第七章 3频率与概率 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学“频率与概率”同步练，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，覆盖从概念理解到实际情境应用的知识路径，强化数据意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与简单计算|选择/填空（如骰子概率、频率计算）| |中档|综合应用与辨析|多选/图表题（如随机模拟、直方图）| |提升|复杂情境与跨知识应用|解答/情境题（如优质品率、出租车辨色）|

3　频率与概率 1. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，则两颗骰子正面朝上的点数不相同的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  2.从存放标有1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是（　　） A.0.53　 B.0.5 C.0.47　 D.0.37 3.“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（　　） A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防 B.小概率事件很少发生，不用怕 C.小概率事件就是不可能事件，不会发生 D.大概率事件就是必然事件，一定发生 4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 631　257　393　027　556　488　730　113　137　989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为（　　） A.　 B. C.　 D. 5.（多选）下列说法正确的是（　　） A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B.某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D.频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 6.（多选）下列说法正确的是（　　） A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率 B.掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件 C.连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀 D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于 7. 袋中仅有大小相同的2个红球和1个白球，现从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率为　　　　. 8.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150] 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的　　　　%. 9.投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则a　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　. 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为　　　　. 10.国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如下表： 抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数目 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 （1）计算表中优等品的各个频率； （2）从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？ 11.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理（　　） A.甲公司　 B.乙公司 C.甲与乙公司　 D.以上都对 12.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃），需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40] 天数 4 5 25 38 18 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝　　　　　. 13.对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25）内的为一等品，在区间[15，20）或[25，30）内的为二等品，在区间[10，15）或[30，35]内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为　　　　　　. 14.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）进行试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 质量指标 值分组 频数 [90，94） 8 [94，98） 20 [98，102） 42 [102，106） 22 [106，110] 8 　　B配方的频数分布表 质量指标 值分组 频数 [90，94） 4 [94，98） 12 [98，102） 42 [102，106） 32 [106，110] 10 （1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （2）已知用B配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品的平均利润. 15.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A.抛一枚硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 16.深夜，一辆出租车牵涉一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车和红色出租车的数量分别占整个城市出租车数量的85%和15%，据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，相关人员对证人的辨色能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由. 3　频率与概率 1.C　两枚骰子正面朝上的情况有种，而不同的情况有种，故概率为，故选：C. 2.A　取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53.∴取到号码为奇数的频率为＝0.53. 3.A　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A. 4.B　由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为. 5.CD　A项，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；B项，买彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；C项，根据古典概型的概率公式可知正确；D项，频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化；概率指的是某一事件发生的可能程度，故正确.故选C、D. 6.AC　由频率与概率的关系知，A正确；对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，故B错误；对于C，连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，若骰子是均匀的，这是一个概率很小的事件，故有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，故D错误.故选A、C. 7. 　解析：由题可知，从3个球中摸出1个球有3种可能；满足题意的有1种可能，故从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率. 8.70　解析：计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知＝0.7＝70%. 9.0.51　241　800　0.5　解析：a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241，c＝＝800. 易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5. 10.解：（1）结果如下表： 抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数目 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 （2）根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约为0.95. 11.B　该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3 100辆，则甲公司出租车肇事的概率为P＝＝，乙公司出租车肇事的概率为P＝＝，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率.故认定乙公司肇事较合理.故选B. 12.300　解析：由表可知，最高气温低于25 ℃的频率为：＝0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 13.0.45　解析：设区间[25，30）对应矩形的高度为x，则由所有矩形面积之和为1，得（0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x）×5＝1，解得x＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 14.解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42. （2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96. 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96. 用B配方生产的这100件产品的平均利润为×[4×（－2）＋（12＋42）×2＋（32＋10）×4]＝2.68（元）. 15.D　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合；选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意.故选D. 16.解：判断认定结论是否公平，需先估算出两种颜色出租车肇事的概率，再根据相应的概率进行判断. 法一　假设该城市有出租车1 000辆，那么依题意可得如下信息： 证人所说的颜色（正确率80%） 真实 颜色 蓝色 红色 合计 蓝色（85%） 680 170 850 红色（15%） 30 120 150 合计 710 290 1 000 从表中可以看出，当证人说出租车是红色的时，它确实是红色的概率为≈0.41，而它是蓝色的概率为≈0.59， 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的. 法二　由题意可知，证人说出租车是红色的概率为15%×80%＋85%×20%＝29%，而其中它确实是红色的概率为15%×80%＝12%， 因此证人证词正确的概率为≈0.41，而证人证词错误的概率为≈0.59， 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $