形的内角,无需先证平行四边形，直接判定四边形是矩形； 定理2:已知条件已明确四边形是平行四边形,只需补充证明对角线相等即可； 定理3:已知条件聚焦四边形的对角线,无需先证平行四边形，直接通过对角线的关系判定矩形 协作破冰 【一题多解】已知:在平行四边形ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形. (只说思路,不写证明过程) 方法1（定理1）：证△ABM≌△DCM（SSS） 得∠A=∠D=90°,结合AD∥BC得∠ABC=90°， 三个角为直角,故四边形ABCD是矩形. 方法2（定理2）：连接AC、BD,证△AMB≌△DMC（SAS）,得AC=BD,平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形. 方法3（定理3）：平行四边形对角线互相平分,结合证得的AC=BD,对角线相等且互相平分,故四边形ABCD是矩形. 教师示范 【一题多变】 变式1：将原题条件改为“在平行四边形ABCD中，∠BMC=90°,MB=MC”其余条件不变，求证：四边形ABCD是矩形. 变式2：将原题条件改为“在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,M是AD中点，MB=MC”,求证：四边形ABCD是矩形. 变式3：将母题条件改为“在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,M是AD中点,MB=MC”,求证：四边形ABCD是矩形. 教师示范 问题5:回到上课开始的展板检验问题,现在我们有了3种判定定理,你能设计出几种检验方案？每种方案需要什么工具？对应哪个判定定理？ 方案1：用直角尺测量框架的3个内角,若均为直角,说明是矩形,对应定理1. 方案2：先用卷尺测量两组对边,确认两组对边分别相等（是平行四边形）,再测量两条对角线,若对角线相等,说明是矩形.对应定理2. 方案3：用卷尺测量两条对角线的长度,以及对角线分成的4条线段长度,若对角线互相平分且相等,说明是矩形,对应定理3. 巩固拓展 问题6:如果我们只有一根卷尺,没有直角尺,能不能完成检验？怎么操作？ 可以.先用卷尺测量框架的四条边,确认两组对边分别相等（证明是平行四边形）,再测量两条对角线的长度,若对角线相等,即可判定为矩形.对应定理2,无需直角尺即可完成检验. 本节课我们用严谨推理探究矩形判定，既学到几何知识，也懂得做事要精准规范、求真务实。愿大家以严谨之心对待学习与生活，用理性与责任守护秩序、成就更好的自己。 当堂检测 1.下列命题中,能判定四边形是矩形的是（ ） A.对角线相等的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.对角线互相平分且相等的四边形 D.对角线互相垂直的平行四边形 解析:A选项,等腰梯形对角线相等但不是矩形,错误；B选项,直角梯形有两个角是直角但不是矩形,错误；C选项,对角线互相平分说明是平行四边形,加上相等符合矩形判定定理,正确；D选项,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,错误. C 当堂检测 2.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,△AOB是等边三角形，AB=2,则平行四边形ABCD的面积为______. 解析：先借助等边三角形得出平行四边形ABCD是矩形，通过AB边的长度和60°计算出邻边BC的长度，进而算出面积等于方法较多，同学们可以交流讨论. 请同学们自己画出图形并计算. 当堂检测 3.已知:在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=∠B=90°,AD=BC.求证:四边形ABCD是矩形. 证明：∵AB∥DC ∴∠A+∠D=180° ∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A=∠B=90°， ∴∠D=∠C=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 当堂检测 4.已知:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC延长线上一点,且CE=BC,连接AE、DE,BD=DE.求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵CE=BC， ∴AD=CE， ∵AD∥CE ∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴AC=DE ∵BD=DE ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 反思总结 1.本节课我们学习了矩形的三种判定定理,它们分别是什么？各自的适用前提有什么核心区别？在证明一个四边形是矩形时,我们该如何根据已知条件选择最优的判定方法？ 2.回顾本节课的探究过程,我们如何得到了矩形的判定,这种方法在之前学习哪些几何图形时也用到过？这种探究方法对你后续学习特殊四边形有什么启发？ 3.本节课我们用矩形的判定知识解决了宣传展板的检验问题,你还能想到生活中哪些场景可以用到矩形的判定？这让你对“数学服务于生活”有了哪些新的理解？如何用数学的严谨性守护生活中的规范与安全？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第14页 第1题 二、素养类作业 课本第16页 第9题(生活应用) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $