第七章 概率 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学概率单元复习卷，以《镜花缘》灯球、共享单车扣分等文化与生活情境为载体，覆盖古典概型、独立事件等核心知识，通过基础辨析到综合应用的梯度设计，培养数学抽象与数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|独立事件（第1题）、互斥事件（第2题）|基础概念辨析，结合生活实例| |多项选择|3/18|概率性质（第9题）、事件关系（第10题）|易错点辨析，强化逻辑推理| |填空题|3/15|统计估算（第12题）、事件运算（第13题）|知识迁移应用，联系实际问题| |解答题|5/77|分层抽样（第17题）、骰子游戏设计（第19题）|综合考查分类讨论与模型构建，体现创新应用|

章末检测（七）　概率 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（　　） A.　　B.　　C.　　D. 2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为（　　） A.0.09　　B.0.98　　C.0.97　　D.0.96 3.一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（　　） A.1－a－b　　B.1－ab　　C.（1－a）（1－b）　　D.1－（1－a）（1－b） 4.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1 200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 5.教室有4扇编号分别为a，b，c，d的窗户和2扇编号分别为x，y的门，窗户d敞开，其余窗户和门均被关闭.为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 6.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 7.A，B，C，D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和一个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C的车的概率是（　　） A.　　B.　　C.　　D. 8.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是（　　） A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列四个命题错误的是（　　） A.对立事件一定是互斥事件 B.若A，B为两个事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B） C.若事件A，B，C彼此互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 D.若事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A，B是对立事件 10.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（　　） A.事件A发生的概率为　　 B.事件A∪B发生的概率为 C.事件A∩B发生的概率为　　D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 11.某人决定就近打车前往目的地，现前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”，他决定按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1，p2，则下列判断错误的是（　　） A.p1＝p2＝　　B.p1＝p2＝　　C.p1＝，p2＝　　D.p1＝，p2＝ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物　　　　只. 13.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为　　　　. 14.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为. （1）求恰有一名同学当选的概率； （2）求至多有两人当选的概率. 16.（本小题满分15分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. （1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 17.（本小题满分15分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. 18.（本小题满分17分）“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来了方便，为了规范用车行为，某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车.共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定有如下三条： ①共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分； ②闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分； ③损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分. 已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3.租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车. （1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率； （2）求甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所扣积分之和为7的概率. 19.（本小题满分17分）某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下： 顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券.设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”. ①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件； ②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖. 请替该店定出各个等级依次对应的事件并求相应概率. 章末检测（七）　概率 1.D　抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关，故选D. 2.D　任意抽查一件抽得正品的概率为1－0.03－0.01＝0.96. 3.C　∵两道工序相互独立，∴产品的正品率为（1－a）·（1－b）. 4.B　设小灯球有x个，大灯球有y个，则解得x＝120，y＝240，则灯球的总数为x＋y＝360，故这个灯球是大灯球的概率为P＝＝. 5.C　记“随机敞开2扇门或窗”为事件A，则事件A包含10个样本点，即（a，b），（a，c），（a，x），（a，y），（b，c），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y）.记“至少有1扇门被敞开”为事件B，则事件B包含7个样本点，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y），所以P（B）＝，故选C. 6.B　日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，记为a，b，c，日销售量为21个的有2天，记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有（A，B）1种，故所求概率P＝. 7.A　法一　设A，B，C，D四位妈妈的小孩分别是a，b，c，d，则坐车方式有（Ab，Ba，Cd，Dc），（Ab，Bd，Ca，Dc），（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Ba，Cd，Db），（Ac，Bd，Ca，Db），（Ac，Bd，Cb，Da），（Ad，Ba，Cb，Dc），（Ad，Bc，Ca，Db），（Ad，Bc，Cb，Da），共9种情况，而A的小孩坐C的车有3种情况，故所求概率为. 法二　A的小孩坐B或D或C的车的概率是相等的，所以坐其他三位妈妈的车的概率均为. 8.C　设事件A是“甲企业购买该机床设备”，事件B是“乙企业购买该机床设备”，事件C是“丙企业购买该机床设备”，事件M是“甲、乙、丙三家企业中恰有1家购买该机床设备”，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，则P（M）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝××＋××＋××＝.故选C. 9.BCD　在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在B中，若A，B为两个互斥事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B），若A，B不为两个互斥事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），故B错误；在C中，若事件A，B，C彼此互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）≤1，故C错误；在D中，若事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A，B有可能不是对立事件，故D错误. 10.BC　由题意知从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，样本点总数为4×5＝20，且每一个样本点出现的可能性都相等（此处不再一一罗列）.对于A，事件A包含的样本点有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11个，∴P（A）＝，故A错误；对于B，事件A∪B包含的样本点有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11个，∴P（B）＝，故B正确；对于C，事件A∩B包含的样本点有（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），共8个，∴P（C）＝＝，故C正确；对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球包含的样本点有（2，1），（2，2），（2，3），（2，5），（2，6），共5个，故对应概率为＝，故D错误. 11.ABD　记“车况好、中、差”分别为A，B，C，方案一包含的样本点数为n1，方案二包含的样本点数为n2，列表如下，由表中所列事件数可知，p1＝＝，p2＝＝，所以选项C正确. 1 2 3 n1 n2 A B C √ A C B √ B A C √ B C A √ C A B √ C B A 故选A、B、D. 12.12 000　解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000. 13.　解析：事件A包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”.显然A与是互斥的，故P（A∪）＝P（A）＋P（）＝＋＝. 14.0.492　解析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P（A）＋P（B）＋P（C）]×0.2＋[P（AB）＋P（BC）＋P（AC）]×0.6＋P（ABC）＝（0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8）×0.2＋（0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8）×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492. 15.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C， 则有P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝. （1）∵A，B，C相互独立， ∴恰有一名同学当选的概率为P（A ）＋P（B）＋P（ C）＝P（A）P（）P（）＋P（）P（B）P（）＋P（）·P（）·P（C）＝××＋××＋××＝. （2）至多有两人当选的概率为1－P（ABC）＝1－P（A）P（B）P（C）＝1－××＝. 16.解：（1）由题意，把抽取的结果记为（a，b，c），则所有可能结果为（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共有27种可能的结果. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共有3种可能的结果.所以P（A）＝＝. 因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. （2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包含的样本点有（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共有3种可能的结果，所以P（）＝＝. 故P（B）＝1－P（）＝1－＝.因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 17.解：（1）A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝， 所以样本中包含A，B，C三个地区的个体数量分别是 50×＝1，150×＝3，100×＝2. 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2. （2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为： A，B1，B2，B3，C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个. 每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.所以P（D）＝， 即这2件商品来自相同地区的概率为. 18.解：（1）记“甲扣1分”为事件A1，“甲扣2分”为事件A2，“甲扣5分”为事件A3， 则P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.4，P（A3）＝0.2. 记“乙扣1分”为事件B1，“乙扣2分”为事件B2，“乙扣5分”为事件B3， P（B1）＝0.5，P（B2）＝0.3，P（B3）＝0.2. 据题设知，A1，A2，A3，B1，B2，B3彼此相互独立. 记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件M，则P（M）＝0.4×0.5＋0.4×0.3＋0.2×0.2＝0.36. （2）设事件N为“甲、乙两人在初次租用共享单车一次之后所扣积分之和为7”，则P（N）＝0.4×0.2＋0.2×0.3＝0.14. 19.解：由题意，知样本点总数为36，列举如下： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），所以事件A共包含10个样本点，分别为（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），故P（A）＝＝. 事件B共包含6个样本点，分别为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），故P（B）＝＝. 事件C共包含12个样本点，分别为（1，3），（1，5），（2，4），（2，6），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，1），（5，3），（6，2），（6，4），故P（C）＝＝. 因为P（B）＜P（A）＜P（C）， 所以“两个同点”对应一等奖，概率为； “两个连号”对应二等奖，概率为； “同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为； 其余事件为感谢奖，概率为1－－－＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $