第七章 概率-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第七章　概率 全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.气象台预报“本市明天中心城区的降水概率为30%,郊区的降水概率为70%”.则关于该市明天降水情况的描述最为准确的是(　　) A.整个城市明天的平均降水概率为50% B.如果住在郊区,明天不带伞出门很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降水,而中心城区不会有降水 D.如果明天降水,郊区的降水量一定比中心城区多 2.袋内装有8个红球、2个白球,从中任取2个球,下列是互斥而不对立事件的是(　　) A.至少有一个白球与全部都是红球 B.至少有一个白球与至少有一个红球 C.恰有一个白球与恰有一个红球 D.恰有一个白球与全部都是红球 3.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C. 　　　　D. 4.已知一个古典概型的样本空间Ω和随机事件A,B,其中n(Ω)=12,n(A)=6,n(B)=4,n(A∪B)=8,则下列结论错误的是(注:n(M)表示事件M包含的样本点的个数)(　　) A.P(AB)=　　　　B.P(A∪B)=　　　　 C.P(B)=　　　　D.P(　)= 5.张益唐是著名的华人数学家,他在数论研究方面取得了巨大成就,曾经在《数学年刊》中发表《素数间的有界距离》,证明了存在无穷多对素数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过12的素数中,随机选取两个不同的数,能够组成孪生素数的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.某同学参加学校组织的化学竞赛,竞赛分为笔试和实验操作测试,该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为,在实验操作测试中结果为优秀的概率为,则该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 7.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组内的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 8.甲、乙两队进行冰壶比赛,约定三局两胜,每局必须决出胜负,负者下一局执后手,胜者下一局执先手.已知每局比赛中,甲队执先、后手胜乙队的概率分别为p1,p2,且<p1<<p2<1,记事件E,F,G和H分别为甲第一局执先手、第一局执后手、第二局执先手和第二局执后手获得比赛胜利,则(　　) A.P(E)>P(F)>P(G)　　　　B.P(F)>P(G)>P(H) C.P(E)>P(G)>P(H)　　　　D.P(G)>P(F)>P(H) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.抛掷两枚大小相同、质地均匀的骰子,设事件A为“第一枚掷出的点数为奇数”,事件B为“第二枚掷出的点数为偶数”,事件C为“两枚骰子掷出的点数之和为6”,事件D为“第二枚掷出的点数比第一枚的大5”,则(　　) A.A与B是互斥事件　　　　B.A与B是相互独立事件 C.P(C∪D)=　　　　D.A∩B与C是对立事件 10.一台仪器每启动一次都随机出现一个5位的数字A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,ai∈{0,1}(i=1,2,3,4,5),则(　　) A.A的所有试验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B.A=11100的概率大于A=00011的概率 C.A中各位数字之和是4的概率为 D.若a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,则仪器启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为 11.四支足球队进行单循环比赛(任两支球队都只进行一场比赛),任两支球队之间获胜的概率都是.单循环比赛结束后,以获胜的场次数作为该队的成绩,按成绩从高到低排名次,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是(　　) A.四支球队并列第一名为不可能事件 B.有可能出现恰有三支球队并列第一名的情况 C.恰有两支球队并列第一名的概率为 D.只有一支球队获得第一名的概率为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.一台打印机有喷墨头和扫描器两个独立的组件,喷墨头发生故障的概率是,扫描器发生故障的概率是,则这两个组件都不发生故障的概率是　　　　.  13.某校高三年级男生共600人,女生共400人,现按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队,则被抽取的女生人数为　　　　.若从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长,则恰有1个男队长的概率为　　　　.  14.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,已知p=,且他们各投2次,甲比乙投中次数多的概率为,则q的值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数. (1)写出此试验的样本空间; (2)求组成的两位数是偶数的概率; (3)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否相互独立,并说明理由. 16.(15分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率是,三人都做错的概率是. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 17.(15分)为了普及垃圾分类知识,某校举行了垃圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值; (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率. 18.(17分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛,竞赛分为初赛和决赛两个阶段,为了解初赛情况,现从高一年级随机抽取了200名学生,记录他们的初赛成绩,将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中m的值,并估计高一年级初赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替); (2)按照分层随机抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生,现从抽取的5名学生中随机抽取2名,求至少有1名学生的成绩在[60,70)内的概率; (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛,决赛规则如下:比赛前抽签决定首场比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛(比赛没有平局),先赢两场者获胜,比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,每场比赛相互独立.请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大. 19.(17分)有一种鱼的身体吸收汞,一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00 ppm(即百万分之一)的鱼被人食用后,就会对人体产生危害.现从一批这种鱼中随机选出30条,检验鱼身体中的汞含量与其体重的比值(单位:ppm),数据统计如下: 0.07　0.24　0.39　0.54　0.61　0.66　0.73　0.82　0.82　0.82 0.87　0.91　0.95　0.98　0.98　1.02　1.02　1.08　1.14　1.20 1.20　1.26　1.29　1.31　1.37　1.40　1.44　1.58　1.62　1.68 (1)求上述数据的中位数、众数、极差,并估计这批鱼该项数据的80%分位数; (2)有A,B两个水池,两水池用10个完全相同的小孔连通,所有的小孔均在水下,且可以同时通过2条鱼. (i)将其中汞的含量与其体重的比值最低的2条鱼分别放入A水池和B水池,若这2条鱼的游动相互独立,均有的概率进入另一水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池内的概率; (ii)将其中汞的含量与其体重的比值最低的2条鱼都先放入A水池,若这2条鱼均会等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池,两鱼的游动互不影响,求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率. 答案全解全析 1.B　对于A,整个城市明天的平均降水概率不一定为50%,故A错误; 对于B,明天郊区的降水概率较大,所以不带伞出门很可能淋雨,故B正确; 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降水,故C错误; 对于D,降水量并不取决于降水概率,故D错误. 2.D　对于A,事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”,与事件“全部都是红球”不可能同时发生,但必有一个发生,故为对立事件,不符合题意; 对于B,事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”,结合A知两个事件的交事件为“1红1白”,不是互斥事件,不符合题意; 对于C,两事件均为“1红1白”,为同一事件,不符合题意; 对于D,结合C知两事件不可能同时发生,但可能同时不发生,即“2个白球”,是互斥而不对立事件,符合题意. 3.D　由题意得即 则即<a≤,所以实数a的取值范围是. 4.D　由题意可作Venn图,如图. 对于选项A,n(AB)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=6+4-8=2, 所以P(AB)===,故A中结论正确; 对于选项B,P(A∪B)===,故B中结论正确; 对于选项C,n(B)=n(B)-n(AB)=4-2=2,所以P(B)===,故C中结论正确; 对于选项D,n()=n(Ω)-n(A∪B)=12-8=4,所以P()===,故D中结论错误. 5.B　不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个,从中任取两个数的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10个,其中是孪生素数的为(3,5),(5,7),共2个,故所求概率为=. 6.D　记事件A=“该同学在笔试中结果为优秀”,B=“该同学在实验操作测试中结果为优秀”,则P(A)=,P(B)=,易知事件A∪B为“该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀”,又事件A,B互斥,这两项测试的结果相互不受影响,所以该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为P(A)P()+P()P(B)=×+×=+=. 7.C　根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4.设生产产品数量在[10,15)内的2人分别是A,B,在[15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20个产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,且这15个样本点出现的可能性相等,其中2名工人不在同一组内的样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个,则选取的2名工人不在同一组内的概率为. 8.D　甲可能比赛两局获得比赛胜利,也可能比赛三局获得比赛胜利, 故有胜胜、胜负胜、负胜胜三种情况,根据互斥事件的概率公式, 得P(E)=p1·p1+p1·(1-p1)·p2+(1-p1)·p2·p1=+2p1p2-2p2, P(F)=p2·p1+p2·(1-p1)·p2+(1-p2)·p2·p1=+2p1p2-2p1, P(G)=p1·p1+p2·p1+p1·(1-p1)·p2+p2·(1-p1)·p2=++2p1p2-p2-p1, P(H)=(1-p1)·p2·p1+(1-p2)·p2·p1=2p1p2-p2-p1. 因为P(E)-P(F)=+2p1p2-2p2-(+2p1p2-2p1)=(p2-p1)(2p1p2-p1-p2)=(p2-p1)[p1(p2-1)+p2(p1-1)],而p2-p1>0,p1(p2-1)<0,p2(p1-1)<0, 所以P(E)-P(F)<0,即P(E)<P(F),故A错误; 因为P(F)-P(G)=+2p1p2-2p1-(++2p1p2-p2-p1)=--p1+p2=--p1p2(p2-p1)<0, 所以P(F)<P(G),所以P(E)<P(G),故B,C错误; 因为P(F)-P(H)=+2p1p2-2p1-(2p1p2-p2-p1)=(1-p1)+p2>0,所以P(F)>P(H),所以P(G)>P(F)>P(H),故D正确. 9.BC　事件A与事件B能同时发生,故事件A,B不是互斥事件,故A错误; 因为P(A)==,P(B)==,P(AB)==,所以P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立,故B正确; 事件C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},事件D={(1,6)},不可能同时发生,故事件C与D互斥,故P(C∪D)=P(C)+P(D)=+=,故C正确; A∩B表示“第一枚出现奇数点,第二枚出现偶数点”,则A∩B={(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)},又C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}, 所以(A∩B)∩C=⌀,(A∩B)∪C≠Ω,故事件A∩B与事件C是互斥事件,但不是对立事件,故D错误. 10.ACD　对于A,A的各位数字都可能为0或1,则A的所有试验结果构成的样本空间中有25=32个样本点,A正确; 对于B,P(A=11100)==P(A=00011),B错误; 对于C,若A的各位数字之和是4,则5个数字中有4个“1”和1个“0”,可能的情况有11110,11101,11011,10111,01111,共5种,其概率为,C正确; 对于D,由于a1=1,数字A中恰有2个0,即在a2,a3,a4,a5中恰好有2个0,2个1,可能的情况有0011,1100,1001,1010,0101,0110,共6种, 其概率P=6××=,D正确. 11.ABD　设四支足球队分别为a,b,c,d. 因为四支足球队进行单循环比赛,所以总共进行6场比赛,比赛的结果共有26=64(种). 对于A,这6场比赛中,若四支足球队在前4场比赛中各赢1场,则剩下的2场比赛中必然有两支或一支队伍获胜,那么所得成绩不可能都一样,故四支球队并列第一名是不可能事件,故A正确. 对于B,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时a,b,c三支球队所得成绩相同,并列第一名,故B正确. 对于C,在(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d)这6场比赛中,恰有两支球队并列第一名有6种可能,若为a,b并列,则分两类,第一类:a赢b,有2种情况,分别是这6场比赛中获胜的是a,b,c,d,a,b或a,b,d,a,c,b.第二类:b赢a,同理,也有2种情况,即若a,b并列第一名,则有4种情况.故恰有两支球队并列第一名的概率为6×=,故C错误. 对于D,在四支球队中选一支球队为第一名有4种可能,此时这支球队比赛的3场都胜,另外3场比赛有23=8种结果,故只有一支球队获得第一名的概率为×4=,故D正确. 12.答案　 解析　这两个组件都不发生故障的概率是×=. 13.答案　2; 解析　由题意得被抽取的5人中女生的人数为5×=2,分别设为a,b,则男生的人数为3,分别设为A,B,C, 从被抽取的这5人中抽取2人的所有情况有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10种, 其中恰有1个男队长的情况有6种,故所求概率为=. 14.答案　 解析　甲比乙投中次数多的可能情形有两种:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次,分别记为事件A,B.因为P(甲投中1次)=p(1-p)+(1-p)p=,P(乙投中0次)=(1-q)2,所以P(A)=(1-q)2,因为P(甲投中2次)=p2=,P(乙投中1次)=q(1-q)+(1-q)q=2q(1-q),所以P(B)=×[2q(1-q)+(1-q)2],显然事件A,B互斥,所以由甲比乙投中次数多的概率为得P(A)+P(B)=,即(1-q)2+×[2q(1-q)+(1-q)2]=,即9q2-36q+20=0,解得q=或q=(舍去).故q的值为. 15.解析　(1)从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数,则此试验的样本空间为{12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54}.(3分) (2)该试验共有20种情况,其中组成的两位数是偶数共有8种情况, 则组成的两位数是偶数的概率为=.(6分) (3)组成的两位数是3的倍数共有8种情况, 则组成的两位数是3的倍数的概率为=.(8分) 组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种情况, 则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为=.(10分) 记“组成的两位数是偶数”为事件A,“组成的两位数是3的倍数”为事件B,则“组成的两位数是偶数且为3的倍数”为事件AB, P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 由×=≠,可得P(A)P(B)≠P(AB),(12分) 则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不相互独立.(13分) 16.解析　(1)设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A,B,C,则P(A)=,(2分) 由题意得(4分) ∴ ∴或(6分) ∴乙做对这道题的概率为,丙做对这道题的概率为,或乙做对这道题的概率为,丙做对这道题的概率为.(8分) (2)设甲、乙、丙中恰有一人做对这道题为事件D, 则P(D)=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C),(11分) 则P(D)=××+××+××=,或P(D)=××+××+××=,(13分) ∴甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率为.(15分) 17.解析　(1)设事件A为“甲同学答对第一题”,B为“乙同学答对第一题”,C为“甲、乙两人均答对第一题”,D为“甲、乙两人恰有一人答对第一题”, 则P(A)=p,P(B)=q,C=A∩B,D=(A∩)∪(∩B),且A与B相互独立,A∩与∩B互斥,(2分) ∴P(C)=P(A∩B)=P(A)P(B)=pq=, P(D)=P(A∩)+P(∩B)=P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B)=p(1-q)+(1-p)q=, 解得p=,q=或p=,q=.(4分) ∵p>q,∴p=,q=.(6分) (2)设事件Ai为“甲同学答对了i道题”,Bi为“乙同学答对了i道题”,i=0,1,2, 则P(A1)=×+×=,P(A2)=×=, P(B1)=×+×=,P(B2)=×=.(10分) 设事件E为“甲、乙两人共答对3道题”,则E=(A1∩B2)∪(A2∩B1),且A1∩B2与A2∩B1互斥,(13分) ∴P(E)=P(A1∩B2)+P(A2∩B1)=×+×=, ∴甲、乙两人共答对3道题的概率为.(15分) 18.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.005+m+0.030+0.035+0.010)=1,解得m=0.020.(1分) 估计初赛的平均成绩为55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5(分).(2分) (2)由(1)知,成绩在[60,70),[70,80)内的频率之比为0.2∶0.3=2∶3, 则在[60,70)中随机抽取了5×=2(人),分别记为a,b, 在[70,80)中随机抽取了5×=3(人),分别记为c,d,e,(4分) 从5人中随机抽取2人的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共10个样本点,(5分) 设事件A=“至少有1名学生的成绩在[60,70)内”,则A={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be},共7个样本点,(6分) 因此P(A)=,所以至少有1名学生的成绩在[60,70)内的概率为.(7分) (3)若首场由甲、乙比赛,则甲获胜有三种情况: ①甲、乙比赛甲胜,甲、丙比赛甲胜,概率为×=,(8分) ②甲、乙比赛甲胜,甲、丙比赛丙胜,丙、乙比赛乙胜,乙、甲比赛甲胜,概率为×××=,(9分) ③甲、乙比赛乙胜,乙、丙比赛丙胜,丙、甲比赛甲胜,甲、乙比赛甲胜,概率为×××=,(10分) 所以最终甲获胜的概率为++=;(11分) 若首场由甲、丙比赛,则甲获胜有三种情况: ①甲、丙比赛甲胜,甲、乙比赛甲胜,概率为×=,(12分) ②甲、丙比赛甲胜,甲、乙比赛乙胜,乙、丙比赛丙胜,丙、甲比赛甲胜,概率为×××=,(13分) ③甲、丙比赛丙胜,丙、乙比赛乙胜,乙、甲比赛甲胜,甲、丙比赛甲胜,概率为×××=, 所以最终甲获胜的概率为++=;(14分) 若首场由乙、丙比赛,则甲获胜有两种情况: ①乙、丙比赛丙胜,丙、甲比赛甲胜,甲、乙比赛甲胜,概率为××=,　　(15分) ②乙、丙比赛乙胜,乙、甲比赛甲胜,甲、丙比赛甲胜,概率为××=, 所以最终甲获胜的概率为+==.(16分) 因为>>, 所以首场由甲、乙比赛才能使甲获胜的概率最大.(17分) 19.解析　(1)由题意知,数据的中位数为=1,(1分) 数据的众数为0.82,(2分) 数据的极差为1.68-0.07=1.61,(3分) 30×80%=24, 故估计这批鱼该项数据的80%分位数为=1.34.(5分) (2)(i)记“两条鱼最终均在A水池内”为事件M, 则P(M)=×=,(7分) 记“两条鱼最终均在B水池内”为事件N, 则P(N)=×=.(9分) ∵事件M与事件N互斥, ∴两条鱼最终在同一水池内的概率为P(M∪N)=P(M)+P(N)=+ =.　　(11分) (ii)记“两条鱼同时从第一个小孔通过”为事件C1,“两条鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2,……,“两条鱼同时从第十个小孔通过”为事件C10, ∵两鱼的游动互不影响,且等可能地从其中任意一个小孔通过, ∴P(C1)=P(C2)=…=P(C10)=×=.(13分) 记“两条鱼由不同小孔从A水池进入B水池”为事件C, 则C与C1∪C2∪…∪C10对立, 又事件C1,C2,…,C10互斥, ∴P()=P(C1∪C2∪…∪C10)=10×=,(15分) 故P(C)=1-P()=.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$